Problèmes résolus

Exercice 42 : Terrain de rugby.

On assimile un terrain de rugby à un rectangle ABCD de longueur 100 m et de largeur 70 m.

1

Combien mesure sa diagonale (arrondie au m près) ?

Pour déterminer la longueur de la diagonale dʼun rectangle, on peut utiliser le théorème de Pythagore sur un triangle dont les sommets sont trois des points qui forment le rectangle.

Dans le triangle ABC rectangle en B, on applique le théorème de Pythagore :

${\text{AC}}^2={\text{BA}}^2+{\text{BC}}^2$
${\text{AC}}^2=100^2+70^2$
${\text{AC}}^2=10000+4900$
${\text{AC}}^2=14900$
Donc $\text{AC}=\sqrt{14900}$
$\text{AC}\approx 122$

AC mesure environ 122 m.

Pour déterminer la longueur de la diagonale dʼun rectangle, on peut utiliser la trigonométrie pour calculer la mesure dʼun angle entre cette diagonale et un coté du rectangle, puis pour calculer la longueur de la diagonale.

• Dans le triangle ABC rectangle en B :

$\tan \widehat{\text{BAC}}=\frac{\text{BC}}{\text{AB}}$
$\tan \widehat{\text{BAC}}=\frac{70}{100}$
$\tan \widehat{\text{BAC}}=\frac{7}{10}$
Donc $\widehat{\text{BAC}}\approx 35^{\circ }$
Lʼangle $\widehat{\text{BAC}}$ mesure environ$35^{\circ }$.

• Dans le triangle ABC rectangle en B :

$\cos \widehat{\text{BAC}}=\frac{\text{AB}}{\text{AC}}$
$\cos 35^{\circ }=\frac{100}{\text{AC}}$
Donc $\text{AC}=\frac{100}{\cos 35^{\circ }}$
$\text{AC}\approx 122$

AC mesure environ 122 m.

Exercice 43 : Baguettes de bambou.

Thomas utilise des baguettes de bambou pour faire grandir ses tomates. Il veut les ranger dans une boite rectangulaire de 30 cm sur 17,3 cm.

1

Quelle est la taille maximale de ses bambous ?

Contenu numérique

Amandine se trouve à Paris et elle souhaite estimer la hauteur de l’Arc de Triomphe. Pour cela, elle a tracé le croquis ci-dessous où $\text{BC}$ correspond à la hauteur du monument.

Donner, au mètre près, la hauteur de l’Arc de Triomphe.

Contenu numérique

Roméo (point $\text{R}$) souhaite rejoindre, à l’aide d’une échelle, Juliette (point $\text{J}$) qui se trouve tout en haut d’une tour.


Il veut placer son échelle à $2,5$ mètres du pied de la tour (le pied de la tour étant représenté par le point $\text{K}$).

Quelle longueur doit faire son échelle afin que l’angle formé par l’échelle et le sol soit de $46$° ?