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2. Aire et périmètre de polygones
P.194-199

Mathématiques - Pas à pas


2. Aire et périmètre de polygones




A. Périmètres des polygones usuels

Découvrir

a. Tracer un carré de 2 cm de côté et mesurer son périmètre.
b. Tracer un carré de 5 cm de côté et mesurer son périmètre.
c. Que remarque-t-on ?

Retenir

► Un carré (ou un losange) possède quatre côtés de longueurs égales.
▸ On « déroule » le carré.

► Si un carré ou un losange a des côtés de longueur , son périmètre vaut c + c + c + c = 4 × c.
▸ Un carré de côté 3,2 cm a un périmètre de longueur 4  3,2 cm = 12,8 cm.

Retenir

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Refaire : Mesurer le périmètre d’un carré.

Quel est le périmètre du carré suivant ?
▸ On mesure un côté : il vaut 2 cm.
▸ Les quatre côtés sont de longueur égale.

► Le périmètre vaut donc 4  2 cm = 8 cm.

Refaire : Mesurer le périmètre d’un carré.

Refaire : Mesurer le périmètre d’un carré.

Retenir

► Les côtés opposés d’un rectangle sont de même longueur.
▸ On « déroule » le rectangle.
► Si un rectangle a un côté de longueur et un autre côté de longueur , alors son périmètre sera .

► On peut aussi le calculer différemment : .
▸ Un rectangle dont le petit côté mesure 3 cm et le grand côté mesure 5 cm a un périmètre qui mesure : - 3 + 5 + 3 + 5 cm = 2 × (3 + 5) cm = 2 × 8 cm = 16 cm
- 3 + 3 + 5 + 5 cm = (2 × 3) + (2 × 5) cm = 6 + 10 cm = 16 cm

Retenir

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Refaire : Mesurer le périmètre d’un rectangle.  

Quel est le périmètre du rectangle ?

▸ On mesure le petit côté : 1,3 cm.
▸ On mesure le grand côté : 2 cm.
► On calcule le périmètre : 2  (1,3 cm + 2 cm) = 6,6 cm.

Refaire : Mesurer le périmètre d’un rectangle.

Refaire : Mesurer le périmètre d’un rectangle.
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Exercice 5 : Périmètre d'un rectangle.

Graphique lié à l'exercice 2
1
Donner leur périmètre.

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Exercice 4 : Périmètre d'un quadrilatère.

Graphique lié à l'exercice 1
1
Donner leur périmètre.



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B. Aire d'un carré et d'un rectangle

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a. Construire un carré de 5 cm de côté. On fixe ici l’unité d’aire (u.a.) à l’aire d’un carré de 1 cm de côté.
b. Paver le carré construit par des carrés d’aire 1 u.a.
c. En déduire l’aire du carré de 5 cm de côté. 

Remarque ▸ Ici, 1 u.a. = 1 cm.


Retenir

► L’aire d’un carré est le produit de la longueur d’un côté par elle-même.
► Si un carré a un côté de longueur , l’aire A vaut donc :

▸ Aire = côté  côté
Remarque ▸ Il faut bien utiliser les mêmes unités dans le calcul ! On utilise ainsi les règles suivantes :

> cm  cm = cm
> m  m = m
> km  km = km
Exemple ▸ L’aire d’un carré de 3 cm de côté est 3 cm  3 cm = 3  3 cm = 9 cm.

Refaire : Calculer l’aire d’un carré.

Quelle est l’aire de ce carré ?
▸ On mesure la longueur d’un côté : 2 cm.
▸ On multiplie cette longueur par elle-même : 2 cm  2 cm = 4 cm.

► L’aire vaut donc 4 cm.

Refaire : Calculer l’aire d’un carré.

Refaire : Calculer l’aire d’un carré.

Découvrir

► Tracer un rectangle de dimensions 4 carreaux par 7 carreaux. Compter le nombre de carreaux à l’intérieur. Pouvait-on s’y attendre ?


Retenir

► L’aire d’un rectangle est le produit de la longueur par la largeur.
▸ A = longueur  largeur
Remarques ▸ Dans le cas d’un carré, longueur et largeur ont la même dimension.
▸ Si un rectangle est de longueur et de largeur , alors l’aire du rectangle A vaut : A = .

Exemple ▸ Si un rectangle a une longueur de 3 cm et une largeur de 5 cm, alors son aire vaut 3 cm  5 cm = 3  5 cm = 15 cm.

Retenir

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Refaire : Calculer l’aire d’un rectangle. 

Quelle est l’aire de ce rectangle ?

▸ La longueur mesure 2,2 cm.
▸ La largeur mesure 1,5 cm.
▸ On multiplie ces deux dimensions : 2,2 cm  1,5 cm = 3,3 cm.


► L’aire vaut donc 3,3 cm.

Refaire : Calculer l’aire d’un rectangle.

Refaire : Calculer l’aire d’un rectangle.

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Exercice 6 : Aire d'un carré.

Graphique lié à l'exercice 3
1
Donner leur aire.



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Exercice 7 : Aire d'un rectangle.

Graphique lié à l'exercice 4
1
Donner leur aire.



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Exercice 8 : Donner l'aire d'un rectangle.

1
De dimensions 4 km par 7,6 km.



2
De dimensions 2,3 m par 4,2 m.



3
De dimensions 58,2 mm par 7,9 mm.



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C. Aire d'un triangle

Découvrir

a. Tracer un rectangle de dimensions quelconques sur une feuille.
b. Quelle est son aire ?
c. Tracer une diagonale du rectangle et identifier deux triangles rectangles.
d. Comment calculer l’aire d’un des triangles rectangles à partir de celle du rectangle ?

Retenir

► L’aire d’un triangle rectangle est égale au produit des deux côtés adjacents à l’angle droit, divisé par deux.

► Si l’on appelle la longueur de l’un des côtés adjacents et celle de l’autre côté adjacent , l’aire A du triangle rectangle vaut donc :
▸ A =
▸ A =
Exemple ▸ Un triangle rectangle dont les côtés adjacents à l’angle droit mesurent 3 cm et 7 cm a donc une aire de :
(3 cm  7 cm) 2 = ((3  7) 2) cm = 21 2 cm = 10,5 cm.

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Refaire : Mesurer l’aire d’un triangle rectangle.

Quelle est l’aire de ce triangle rectangle ?
▸ On mesure un côté adjacent : 1,1 cm.
▸ On mesure l’autre côté adjacent : 2,3 cm.
▸ On calcule : (1,1 cm  2,3 cm)  2 = 1,265 cm.
► L’aire du triangle rectangle vaut donc 1,265 cm.

Refaire : Mesurer l’aire d’un triangle rectangle.

Refaire : Mesurer l’aire d’un triangle rectangle.

Découvrir

a. Repérer deux triangles rectangles dans la figure suivante.
b. Donner l’aire de chaque triangle rectangle.
c. En déduire l’aire du grand triangle.

Découvrir

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► Dans un triangle, une hauteur est un segment perpendiculaire à un côté qui relie ce côté à un sommet.
▸ Le segment [CH] est une hauteur du triangle ABC.
► On peut obtenir l’aire d’un triangle dont on connaît la longueur d’une hauteur. Si le triangle a une hauteur de longueur h et que le côté supportant la hauteur a une longueur s, alors l’aire du triangle vaut :
▸ Aire = (support    hauteur)
▸ A =                     
Exemple ▸ Dans le triangle ABC, CH est une hauteur. Si CH = 7 cm et AB = 10 cm, alors l’aire du triangle vaut (7 cm  10 cm) 2 = (7 10) 2 cm = 35 cm.

Remarques ▸ La hauteur peut parfois être située hors du triangle, comme dans l’exemple ci-contre :
▸ Le calcul de l’aire se fait de la même manière : (hauteur  support)  2.



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Refaire : Mesurer l’aire d’un triangle.

Quelle est l’aire du triangle ci-contre ?

▸ On mesure la hauteur qui est tracée : 1,3 cm.
▸ On mesure le support de cette hauteur : 2,3 cm.
▸ On calcule : (1,3 cm  2,3 cm) 2 = 1,495 cm.
► L’aire du triangle est donc de 1,495 cm.

Refaire : Mesurer l’aire d’un triangle.

Refaire : Mesurer l’aire d’un triangle.
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Exercice 9 : Aire d'un triangle rectangle.

Graphique lié à l'exercice 5
1
Donner leur aire.



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Exercice 10 : Donner l'aire d'un triangle rectangle dont les côtés adjacents à l'angle droit mesurent...

1
4 m et 8,2m.



2
7,3 cm et 5,1 cm.



3
42 mm et 21,3 mm.



4
1,3 km et 0,89 km.



5
21,3 hm et 2,38 hm.



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Exercice 11 : Donné l'aire de chaque triangle.

Graphique lié à l'exercice 6
1
En utilisant la hauteur qui est tracée.



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Exercice 12 : Donner l'aire d'un triangle dont...

1
la hauteur mesure 2,1 m et son support 0,35 m.



2
la hauteur mesure 3,5 mm et son support 4,2 mm.



3
la hauteur mesure 2,3 cm et son support 8,74 cm.



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