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Mathématiques 6e 2016

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Du primaire au collège
Ch. 1
Manipuler les nombres entiers
Ch. 2
Les nombres décimaux
Ch. 3
Addition, soustraction
Ch. 4
Multiplication, division décimale
Ch. 5
Fractions
Ch. 6
Proportionnalité
Ch. 7
Construction de droites
Ch. 8
Distances et cercles
Ch. 9
Angles
Ch. 10
Symétrie axiale
Ch. 11
Triangles, rectangles et losanges
Ch. 12
Aire et périmètre
Aire et périmètre
Ouverturep. 191
1. Les notions de périmètre et d’aire
Coursp. 192-193
2. Aire et périmètre de polygones
Coursp. 194-199
3. Cercles et disques
Coursp. 200-202
Aire et périmètre
Coursp. 203
Exercices
Exercicesp. 204-210
Fiches de révision - Exclusivité numérique
Fiches de révision - Exclusivité numérique
Exercices de révision - Exclusivité numérique
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Ch. 13
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Chapitre 12
Pas à pas

2. Aire et périmètre de polygones

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A
Périmètres des polygones usuels

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Découvrir

a. Tracer un carré de 2 cm de côté et mesurer son périmètre.
b. Tracer un carré de 5 cm de côté et mesurer son périmètre.
c. Que remarque-t-on ?
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Retenir

  • Un carré (ou un losange) possède quatre côtés de longueurs égales.
    • On « déroule » le carré.

      Placeholder pour Diagramme géométrique : construction d'arcs de cercle à partir de polygones réguliers (carré, pentagone, hexagone...). Illustration de la géométrie descriptive.Diagramme géométrique : construction d'arcs de cercle à partir de polygones réguliers (carré, pentagone, hexagone...). Illustration de la géométrie descriptive.
  • Si un carré ou un losange a des côtés de longueur c, son périmètre vaut c + c + c + c = 4 × c.
    • Un carré de côté 3,2 cm a un périmètre de longueur 4 \times 3,2 cm = 12,8 cm.
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Refaire
Mesurer le périmètre d'un carré

Quel est le périmètre du carré suivant ?
  • On mesure un côté : il vaut 2 cm.
  • Les quatre côtés sont de longueur égale.
Le périmètre vaut donc 4 \times 2 cm = 8 cm.
Placeholder pour Illustration : mesure du périmètre d'un carré avec une règle.Illustration : mesure du périmètre d'un carré avec une règle.
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Exercice 4
Périmètre d'un quadrilatère

Placeholder pour Illustration : carré, parallélogramme et losange.Illustration : carré, parallélogramme et losange.
1. Donner leur périmètre.
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Retenir

  • Les côtés opposés d'un rectangle sont de même longueur.
    • On « déroule » le rectangle :
      Placeholder pour Illustration : transformation géométrique progressive de segments et arcs de cercle. Formes évoluant de rectangle à cercle.Illustration : transformation géométrique progressive de segments et arcs de cercle. Formes évoluant de rectangle à cercle.
  • Si un rectangle a un côté de longueur l et un autre côté de longueur L, alors son périmètre sera l + L + l + L = 2 × (l + L).
  • On peut aussi le calculer différemment : l + l + L + L = (2 × l) + (2 × L).
    • Un rectangle dont le petit côté mesure 3 cm et le grand côté mesure 5 cm a un périmètre qui mesure : - 3 + 5 + 3 + 5 cm = 2 × (3 + 5) cm = 2 × 8 cm = 16 cm
      - 3 + 3 + 5 + 5 cm = (2 × 3) + (2 × 5) cm = 6 + 10 cm = 16 cm
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Mesurer le périmètre d'un rectangle

Quel est le périmètre du rectangle ?
  • On mesure le petit côté : 1,3 cm.
  • On mesure le grand côté : 2 cm.
On calcule le périmètre : 2 \times (1,3 cm + 2 cm) = 6,6 cm.
Placeholder pour Illustration : règle jaune mesurant un rectangle blanc.Illustration : règle jaune mesurant un rectangle blanc.
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Exercice 5
Périmètre d'un rectangle

Placeholder pour Illustration : calcul du périmètre de trois rectangles de tailles différentes.Illustration : calcul du périmètre de trois rectangles de tailles différentes.
Donner leur périmètre.
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B
Aire d'un carré et d'un rectangle

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Découvrir

a. Construire un carré de 5 cm de côté. On fixe ici l'unité d'aire (u.a.) à l'aire d'un carré de 1 cm de côté.
b. Paver le carré construit par des carrés d'aire 1 u.a.
c. En déduire l'aire du carré de 5 cm de côté. 

Remarque :
Ici, 1 u.a. = 1 cm^2.
Placeholder pour Illustration : jeune femme réfléchit, bulle de texte : homophones du mot aireIllustration : jeune femme réfléchit, bulle de texte : homophones du mot aire
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Retenir

  • L'aire d'un carré est le produit de la longueur d'un côté par elle-même.
  • Si un carré a un côté de longueur c, l'aire A vaut donc :
    • A = c \times c
    • Aire = côté \times côté
Remarque :
Il faut bien utiliser les mêmes unités dans le calcul ! On utilise ainsi les règles suivantes :
  • cm \times cm = cm^2
  • m \times m = m^2
  • km \times km = km^2

Exemple : L'aire d'un carré de 3 cm de côté est 3 cm \times 3 cm = 3 \times 3 cm^2 = 9 cm^2.
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Calculer l'aire d'un carré

Quelle est l'aire de ce carré ?
  • On mesure la longueur d'un côté : 2 cm.
  • On multiplie cette longueur par elle-même : 2 cm \times 2 cm = 4 cm^2.
L'aire vaut donc 4 cm^2.
Placeholder pour Illustration : calcul aire carré, règle positionnée contre un carré.Illustration : calcul aire carré, règle positionnée contre un carré.
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Exercice 6
Aire d'un carré

Placeholder pour Diagramme géométrique : trois carrés et un losange. Deux carrés sont inclinés, un est plus petit. Illustration de formes géométriques.Diagramme géométrique : trois carrés et un losange. Deux carrés sont inclinés, un est plus petit. Illustration de formes géométriques.
Donner leur aire.
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Découvrir

  • Tracer un rectangle de dimensions 4 carreaux par 7 carreaux. Compter le nombre de carreaux à l'intérieur. Pouvait-on s'y attendre ?
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Retenir

  • L'aire d'un rectangle est le produit de la longueur par la largeur.
    • A = longueur \times largeur
Placeholder pour Schéma: rectangle illustrant longueur et largeur.Schéma: rectangle illustrant longueur et largeur.
Remarque :
  • Dans le cas d'un carré, longueur et largeur ont la même dimension.
  • Si un rectangle est de longueur l et de largeur L, alors l'aire du rectangle A vaut : A = l \times L.

Exemple : Si un rectangle a une longueur de 3 cm et une largeur de 5 cm, alors son aire vaut 3 cm \times 5 cm = 3 \times 5 cm^2 = 15 cm^2.
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Calculer l'aire d'un rectangle

Quelle est l'aire de ce rectangle ?
  • La longueur mesure 2,2 cm.
  • La largeur mesure 1,5 cm.
  • On multiplie ces deux dimensions : 2,2 cm \times 1,5 cm = 3,3 cm^2.
L'aire vaut donc 3,3 cm^2.
Placeholder pour Illustration : règle jaune mesure rectangle blanc. Calcul aire.Illustration : règle jaune mesure rectangle blanc. Calcul aire.
Placeholder pour Dessin humoristique : jeune homme fier tenant une règle après avoir appris à mesurer une surface avec. Calcul sur feuille.Dessin humoristique : jeune homme fier tenant une règle après avoir appris à mesurer une surface avec. Calcul sur feuille.
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Exercice 7
Aire d'un rectangle

Placeholder pour Illustration : deux rectangles, un horizontal, l'autre incliné. Angles marqués.Illustration : deux rectangles, un horizontal, l'autre incliné. Angles marqués.
Donner leur aire.
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Exercice 8
Donner l'aire d'un rectangle

1. De dimensions 4 km par 7,6 km.
 2. De dimensions 2,3 m par 4,2 m.
 3. De dimensions 58,2 mm par 7,9 mm.
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C
Aire d'un triangle

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Découvrir

a. Tracer un rectangle de dimensions quelconques sur une feuille.
b. Quelle est son aire ?
c. Tracer une diagonale du rectangle et identifier deux triangles rectangles.
d. Comment calculer l'aire d'un des triangles rectangles à partir de celle du rectangle ?
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Retenir

  • L'aire d'un triangle rectangle est égale au produit des deux côtés adjacents à l'angle droit, divisé par deux.
  • Si l'on appelle la longueur de l'un des côtés adjacents a et celle de l'autre côté adjacent b, l'aire A du triangle rectangle vaut donc :
    • A = ( a \times b ) \div 2
    • A = \dfrac{ a \times b}{2}
Exemple : Un triangle rectangle dont les côtés adjacents à l'angle droit mesurent 3 cm et 7 cm a donc une aire de :
(3 cm \times 7 cm) \div 2 = ((3 \times 7) \div 2) cm^2 = 21 \div 2 cm^2 = 10,5 cm^2.
Placeholder pour Diagramme: deux triangles rectangles, côtés adjacents à l'angle droit indiqués (a et b).Diagramme: deux triangles rectangles, côtés adjacents à l'angle droit indiqués (a et b).
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Refaire
Mesurer l'aire d'un triangle rectangle

Quelle est l'aire de ce triangle rectangle ?
  • On mesure un côté adjacent : 1,1 cm.
  • On mesure l'autre côté adjacent : 2,3 cm.
  • On calcule : (1,1 cm \times 2,3 cm) \div 2 = 1,265 cm^2.
L'aire du triangle rectangle vaut donc 1,265 cm^2.
Placeholder pour Illustration : règle jaune mesurant un triangle rectangle. Calcul de l'aire.Illustration : règle jaune mesurant un triangle rectangle. Calcul de l'aire.
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Exercice 9
Aire d'un triangle rectangle

Placeholder pour Schéma : trois triangles rectangles (a, b, c) illustrant des angles droits.Schéma : trois triangles rectangles (a, b, c) illustrant des angles droits.
Donner leur aire.
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Exercice 10
Donner l'aire d'un triangle rectangle dont les côtés adjacents à l'angle droit mesurent...

1. 4 m et 8,2 m.
 2. 7,3 cm et 5,1 cm.
 3. 42 mm et 21,3 mm.
 4. 1,3 km et 0,89 km.
 5. 21,3 hm et 2,38 hm.
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Découvrir

a. Repérer deux triangles rectangles dans la figure suivante.
b. Donner l'aire de chaque triangle rectangle.
c. En déduire l'aire du grand triangle.
Placeholder pour Diagramme : triangle rectangle avec hauteur et angle droit indiqué.Diagramme : triangle rectangle avec hauteur et angle droit indiqué.
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Retenir

  • Dans un triangle, une hauteur est un segment perpendiculaire à un côté qui relie ce côté à un sommet.
    • Le segment [CH] est une hauteur du triangle ABC.
  • On peut obtenir l'aire d'un triangle dont on connaît la longueur d'une hauteur. Si le triangle a une hauteur de longueur h et que le côté supportant la hauteur a une longueur s, alors l'aire du triangle vaut :
    • Aire = (support  \times  hauteur) \div 2 
    • A = \dfrac{s \times h}{2}        

Placeholder pour Diagramme: triangle, hauteur (h) et support (s) représentés. Géométrie, mathématiques.Diagramme: triangle, hauteur (h) et support (s) représentés. Géométrie, mathématiques.
Exemple : Dans le triangle ABC, CH est une hauteur. Si CH = 7 cm et AB = 10 cm, alors l'aire du triangle vaut (7 cm \times 10 cm) \div 2 = (7 \times 10) \div 2 cm^2 = 35 cm^2.
Remarque :
  • La hauteur peut parfois être située hors du triangle, comme dans l'exemple ci-contre :
  • Le calcul de l'aire se fait de la même manière : (hauteur \times support) \div 2.
Placeholder pour Diagramme: triangle, hauteur et support. Illustration géométrique de la hauteur d'un triangle par rapport à sa base.Diagramme: triangle, hauteur et support. Illustration géométrique de la hauteur d'un triangle par rapport à sa base.
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Mesurer l'aire d'un triangle

Quelle est l'aire du triangle ci-contre ?
  • On mesure la hauteur qui est tracée : 1,3 cm.
  • On mesure le support de cette hauteur : 2,3 cm.
  • On calcule : (1,3 cm \times 2,3 cm) \div 2 = 1,495 cm^2.
L'aire du triangle est donc de 1,495 cm^2.
Placeholder pour Illustration : mesure de l'aire d'un triangle avec une règle.Illustration : mesure de l'aire d'un triangle avec une règle.
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Exercice 11
Donné l'aire de chaque triangle

Placeholder pour Illustration : deux triangles inclinés, chacun contenant un petit carré. Géométrie.Illustration : deux triangles inclinés, chacun contenant un petit carré. Géométrie.
En utilisant la hauteur qui est tracée.
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Exercice 12
Donner l'aire d'un triangle dont...

1. la hauteur mesure 2,1 m et son support 0,35 m.
 2. la hauteur mesure 3,5 mm et son support 4,2 mm.
 3. la hauteur mesure 2,3 cm et son support 8,74 cm.
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