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2. Aire et périmètre de polygones
P.194-199

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Mathématiques - Pas à pas


2. Aire et périmètre de polygones




A. Périmètres des polygones usuels

Découvrir

a. Tracer un carré de 2 cm de côté et mesurer son périmètre.
b. Tracer un carré de 5 cm de côté et mesurer son périmètre.
c. Que remarque-t-on ?

Retenir

► Un carré (ou un losange) possède quatre côtés de longueurs égales.
\quad▸ On « déroule » le carré.

► Si un carré ou un losange a des côtés de longueur cc, son périmètre vaut c + c + c + c = 4 × c.
\quad▸ Un carré de côté 3,2 cm a un périmètre de longueur 4 ×\times 3,2 cm = 12,8 cm.

Retenir

Retenir

Refaire : Mesurer le périmètre d’un carré.

Quel est le périmètre du carré suivant ?
\quad▸ On mesure un côté : il vaut 2 cm.
\quad▸ Les quatre côtés sont de longueur égale.

► Le périmètre vaut donc 4 ×\times 2 cm = 8 cm.

Refaire : Mesurer le périmètre d’un carré.

Refaire : Mesurer le périmètre d’un carré.

Retenir

► Les côtés opposés d’un rectangle sont de même longueur.
\quad▸ On « déroule » le rectangle.
► Si un rectangle a un côté de longueur ll et un autre côté de longueur LL, alors son périmètre sera l+L+l+L=2×(l+L)l + L + l + L = 2 × (l + L).

► On peut aussi le calculer différemment : l+l+L+L=(2×l)+(2×L)l + l + L + L = (2 × l) + (2 × L).
▸ Un rectangle dont le petit côté mesure 3 cm et le grand côté mesure 5 cm a un périmètre qui mesure : - 3 + 5 + 3 + 5 cm = 2 × (3 + 5) cm = 2 × 8 cm = 16 cm
- 3 + 3 + 5 + 5 cm = (2 × 3) + (2 × 5) cm = 6 + 10 cm = 16 cm

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Refaire : Mesurer le périmètre d’un rectangle.  

Quel est le périmètre du rectangle ?

\quad▸ On mesure le petit côté : 1,3 cm.
\quad▸ On mesure le grand côté : 2 cm.
► On calcule le périmètre : 2 ×\times (1,3 cm + 2 cm) = 6,6 cm.

Refaire : Mesurer le périmètre d’un rectangle.

Refaire : Mesurer le périmètre d’un rectangle.
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Exercice 5 : Périmètre d'un rectangle.

Graphique lié à l'exercice 2
1
Donner leur périmètre.

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Exercice 4 : Périmètre d'un quadrilatère.

Graphique lié à l'exercice 1
1
Donner leur périmètre.



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B. Aire d'un carré et d'un rectangle

Découvrir

a. Construire un carré de 5 cm de côté. On fixe ici l’unité d’aire (u.a.) à l’aire d’un carré de 1 cm de côté.
b. Paver le carré construit par des carrés d’aire 1 u.a.
c. En déduire l’aire du carré de 5 cm de côté. 

Remarque ▸ Ici, 1 u.a. = 1 cm2^2.


Retenir

► L’aire d’un carré est le produit de la longueur d’un côté par elle-même.
► Si un carré a un côté de longueur cc, l’aire A vaut donc :
\quadA=c× cA = c \times c
\quad ▸ Aire = côté ×\times côté
Remarque ▸ Il faut bien utiliser les mêmes unités dans le calcul ! On utilise ainsi les règles suivantes :

\quad > cm ×\times cm = cm2^2
\quad > m ×\times m = m2^2
\quad > km ×\times km = km2^2
Exemple ▸ L’aire d’un carré de 3 cm de côté est 3 cm ×\times 3 cm = 3 ×\times 3 cm2^2 = 9 cm2^2.

Refaire : Calculer l’aire d’un carré.

Quelle est l’aire de ce carré ?
\quad▸ On mesure la longueur d’un côté : 2 cm.
\quad▸ On multiplie cette longueur par elle-même : 2 cm ×\times 2 cm = 4 cm2^2.

► L’aire vaut donc 4 cm2^2.

Refaire : Calculer l’aire d’un carré.

Refaire : Calculer l’aire d’un carré.

Découvrir

► Tracer un rectangle de dimensions 4 carreaux par 7 carreaux. Compter le nombre de carreaux à l’intérieur. Pouvait-on s’y attendre ?


Retenir

► L’aire d’un rectangle est le produit de la longueur par la largeur.
▸ A = longueur ×\times largeur
Remarques ▸ Dans le cas d’un carré, longueur et largeur ont la même dimension.
▸ Si un rectangle est de longueur ll et de largeur LL, alors l’aire du rectangle A vaut : A = l× Ll \times L.

Exemple ▸ Si un rectangle a une longueur de 3 cm et une largeur de 5 cm, alors son aire vaut 3 cm ×\times 5 cm = 3 ×\times 5 cm2^2 = 15 cm2^2.

Retenir

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Refaire : Calculer l’aire d’un rectangle. 

Quelle est l’aire de ce rectangle ?

\quad▸ La longueur mesure 2,2 cm.
\quad▸ La largeur mesure 1,5 cm.
\quad▸ On multiplie ces deux dimensions : 2,2 cm ×\times 1,5 cm = 3,3 cm2^2.


\quad► L’aire vaut donc 3,3 cm2^2.

Refaire : Calculer l’aire d’un rectangle.

Refaire : Calculer l’aire d’un rectangle.

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Exercice 6 : Aire d'un carré.

Graphique lié à l'exercice 3
1
Donner leur aire.



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Exercice 7 : Aire d'un rectangle.

Graphique lié à l'exercice 4
1
Donner leur aire.



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Exercice 8 : Donner l'aire d'un rectangle.

1
De dimensions 4 km par 7,6 km.



2
De dimensions 2,3 m par 4,2 m.



3
De dimensions 58,2 mm par 7,9 mm.



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C. Aire d'un triangle

Découvrir

a. Tracer un rectangle de dimensions quelconques sur une feuille.
b. Quelle est son aire ?
c. Tracer une diagonale du rectangle et identifier deux triangles rectangles.
d. Comment calculer l’aire d’un des triangles rectangles à partir de celle du rectangle ?

Retenir

► L’aire d’un triangle rectangle est égale au produit des deux côtés adjacents à l’angle droit, divisé par deux.

► Si l’on appelle la longueur de l’un des côtés adjacents aa et celle de l’autre côté adjacent bb, l’aire A du triangle rectangle vaut donc :
\quad▸ A = (a×b)÷2( a \times b ) \div 2
\quad▸ A = a×b2\dfrac{ a \times b}{2}
Exemple ▸ Un triangle rectangle dont les côtés adjacents à l’angle droit mesurent 3 cm et 7 cm a donc une aire de :
(3 cm ×\times 7 cm) ÷\div 2 = ((3 ×\times 7) ÷\div 2) cm2^2 = 21 ÷\div 2 cm2^2 = 10,5 cm2^2.

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Refaire : Mesurer l’aire d’un triangle rectangle.

Quelle est l’aire de ce triangle rectangle ?
\quad▸ On mesure un côté adjacent : 1,1 cm.
\quad▸ On mesure l’autre côté adjacent : 2,3 cm.
\quad▸ On calcule : (1,1 cm ×\times 2,3 cm) ÷\div 2 = 1,265 cm2^2.
► L’aire du triangle rectangle vaut donc 1,265 cm2^2.

Refaire : Mesurer l’aire d’un triangle rectangle.

Refaire : Mesurer l’aire d’un triangle rectangle.

Découvrir

a. Repérer deux triangles rectangles dans la figure suivante.
b. Donner l’aire de chaque triangle rectangle.
c. En déduire l’aire du grand triangle.

Découvrir

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► Dans un triangle, une hauteur est un segment perpendiculaire à un côté qui relie ce côté à un sommet.
\quad ▸ Le segment [CH] est une hauteur du triangle ABC.
► On peut obtenir l’aire d’un triangle dont on connaît la longueur d’une hauteur. Si le triangle a une hauteur de longueur h et que le côté supportant la hauteur a une longueur s, alors l’aire du triangle vaut :
\quad ▸ Aire = (support  ×\times  hauteur) ÷\div
\quad ▸ A = s×h2\dfrac{s \times h}{2}                     
Exemple ▸ Dans le triangle ABC, CH est une hauteur. Si CH = 7 cm et AB = 10 cm, alors l’aire du triangle vaut (7 cm ×\times 10 cm) ÷\div 2 = (7 ×\times 10) ÷\div 2 cm2^2 = 35 cm2^2.

Remarques ▸ La hauteur peut parfois être située hors du triangle, comme dans l’exemple ci-contre :
▸ Le calcul de l’aire se fait de la même manière : (hauteur ×\times support) ÷\div 2.



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Refaire : Mesurer l’aire d’un triangle.

Quelle est l’aire du triangle ci-contre ?

\quad▸ On mesure la hauteur qui est tracée : 1,3 cm.
\quad▸ On mesure le support de cette hauteur : 2,3 cm.
\quad▸ On calcule : (1,3 cm ×\times 2,3 cm) ÷\div 2 = 1,495 cm2^2.
► L’aire du triangle est donc de 1,495 cm2^2.

Refaire : Mesurer l’aire d’un triangle.

Refaire : Mesurer l’aire d’un triangle.
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Exercice 9 : Aire d'un triangle rectangle.

Graphique lié à l'exercice 5
1
Donner leur aire.



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Exercice 10 : Donner l'aire d'un triangle rectangle dont les côtés adjacents à l'angle droit mesurent...

1
4 m et 8,2m.



2
7,3 cm et 5,1 cm.



3
42 mm et 21,3 mm.



4
1,3 km et 0,89 km.



5
21,3 hm et 2,38 hm.



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Exercice 11 : Donné l'aire de chaque triangle.

Graphique lié à l'exercice 6
1
En utilisant la hauteur qui est tracée.



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Exercice 12 : Donner l'aire d'un triangle dont...

1
la hauteur mesure 2,1 m et son support 0,35 m.



2
la hauteur mesure 3,5 mm et son support 4,2 mm.



3
la hauteur mesure 2,3 cm et son support 8,74 cm.



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