Mathématiques 6e

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Du primaire au collège

Ch. 1

Manipuler les nombres entiers

Ch. 2

Les nombres décimaux

Ch. 3

Addition, soustraction

Ch. 4

Multiplication, division décimale

Ch. 5

Fractions

Ch. 6

Proportionnalité

Ch. 7

Construction de droites

Ch. 8

Distances et cercles

Ch. 9

Angles

Ch. 10

Symétrie axiale

Ch. 11

Triangles, rectangles et losanges

Ch. 12

Aire et périmètre

Ch. 13

Volumes

Chapitre 12

Pas à pas

2. Aire et périmètre de polygones

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A
Périmètres des polygones usuels

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Découvrir

a. Tracer un carré de 2 cm de côté et mesurer son périmètre.
b. Tracer un carré de 5 cm de côté et mesurer son périmètre.
c. Que remarque-t-on ?

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Retenir

Un carré (ou un losange) possède quatre côtés de longueurs égales.
- On « déroule » le carré.
  
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Si un carré ou un losange a des côtés de longueur $c$ , son périmètre vaut c + c + c + c = 4 × c.
- Un carré de côté 3,2 cm a un périmètre de longueur 4 $\times$ 3,2 cm = 12,8 cm.

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Refaire
Mesurer le périmètre d'un carré

Quel est le périmètre du carré suivant ?

On mesure un côté : il vaut 2 cm.
Les quatre côtés sont de longueur égale.

Le périmètre vaut donc 4

\times

2 cm = 8 cm.

Refaire : Mesurer le périmètre d'un carré.

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Exercice 4
Périmètre d'un quadrilatère

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1. Donner leur périmètre.

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Retenir

Les côtés opposés d'un rectangle sont de même longueur.
- On « déroule » le rectangle :
  
  Le zoom est accessible dans la version Premium.
Si un rectangle a un côté de longueur $l$ et un autre côté de longueur $L$ , alors son périmètre sera $l + L + l + L = 2 \times (l + L)$ .
On peut aussi le calculer différemment : $l + l + L + L = (2 \times l) + (2 \times L)$ .
- Un rectangle dont le petit côté mesure 3 cm et le grand côté mesure 5 cm a un périmètre qui mesure : - 3 + 5 + 3 + 5 cm = 2 × (3 + 5) cm = 2 × 8 cm = 16 cm
  - 3 + 3 + 5 + 5 cm = (2 × 3) + (2 × 5) cm = 6 + 10 cm = 16 cm

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Mesurer le périmètre d'un rectangle

Quel est le périmètre du rectangle ?

On mesure le petit côté : 1,3 cm.
On mesure le grand côté : 2 cm.

On calcule le périmètre : 2

\times

(1,3 cm + 2 cm) = 6,6 cm.

Refaire : Mesurer le périmètre d'un rectangle.

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Exercice 5
Périmètre d'un rectangle

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Donner leur périmètre.

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B
Aire d'un carré et d'un rectangle

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a. Construire un carré de 5 cm de côté. On fixe ici l'unité d'aire (u.a.) à l'aire d'un carré de 1 cm de côté.
b. Paver le carré construit par des carrés d'aire 1 u.a.
c. En déduire l'aire du carré de 5 cm de côté.

Remarque :
Ici, 1 u.a. = 1 cm

^{2}

Jeune femme qui dit: Je connais beaucoup d'homophones du mot aire. Combien y en a-t-il en tout?

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L'aire d'un carré est le produit de la longueur d'un côté par elle-même.
Si un carré a un côté de longueur $c$ , l'aire A vaut donc :
- $A = c \times c$
- Aire = côté $\times$ côté

Remarque :
Il faut bien utiliser les mêmes unités dans le calcul ! On utilise ainsi les règles suivantes :

cm $\times$ cm = cm $^{2}$
m $\times$ m = m $^{2}$
km $\times$ km = km $^{2}$

Exemple : L'aire d'un carré de 3 cm de côté est 3 cm

\times

3 cm = 3

\times

3 cm

^{2}

= 9 cm

^{2}

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Calculer l'aire d'un carré

Quelle est l'aire de ce carré ?

On mesure la longueur d'un côté : 2 cm.
On multiplie cette longueur par elle-même : 2 cm $\times$ 2 cm = 4 cm $^{2}$ .

L'aire vaut donc 4 cm

^{2}

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Exercice 6
Aire d'un carré

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Donner leur aire.

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Tracer un rectangle de dimensions 4 carreaux par 7 carreaux. Compter le nombre de carreaux à l'intérieur. Pouvait-on s'y attendre ?

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L'aire d'un rectangle est le produit de la longueur par la largeur.
- A = longueur $\times$ largeur

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Remarque :

Dans le cas d'un carré, longueur et largeur ont la même dimension.
Si un rectangle est de longueur $l$ et de largeur $L$ , alors l'aire du rectangle A vaut : A = $l \times L$ .

Exemple : Si un rectangle a une longueur de 3 cm et une largeur de 5 cm, alors son aire vaut 3 cm

\times

5 cm = 3

\times

5 cm

^{2}

= 15 cm

^{2}

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Calculer l'aire d'un rectangle

Quelle est l'aire de ce rectangle ?

La longueur mesure 2,2 cm.
La largeur mesure 1,5 cm.
On multiplie ces deux dimensions : 2,2 cm $\times$ 1,5 cm = 3,3 cm $^{2}$ .

L'aire vaut donc 3,3 cm

^{2}

Refaire : Calculer l'aire d'un rectangle.

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Exercice 7
Aire d'un rectangle

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Donner leur aire.

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Exercice 8
Donner l'aire d'un rectangle

1. De dimensions 4 km par 7,6 km.

2. De dimensions 2,3 m par 4,2 m.

3. De dimensions 58,2 mm par 7,9 mm.

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C
Aire d'un triangle

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Découvrir

a. Tracer un rectangle de dimensions quelconques sur une feuille.
b. Quelle est son aire ?
c. Tracer une diagonale du rectangle et identifier deux triangles rectangles.
d. Comment calculer l'aire d'un des triangles rectangles à partir de celle du rectangle ?

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Retenir

L'aire d'un triangle rectangle est égale au produit des deux côtés adjacents à l'angle droit, divisé par deux.
Si l'on appelle la longueur de l'un des côtés adjacents $a$ et celle de l'autre côté adjacent $b$ , l'aire A du triangle rectangle vaut donc :
- A = $(a \times b) \div 2$
- A = $\frac{a \times b}{2}$

Exemple : Un triangle rectangle dont les côtés adjacents à l'angle droit mesurent 3 cm et 7 cm a donc une aire de :
(3 cm $\times$ 7 cm) $\div$ 2 = ((3 $\times$ 7) $\div$ 2) cm $^{2}$ = 21 $\div$ 2 cm $^{2}$ = 10,5 cm $^{2}$ .

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Mesurer l'aire d'un triangle rectangle

Quelle est l'aire de ce triangle rectangle ?

On mesure un côté adjacent : 1,1 cm.
On mesure l'autre côté adjacent : 2,3 cm.
On calcule : (1,1 cm $\times$ 2,3 cm) $\div$ 2 = 1,265 cm $^{2}$ .

L'aire du triangle rectangle vaut donc 1,265 cm

^{2}

Refaire : Mesurer l'aire d'un triangle rectangle.

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Exercice 9
Aire d'un triangle rectangle

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Donner leur aire.

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Exercice 10
Donner l'aire d'un triangle rectangle dont les côtés adjacents à l'angle droit mesurent...

1. 4 m et 8,2 m.

2. 7,3 cm et 5,1 cm.

3. 42 mm et 21,3 mm.

4. 1,3 km et 0,89 km.

5. 21,3 hm et 2,38 hm.

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a. Repérer deux triangles rectangles dans la figure suivante.
b. Donner l'aire de chaque triangle rectangle.
c. En déduire l'aire du grand triangle.

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Dans un triangle, une hauteur est un segment perpendiculaire à un côté qui relie ce côté à un sommet.
- Le segment [CH] est une hauteur du triangle ABC.
On peut obtenir l'aire d'un triangle dont on connaît la longueur d'une hauteur. Si le triangle a une hauteur de longueur h et que le côté supportant la hauteur a une longueur s, alors l'aire du triangle vaut :
- Aire = (support $\times$ hauteur) $\div$ 2
- A = $\frac{s \times h}{2}$

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Exemple : Dans le triangle ABC, CH est une hauteur. Si CH = 7 cm et AB = 10 cm, alors l'aire du triangle vaut (7 cm

\times

10 cm)

\div

2 = (7

\times

10)

\div

2 cm

^{2}

= 35 cm

^{2}

Remarque :

La hauteur peut parfois être située hors du triangle, comme dans l'exemple ci-contre :
Le calcul de l'aire se fait de la même manière : (hauteur $\times$ support) $\div$ 2.

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Mesurer l'aire d'un triangle

Quelle est l'aire du triangle ci-contre ?

On mesure la hauteur qui est tracée : 1,3 cm.
On mesure le support de cette hauteur : 2,3 cm.
On calcule : (1,3 cm $\times$ 2,3 cm) $\div$ 2 = 1,495 cm $^{2}$ .

L'aire du triangle est donc de 1,495 cm

^{2}

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Exercice 11
Donné l'aire de chaque triangle

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En utilisant la hauteur qui est tracée.

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Exercice 12
Donner l'aire d'un triangle dont...

1. la hauteur mesure 2,1 m et son support 0,35 m.

2. la hauteur mesure 3,5 mm et son support 4,2 mm.

3. la hauteur mesure 2,3 cm et son support 8,74 cm.

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2. Aire et périmètre de polygones

A
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Mesurer le périmètre d'un carré

Exercice 4
Périmètre d'un quadrilatère

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Périmètre d'un rectangle

B
Aire d'un carré et d'un rectangle

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Aire d'un carré

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Aire d'un rectangle

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Donner l'aire d'un rectangle

C
Aire d'un triangle

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Aire d'un triangle rectangle

Exercice 10
Donner l'aire d'un triangle rectangle dont les côtés adjacents à l'angle droit mesurent...

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Donné l'aire de chaque triangle

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