2. Aire et périmètre de polygones

a. Tracer un carré de 2 cm de côté et mesurer son périmètre.
b. Tracer un carré de 5 cm de côté et mesurer son périmètre.
c. Que remarque-t-on ?

► Un carré (ou un losange) possède quatre côtés de longueurs égales.
$\quad$▸ On « déroule » le carré.

► Si un carré ou un losange a des côtés de longueur $c$, son périmètre vaut c + c + c + c = 4 × c.
$\quad$▸ Un carré de côté 3,2 cm a un périmètre de longueur 4 $\times$ 3,2 cm = 12,8 cm.

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Quel est le périmètre du carré suivant ?
$\quad$▸ On mesure un côté : il vaut 2 cm.
$\quad$▸ Les quatre côtés sont de longueur égale.

► Le périmètre vaut donc 4 $\times$ 2 cm = 8 cm.

Refaire : Mesurer le périmètre d’un carré.

► Les côtés opposés d’un rectangle sont de même longueur.
$\quad$▸ On « déroule » le rectangle.
► Si un rectangle a un côté de longueur $l$ et un autre côté de longueur $L$, alors son périmètre sera $l + L + l + L = 2 × (l + L)$.

► On peut aussi le calculer différemment : $l + l + L + L = (2 × l) + (2 × L)$.
▸ Un rectangle dont le petit côté mesure 3 cm et le grand côté mesure 5 cm a un périmètre qui mesure : - 3 + 5 + 3 + 5 cm = 2 × (3 + 5) cm = 2 × 8 cm = 16 cm
- 3 + 3 + 5 + 5 cm = (2 × 3) + (2 × 5) cm = 6 + 10 cm = 16 cm

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Quel est le périmètre du rectangle ?

$\quad$▸ On mesure le petit côté : 1,3 cm.
$\quad$▸ On mesure le grand côté : 2 cm.
► On calcule le périmètre : 2 $\times$ (1,3 cm + 2 cm) = 6,6 cm.

Refaire : Mesurer le périmètre d’un rectangle.

Exercice 5 : Périmètre d'un rectangle.

1

Donner leur périmètre.

Exercice 4 : Périmètre d'un quadrilatère.

1

Donner leur périmètre.

a. Construire un carré de 5 cm de côté. On fixe ici l’unité d’aire (u.a.) à l’aire d’un carré de 1 cm de côté.
b. Paver le carré construit par des carrés d’aire 1 u.a.
c. En déduire l’aire du carré de 5 cm de côté. 

Remarque ▸ Ici, 1 u.a. = 1 cm$^2$.

► L’aire d’un carré est le produit de la longueur d’un côté par elle-même.
► Si un carré a un côté de longueur $c$, l’aire A vaut donc :
$\quad$ ▸ $A = c \times c$
$\quad$ ▸ Aire = côté $\times$ côté
Remarque ▸ Il faut bien utiliser les mêmes unités dans le calcul ! On utilise ainsi les règles suivantes :

$\quad$ > cm $\times$ cm = cm$^2$
$\quad$ > m $\times$ m = m$^2$
$\quad$ > km $\times$ km = km$^2$
Exemple ▸ L’aire d’un carré de 3 cm de côté est 3 cm $\times$ 3 cm = 3 $\times$ 3 cm$^2$ = 9 cm$^2$.

Quelle est l’aire de ce carré ?
$\quad$▸ On mesure la longueur d’un côté : 2 cm.
$\quad$▸ On multiplie cette longueur par elle-même : 2 cm $\times$ 2 cm = 4 cm$^2$.

► L’aire vaut donc 4 cm$^2$.

Refaire : Calculer l’aire d’un carré.

► Tracer un rectangle de dimensions 4 carreaux par 7 carreaux. Compter le nombre de carreaux à l’intérieur. Pouvait-on s’y attendre ?

► L’aire d’un rectangle est le produit de la longueur par la largeur.
▸ A = longueur $\times$ largeur
Remarques ▸ Dans le cas d’un carré, longueur et largeur ont la même dimension.
▸ Si un rectangle est de longueur $l$ et de largeur $L$, alors l’aire du rectangle A vaut : A = $l \times L$.

Exemple ▸ Si un rectangle a une longueur de 3 cm et une largeur de 5 cm, alors son aire vaut 3 cm $\times$ 5 cm = 3 $\times$ 5 cm$^2$ = 15 cm$^2$.

Retenir

Quelle est l’aire de ce rectangle ?

$\quad$▸ La longueur mesure 2,2 cm.
$\quad$▸ La largeur mesure 1,5 cm.
$\quad$▸ On multiplie ces deux dimensions : 2,2 cm $\times$ 1,5 cm = 3,3 cm$^2$.


$\quad$► L’aire vaut donc 3,3 cm$^2$.

Refaire : Calculer l’aire d’un rectangle.

Exercice 6 : Aire d'un carré.

1

Donner leur aire.

Exercice 7 : Aire d'un rectangle.

1

Donner leur aire.

Exercice 8 : Donner l'aire d'un rectangle.

1

De dimensions 4 km par 7,6 km.

2

De dimensions 2,3 m par 4,2 m.

3

De dimensions 58,2 mm par 7,9 mm.

a. Tracer un rectangle de dimensions quelconques sur une feuille.
b. Quelle est son aire ?
c. Tracer une diagonale du rectangle et identifier deux triangles rectangles.
d. Comment calculer l’aire d’un des triangles rectangles à partir de celle du rectangle ?

► L’aire d’un triangle rectangle est égale au produit des deux côtés adjacents à l’angle droit, divisé par deux.

► Si l’on appelle la longueur de l’un des côtés adjacents $a$ et celle de l’autre côté adjacent $b$, l’aire A du triangle rectangle vaut donc :
$\quad$▸ A = $( a \times b ) \div 2$
$\quad$▸ A = $\dfrac{ a \times b}{2}$
Exemple ▸ Un triangle rectangle dont les côtés adjacents à l’angle droit mesurent 3 cm et 7 cm a donc une aire de :
(3 cm $\times$ 7 cm) $\div$ 2 = ((3 $\times$ 7) $\div$ 2) cm$^2$ = 21 $\div$ 2 cm$^2$ = 10,5 cm$^2$.

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Quelle est l’aire de ce triangle rectangle ?
$\quad$▸ On mesure un côté adjacent : 1,1 cm.
$\quad$▸ On mesure l’autre côté adjacent : 2,3 cm.
$\quad$▸ On calcule : (1,1 cm $\times$ 2,3 cm) $\div$ 2 = 1,265 cm$^2$.
► L’aire du triangle rectangle vaut donc 1,265 cm$^2$.

Refaire : Mesurer l’aire d’un triangle rectangle.

a. Repérer deux triangles rectangles dans la figure suivante.
b. Donner l’aire de chaque triangle rectangle.
c. En déduire l’aire du grand triangle.

Découvrir

► Dans un triangle, une hauteur est un segment perpendiculaire à un côté qui relie ce côté à un sommet.
$\quad$ ▸ Le segment [CH] est une hauteur du triangle ABC.
► On peut obtenir l’aire d’un triangle dont on connaît la longueur d’une hauteur. Si le triangle a une hauteur de longueur h et que le côté supportant la hauteur a une longueur s, alors l’aire du triangle vaut :
$\quad$ ▸ Aire = (support  $\times$  hauteur) $\div$ 2 
$\quad$ ▸ A = $\dfrac{s \times h}{2}$                     
Exemple ▸ Dans le triangle ABC, CH est une hauteur. Si CH = 7 cm et AB = 10 cm, alors l’aire du triangle vaut (7 cm $\times$ 10 cm) $\div$ 2 = (7 $\times$ 10) $\div$ 2 cm$^2$ = 35 cm$^2$.

Remarques ▸ La hauteur peut parfois être située hors du triangle, comme dans l’exemple ci-contre :
▸ Le calcul de l’aire se fait de la même manière : (hauteur $\times$ support) $\div$ 2.

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Quelle est l’aire du triangle ci-contre ?

$\quad$▸ On mesure la hauteur qui est tracée : 1,3 cm.
$\quad$▸ On mesure le support de cette hauteur : 2,3 cm.
$\quad$▸ On calcule : (1,3 cm $\times$ 2,3 cm) $\div$ 2 = 1,495 cm$^2$.
► L’aire du triangle est donc de 1,495 cm$^2$.

Refaire : Mesurer l’aire d’un triangle.

Exercice 9 : Aire d'un triangle rectangle.

1

Donner leur aire.

Exercice 10 : Donner l'aire d'un triangle rectangle dont les côtés adjacents à l'angle droit mesurent...

1

4 m et 8,2m.

2

7,3 cm et 5,1 cm.

3

42 mm et 21,3 mm.

4

1,3 km et 0,89 km.

5

21,3 hm et 2,38 hm.

Exercice 11 : Donné l'aire de chaque triangle.

1

En utilisant la hauteur qui est tracée.

Exercice 12 : Donner l'aire d'un triangle dont...

1

la hauteur mesure 2,1 m et son support 0,35 m.

2

la hauteur mesure 3,5 mm et son support 4,2 mm.

3

la hauteur mesure 2,3 cm et son support 8,74 cm.