a. Tracer un carré de 2 cm de côté et mesurer son périmètre. b. Tracer un carré de 5 cm de côté et mesurer son périmètre. c. Que remarque-t-on ?
Retenir
► Un carré (ou un losange) possède quatre côtés de longueurs égales.
▸ On « déroule » le carré.
► Si un carré ou un losange a des côtés de longueur c, son périmètre vaut c + c + c + c = 4 × c.
▸ Un carré de côté 3,2 cm a un périmètre de longueur 4 × 3,2 cm = 12,8 cm.
Retenir
Refaire : Mesurer le périmètre d’un carré.
Quel est le périmètre du carré suivant ?
▸ On mesure un côté : il vaut 2 cm.
▸ Les quatre côtés sont de longueur égale.
► Le périmètre vaut donc 4 × 2 cm = 8 cm.
Refaire : Mesurer le périmètre d’un carré.
Retenir
► Les côtés opposés d’un rectangle sont de même longueur.
▸ On « déroule » le rectangle.
► Si un rectangle a un côté de longueur l et un autre côté de longueur L, alors son périmètre sera l+L+l+L=2×(l+L).
► On peut aussi le calculer différemment : l+l+L+L=(2×l)+(2×L).
▸ Un rectangle dont le petit côté mesure 3 cm et le grand côté mesure 5 cm a un périmètre qui mesure :
- 3 + 5 + 3 + 5 cm = 2 × (3 + 5) cm = 2 × 8 cm = 16 cm - 3 + 3 + 5 + 5 cm = (2 × 3) + (2 × 5) cm = 6 + 10 cm = 16 cm
Retenir
Refaire : Mesurer le périmètre d’un rectangle.
Quel est le périmètre du rectangle ?
▸ On mesure le petit côté : 1,3 cm.
▸ On mesure le grand côté : 2 cm.
► On calcule le périmètre : 2 × (1,3 cm + 2 cm) = 6,6 cm.
Refaire : Mesurer le périmètre d’un rectangle.
Exercice 5 : Périmètre d'un rectangle.
1
Donner leur périmètre.
Exercice 4 : Périmètre d'un quadrilatère.
1
Donner leur périmètre.
B. Aire d'un carré et d'un rectangle
Découvrir
a. Construire un carré de 5 cm de côté. On fixe ici l’unité d’aire (u.a.) à l’aire d’un carré de 1 cm de côté. b. Paver le carré construit par des carrés d’aire 1 u.a. c. En déduire l’aire du carré de 5 cm de côté.
Remarque ▸ Ici, 1 u.a. = 1 cm2.
Retenir
► L’aire d’un carré est le produit de la longueur d’un côté par elle-même. ► Si un carré a un côté de longueur c, l’aire A vaut donc :
▸ A=c×c
▸ Aire = côté × côté
Remarque ▸ Il faut bien utiliser les mêmes unités dans le calcul ! On utilise ainsi les règles suivantes :
> cm × cm = cm2
> m × m = m2
> km × km = km2 Exemple ▸ L’aire d’un carré de 3 cm de côté est 3 cm × 3 cm = 3 × 3 cm2 = 9 cm2.
Refaire : Calculer l’aire d’un carré.
Quelle est l’aire de ce carré ?
▸ On mesure la longueur d’un côté : 2 cm.
▸ On multiplie cette longueur par elle-même : 2 cm × 2 cm = 4 cm2.
► L’aire vaut donc 4 cm2.
Refaire : Calculer l’aire d’un carré.
Découvrir
► Tracer un rectangle de dimensions 4 carreaux par 7 carreaux. Compter le nombre de carreaux à l’intérieur. Pouvait-on s’y attendre ?
Retenir
► L’aire d’un rectangle est le produit de la longueur par la largeur.
▸ A = longueur×largeur Remarques ▸ Dans le cas d’un carré, longueur et largeur ont la même dimension. ▸ Si un rectangle est de longueur l et de largeur L, alors l’aire du rectangle A vaut : A = l×L.
Exemple ▸ Si un rectangle a une longueur de 3 cm et une largeur de 5 cm, alors son aire vaut 3 cm × 5 cm = 3 × 5 cm2 = 15 cm2.
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Refaire : Calculer l’aire d’un rectangle.
Quelle est l’aire de ce rectangle ?
▸ La longueur mesure 2,2 cm.
▸ La largeur mesure 1,5 cm.
▸ On multiplie ces deux dimensions : 2,2 cm × 1,5 cm = 3,3 cm2.
► L’aire vaut donc 3,3 cm2.
Refaire : Calculer l’aire d’un rectangle.
Exercice 6 : Aire d'un carré.
1
Donner leur aire.
Exercice 7 : Aire d'un rectangle.
1
Donner leur aire.
Exercice 8 : Donner l'aire d'un rectangle.
1
De dimensions 4 km par 7,6 km.
2
De dimensions 2,3 m par 4,2 m.
3
De dimensions 58,2 mm par 7,9 mm.
C. Aire d'un triangle
Découvrir
a. Tracer un rectangle de dimensions quelconques sur une feuille. b. Quelle est son aire ? c. Tracer une diagonale du rectangle et identifier deux triangles rectangles. d. Comment calculer l’aire d’un des triangles rectangles à partir de celle du rectangle ?
Retenir
► L’aire d’un triangle rectangle est égale au produit des deux côtés adjacents à l’angle droit, divisé par deux.
► Si l’on appelle la longueur de l’un des côtés adjacents a et celle de l’autre côté adjacent b, l’aire A du triangle rectangle vaut donc :
▸ A = (a×b)÷2 ▸ A = 2a×b Exemple ▸ Un triangle rectangle dont les côtés adjacents à l’angle droit mesurent 3 cm et 7 cm a donc une aire de : (3 cm × 7 cm) ÷ 2 = ((3 × 7) ÷ 2) cm2 = 21 ÷ 2 cm2 = 10,5 cm2.
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Refaire : Mesurer l’aire d’un triangle rectangle.
Quelle est l’aire de ce triangle rectangle ?
▸ On mesure un côté adjacent : 1,1 cm.
▸ On mesure l’autre côté adjacent : 2,3 cm.
▸ On calcule : (1,1 cm × 2,3 cm) ÷ 2 = 1,265 cm2.
► L’aire du triangle rectangle vaut donc 1,265 cm2.
Refaire : Mesurer l’aire d’un triangle rectangle.
Découvrir
a. Repérer deux triangles rectangles dans la figure suivante. b. Donner l’aire de chaque triangle rectangle. c. En déduire l’aire du grand triangle.
Découvrir
Retenir
► Dans un triangle, une hauteur est un segment perpendiculaire à un côté qui relie ce côté à un sommet.
▸ Le segment [CH] est une hauteur du triangle ABC.
► On peut obtenir l’aire d’un triangle dont on connaît la longueur d’une hauteur. Si le triangle a une hauteur de longueur h et que le côté supportant la hauteur a une longueur s, alors l’aire du triangle vaut :
▸ Aire = (support×hauteur) ÷ 2
▸ A = 2s×h Exemple ▸ Dans le triangle ABC, CH est une hauteur. Si CH = 7 cm et AB = 10 cm, alors l’aire du triangle vaut (7 cm × 10 cm) ÷ 2 = (7 × 10) ÷ 2 cm2 = 35 cm2.
Remarques ▸ La hauteur peut parfois être située hors du triangle, comme dans l’exemple ci-contre : ▸ Le calcul de l’aire se fait de la même manière : (hauteur × support) ÷ 2.
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Refaire : Mesurer l’aire d’un triangle.
Quelle est l’aire du triangle ci-contre ?
▸ On mesure la hauteur qui est tracée : 1,3 cm.
▸ On mesure le support de cette hauteur : 2,3 cm.
▸ On calcule : (1,3 cm × 2,3 cm) ÷ 2 = 1,495 cm2.
► L’aire du triangle est donc de 1,495 cm2.
Refaire : Mesurer l’aire d’un triangle.
Exercice 9 : Aire d'un triangle rectangle.
1
Donner leur aire.
Exercice 10 : Donner l'aire d'un triangle rectangle dont les côtés adjacents à l'angle droit mesurent...
1
4 m et 8,2m.
2
7,3 cm et 5,1 cm.
3
42 mm et 21,3 mm.
4
1,3 km et 0,89 km.
5
21,3 hm et 2,38 hm.
Exercice 11 : Donné l'aire de chaque triangle.
1
En utilisant la hauteur qui est tracée.
Exercice 12 : Donner l'aire d'un triangle dont...
1
la hauteur mesure 2,1 m et son support 0,35 m.
2
la hauteur mesure 3,5 mm et son support 4,2 mm.
3
la hauteur mesure 2,3 cm et son support 8,74 cm.
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