2. Multiples et diviseurs

a. Effectuer de tête les divisions entières de 2, 4, 6 et 8 par 2. Qu’observe-t-on ?
b. Poser la division euclidienne de 4 112 par 3. Qu’observe-t-on ? Et pour la division euclidienne de 4 112 par 2 ?

► Un entier $b$ est un diviseur d’un autre entier $a$ lorsque le reste de la division euclidienne de $a$ par $b$ vaut zéro. On dit aussi que $a$ est un multiple de $b$ ou que $a$ est divisible par $b$.

Remarque ▸ Quand un nombre vaut zéro, on dit qu’il est nul.

Remarque ▸ Si $b$ divise $a$, $a$ est un multiple de $b$ et il existe donc un entier $q$ tel que $a = b \times q$. Par exemple, 3 divise 12 et $12 = 4 \times 3$.

Remarques ▸ $0$ est divisible par tous les nombres entiers : si $n$ est un nombre entier, $0 = n \times 0$.
▸ $1$ est divisible uniquement par $1$.

Le nombre 7 divise-t-il les nombres suivants ? 25 et 42.

▸ Posons la division euclidienne de 25 par 7.
Elle donne un quotient de 3 et un reste de 4. 7 ne divise donc pas 25.

▸ Posons la division euclidienne de 42 par 7.
Elle donne un quotient de 6 et un reste de 0. 7 est donc un diviseur de 42 et 42 = 6 × 7.

Refaire : Vérifier si un nombre est un diviseur d’un autre nombre.

► Recopier le tableau suivant, entourer en bleu les multiples de 2, en rouge ceux de 5 et en vert ceux de 10.

Remarque ▸ Pour étudier la divisibilité de nombres simples, on peut effectuer la division entière et voir si le reste est nul. Pour des grands nombres, c’est plus compliqué ! On peut alors utiliser les critères suivants.

Découvrir

► Un nombre divisible par 2 est appelé nombre pair. Un nombre entier est divisible par 2 si son dernier chiffre est 0, 2, 4, 6 ou 8.
$\quad$▸ 74 est divisible par 2 alors que 75 ne l’est pas.

► Un nombre entier est divisible par 5 si son dernier chiffre est 0 ou 5.
$\quad$▸ 595 est divisible par 5 alors que 778 ne l’est pas.

► Un nombre entier est divisible par 10 si son dernier chiffre est 0.
$\quad$▸ 450 est divisible par 10 alors que 7 758 ne l’est pas.
► Un nombre entier est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est un multiple de 3.
$\quad$▸ On additionne les chiffres de 612 : $6 + 1 + 2 = 9 = 3 \times 3$. Comme 9 est divisible par 3 alors 612 est aussi divisible par 3.
$\quad$▸ On additionne les chiffres de 599 : $5 + 9 + 9 = 23$. On veut maintenant savoir si 23 est divisible par 3. On additionne les chiffres de 23 : $2 + 3 = 5$. Comme 5 n’est pas divisible par 3 alors 599 ne l’est pas non plus.
► Un nombre entier est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est un multiple de 9.
$\quad$▸ On additionne les chiffres de 513 : $5 + 1 + 3 = 9$. Comme 9 est divisible par 9, 513 l’est aussi.
$\quad$▸ On additionne les chiffres de 731 : $7 + 3 + 1 = 11$. Comme 11 n’est pas divisible par 9, 731 ne l’est pas non plus.
► Un nombre entier est divisible par 4 si ses deux derniers chiffres forment un nombre divisible par 4.
$\quad$▸ On prend les deux derniers chiffres de 1 479 568 qui sont 6 et 8. Si l’on effectue la division de 68 par 4, on obtient un reste nul : 1 479 568 est donc divisible par 4.
$\quad$ ▸ On considère les deux derniers chiffres de 848 945. Si l’on effectue la division de 45 par 4, on obtient $45 = (4 \times 11) + 1$. 848 945 n’est donc pas divisible par 4.

► Les nombres 42 et 43 sont-ils divisibles par 2 ?
$\quad$ ▸ On regarde le dernier chiffre de ces deux nombres. Pour 42 c’est 2. Donc 42 est divisible par 2 ($42 = 2 \times 21$). Pour 43 c’est 3. Donc 43 n’est pas divisible par 2.
► Les nombres 39 et 40 sont-ils divisibles par 3 ?
$\quad$ ▸ La somme des chiffres de 39 vaut $3 + 9 = 12$. La somme des chiffres de 12 vaut $1 + 2 = 3$. 12 est donc divisible par 3 et 39 l’est donc aussi ($39 = 3 \times 13$). La somme des chiffres de 40 est $4 + 0 = 4$, qui n’est pas divisible par 3. 40 n’est pas divisible par 3.
► Les nombres 2196 et 2198 sont-ils divisibles par 4 ?
$\quad$ ▸ Les deux derniers chiffres de 2 196 et 2 198 forment 96 et 98. La division euclidienne de 96 par 4 donne un reste de 0 ($96 = 4 \times 24$) et celle de 98 par 4 donne un reste de 2 ($98 = 4 \times 24 + 2$). Seul 2 196 est divisible par 4.

Exercice 1 : Parmi les nombres suivants, desquels sont-ils des multiples : 2, 5, 10, 3, 9, ou 4 ?

1

8

2

45

3

20

4

8 754

5

666

6

8 280

Exercice 2 : Donner tous les diviseurs des nombres suivants.

1

8

2

15

3

22

4

27

5

17

6

42