Mathématiques 6e 2016
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Du primaire au collège
Ch. 1
Manipuler les nombres entiers
Ch. 2
Les nombres décimaux
Ch. 3
Addition, soustraction
Ch. 4
Multiplication, division décimale
Ch. 5
Fractions
Ch. 6
Proportionnalité
Ch. 7
Construction de droites
Ch. 8
Distances et cercles
Ch. 9
Angles
Ch. 10
Symétrie axiale
Ch. 11
Triangles, rectangles et losanges
Ch. 12
Aire et périmètre
Ch. 13
Volumes
Chapitre 1
Pas à pas
2. Multiples et diviseurs
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ANotion de diviseur
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Découvrir
a. Effectuer de tête les divisions entières de 2, 4, 6 et 8 par 2. Qu'observe-t-on ?
b. Poser la division euclidienne de 4 112 par 3. Qu'observe-t-on ? Et pour la division euclidienne de 4 112 par 2 ?
b. Poser la division euclidienne de 4 112 par 3. Qu'observe-t-on ? Et pour la division euclidienne de 4 112 par 2 ?
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Retenir
Un entier b est un diviseur d'un autre entier a lorsque le reste de la division euclidienne de a par b vaut zéro. On dit aussi que a est un multiple de b ou que a est divisible par b.
Remarque :
Quand un nombre vaut zéro, on dit qu'il est nul.
Remarque :
Quand un nombre vaut zéro, on dit qu'il est nul.
Remarque :
Si b divise a, a est un multiple de b et il existe donc un entier q tel que a = b \times q. Par exemple, 3 divise 12 et 12 = 4 \times 3.
Remarques :
Si b divise a, a est un multiple de b et il existe donc un entier q tel que a = b \times q. Par exemple, 3 divise 12 et 12 = 4 \times 3.
Remarques :
- 0 est divisible par tous les nombres entiers : si n est un nombre entier, {0 = n \times 0}.
- 1 est divisible uniquement par 1.
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Refaire Vérifier si un nombre est un diviseur d'un autre nombre
Le nombre 7 divise-t-il les nombres suivants ? 25 et 42.
- Posons la division euclidienne de 25 par 7.
- Elle donne un quotient de 3 et un reste de 4.
7 ne divise donc pas 25. - Posons la division euclidienne de 42 par 7.
- Elle donne un quotient de 6 et un reste de 0.
7 est donc un diviseur de 42 et 42 = 6 × 7.
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BCritère de divisibilité
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Découvrir
Dans le tableau suivant, entourer en bleu les multiples de 2, en rouge ceux de 5 et en vert ceux de 10.
Remarque :
Pour étudier la divisibilité de nombres simples, on peut effectuer la division entière et voir si le reste est nul. Pour des grands nombres, c'est plus compliqué ! On peut alors utiliser les critères suivants.
Remarque :
Pour étudier la divisibilité de nombres simples, on peut effectuer la division entière et voir si le reste est nul. Pour des grands nombres, c'est plus compliqué ! On peut alors utiliser les critères suivants.
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Retenir
- Un nombre divisible par 2 est appelé nombre pair. Un nombre entier est divisible par 2 si son dernier chiffre est 0, 2, 4, 6 ou 8.
- 74 est divisible par 2 alors que 75 ne l'est pas.
- Un nombre entier est divisible par 5 si son dernier chiffre est 0 ou 5.
- 595 est divisible par 5 alors que 778 ne l'est pas.
- Un nombre entier est divisible par 10 si son dernier chiffre est 0.
- 450 est divisible par 10 alors que 7 758 ne l'est pas.
- Un nombre entier est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est un multiple de 3.
- On additionne les chiffres de 612 : 6 + 1 + 2 = 9 = 3 \times 3.
9 est divisible par 3 alors 612 est aussi divisible par 3. - On additionne les chiffres de 599 : 5 + 9 + 9 = 23.
On veut maintenant savoir si 23 est divisible par 3. On additionne les chiffres de 23 : 2 + 3 = 5. Comme 5 n'est pas divisible par 3 alors 599 ne l'est pas non plus.
- Un nombre entier est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est un multiple de 9.
- On additionne les chiffres de 513 : 5 + 1 + 3 = 9. Comme 9 est divisible par 9, 513 l'est aussi.
- On additionne les chiffres de 731 : 7 + 3 + 1 = 11. Comme 11 n'est pas divisible par 9, 731 ne l'est pas non plus.
- Un nombre entier est divisible par 4 si ses deux derniers chiffres forment un nombre divisible par 4.
- On prend les deux derniers chiffres de 1 479 568 qui sont 6 et 8. Si l'on effectue la division de 68 par 4, on obtient un reste nul : 1 479 568 est donc divisible par 4.
- On considère les deux derniers chiffres de 848 945. Si l'on effectue la division de 45 par 4, on obtient 45 = (4 \times 11) + 1. 848 945 n'est donc pas divisible par 4.
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Refaire Utiliser les critère de divisibilité
- Les nombres 42 et 43 sont-ils divisibles par 2 ?
- On regarde le dernier chiffre de ces deux nombres. Pour 42 c'est 2. Donc 42 est divisible par 2 (42 = 2 \times 21). Pour 43 c'est 3. Donc 43 n'est pas divisible par 2.
- Les nombres 39 et 40 sont-ils divisibles par 3 ?
- La somme des chiffres de 39 vaut 3 + 9 = 12. La somme des chiffres de 12 vaut 1 + 2 = 3. On sait donc que 12 est divisible par 3 et 39 l'est aussi (39 = 3 \times 13). La somme des chiffres de 40 est 4 + 0 = 4, qui n'est pas divisible par 3. Donc 40 n'est pas divisible par 3.
- Les nombres 2 196 et 2 198 sont-ils divisibles par 4 ?
- Les deux derniers chiffres de 2 196 et 2 198 forment 96 et 98. La division euclidienne de 96 par 4 donne un reste de 0 (en effet 96 = 4 \times 24) et celle de 98 par 4 donne un reste de 2 (on a 98 = 4 \times 24 + 2). Seul 2 196 est divisible par 4.
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Exercice 4Les nombres suivants sont-ils des multiples de 2, 5, 10, 3, 9, ou 4 ?
1. 8
2. 45
3. 20
4. 8 754
5. 666
6. 8 280
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Exercice 5Donner tous les diviseurs des nombres suivants
1. 8
2. 15
3. 22
4. 27
5. 17
6. 42
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