3. Calculer hors d'un système décimal : l'exemple des mesures de temps

Notre système de numération est décimal, c’est-à-dire que les nombres sont écrits avec des « paquets de dix ». Par exemple, une dizaine vaut dix unités, une centaine vaut dix dizaines. C’est la base 10 ! Il existe d’autres manières de noter les nombres, par exemple lorsque l’on veut noter des horaires et des durées.

a. Quelles sont les différentes unités de temps couramment utilisées ?
b. Exprimer la durée d’une minute en secondes, la durée d’une heure en minutes puis en secondes et finalement la durée d’un jour en heures, en minutes puis en secondes. Est-ce un système décimal ?

Remarque ▸ Ce système est en base 60, c’est un système sexagésimal.

Combien de secondes y a-t-il dans 3 h 22 min 17 s ?

$\quad$▸ 1 min = 60 s donc 22 min = 22 $\times$ 60 s = 1 320 s.
$\quad$▸ 1 h = 60 min = 3 600 s, donc 3 h = 3 $\times$ 3 600 s = 10 800 s.
$\quad$▸ 3 h 22 min 17 s = 10 800 + 1 320 + 17 s = 12 137 s.

Convertir 8 869 s en heures, minutes et secondes.
$\quad$▸ 1 h = 3 600 s, on effectue la division euclidienne de 8 869 par 3 600. Ainsi 8 869 = 2 $\times$ 3 600 + 1 669. Donc 8 869 s = 2 h 1 669 s.
$\quad$▸ 1 min = 60 s, on effectue la division euclidienne de 1 669 par 60. Ainsi 1 669 = 27 $\times$ 60 + 49. Donc 8 869 s = 2 h 27 min 49 s.

► Calculer 3 h 53 min 15 s + 1 h 22 min et 48 s.


$\quad$▸ On pose l’addition et on additionne séparément heures, minutes et secondes :
$\quad$▸ On passe en écriture valide : 63 = 60 $\times$ 1 + 3 (c’est la division euclidienne de 63 par 60).
$\quad$▸ Ainsi 63 s = 1 min + 3 s. On a une retenue pour les minutes !
$\quad$▸ De même pour les minutes ; 76 min = 1 h 16 min.
$\quad$▸ On continue pour les heures, etc.

► Ainsi 3 h 53 min 15 s + 1 h 22 min 48 s = 5 h 16 min 3 s.

Refaire : Additionner deux durées.

Soustraire 1 h 15 min 33 s à 2 h 12 min 11 s.

▸ Ainsi 2 h 12 min 11 s – 1 h 15 min 33 s = 56 min 38 s.

Refaire : Soustraire deux durées.

Exercice 6 : Écrire correctement les durées suivantes.

1

5 min 389 s.

2

13 h 59 min 192 s.

3

47 h 129 min 364 s.

Exercice 7 : Effectuer ces opérations.

1

1 h 15 min 38 s + 2 h 13 min 59 s.

2

2 j 5 h 33 min 12 s + 5 j 3 h 12 min 5 s.

Exercice 8 : Effectuer ces opérations.

1

2 h 15 min 33 s - 1 h 12 min 2 s.

2

1 h 13 min 3 s - 55 min 45 s.

3

4 h 1 min - 2 h 55 min 47 s.

Exercice 9 : Résoudre ces problèmes.

1

Marion fait un concours de clafoutis avec sa sœur et veut le réaliser le plus rapidement possible. Marion le réalise 6 min 47 s plus rapidement que sa sœur, qui a mis 42 min 12 s. En combien de temps Marion a-t-elle fait son clafoutis ?

2

Le train d'Igor devait arriver à 17 h 45 min, il a malheureusement 12 min de retard. À quelle heure Igor arrive-t-il à la gare ? Il a ensuite 24 min de trajet pour rentrer chez lui. À quelle heure arrive-t-il chez lui ?