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Chapitre 14
Les maths autrement

Autour de quadrilatères

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Présentation

Victor Thébault (1882-1960)

est un mathématicien français connu principalement pour sa création de trois problèmes de géométrie. À partir de l'un d'eux, nous allons construire un pavage.
Placeholder pour Gravure, portrait de Pierre Varignon, mathématicien français du XVIIIe siècle, vêtu d'une robe sombre.Gravure, portrait de Pierre Varignon, mathématicien français du XVIIIe siècle, vêtu d'une robe sombre.
Pierre Varignon

Pierre Varignon (1654-1722)

est un père jésuite qui était, à son époque, l'un des géomètres français les plus célèbres.

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Compétences travaillées

  • J'émets une hypothèse
  • Je réprésente des objets et des figures géométriques
  • Je fais appel à mes connaissances pour comprendre et résoudre un problème
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Étape 1
Théorème de Thébault

\text{ABCD} est un parallélogramme. Quatre carrés sont construits à partir de ses côtés. Nommez M, N, O et P, les centres des quatre carrés.

figure géométrique
1. Après avoir réalisé une figure, émettez une conjecture sur la nature du quadrilatère \text{MNOP}.
Cliquez pour accéder à une zone de dessin
Cette conjecture a été démontrée par Victor Thébault. Ce motif permet aussi de paver le plan.
c4.14.inf1436-01.svg
2. Quelle transformation permet de passer du motif de départ au pavage ?
 3. Utilisez l'outil correspondant dans un logiciel de géométrie dynamique pour reproduire ce pavage à l'aide de votre figure de départ.
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Supplément numérique

Envie d'en savoir plus ? Découvrez les démonstrations des théorèmes de
Thébault
 et
Varignon
.
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Étape 2
Théorème de Varignon

1.  Tracez un quadrilatère quelconque \text{ABCD}. Placez \text{I, J, K} et \text{L}, les milieux respectifs des côtés \text{[AB]}, \text{[BC]}, \text{[CD]} et \text{[AD]}.
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2.  Tracez le quadrilatère \text{IJKL}. Émettez une conjecture sur la nature de ce quadrilatère.
 Observer les cas où \text{ABCD} est un quadrilatère particulier : un rectangle, un losange, un carré…
Cette conjecture a été démontrée par Pierre Varignon, à l'aide du « théorème des milieux ». 
Il dit que la droite coupant deux côtés adjacents d'un quadrilatère en leurs milieux respectifs est parallèle à l'une de ses diagonales. Ceci peut se démontrer grâce au théorème de Thalès (chapitre 17).
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