Ch. 10
Activité 2 - documentaire
Variation exponentielle de population
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Introduction
Les modèles affines ne sont pas les seuls à être utilisés pour décrire les
évolutions de population. Certaines peuvent être notamment modélisées
par des modèles exponentiels. La population est alors multipliée, à chaque
intervalle de temps, par un même facteur.
Problématique
Comment modéliser l'évolution d'un effectif par une suite géométrique ?
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- Notation u(n)
- Puissance
- Représentations graphiques de courbes exponentielles
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Documents
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Doc. 1Population mondiale de 1950-1990 et de 2000-2020
| Année | Population mondiale | Variation relative (%) | Variation absolue |
|---|---|---|---|
| 1950 | 2 525 149 000 | ||
| 1955 | 2 758 315 000 | +9,23 | 233 166 000 |
| 1960 | 3 018 344 000 | +9,43 | 260 029 000 |
| 1965 | 3 322 495 000 | +10,08 | 304 151 000 |
| 1970 | 3 682 488 000 | +10,84 | 359 993 000 |
| 1975 | 4 061 399 000 | +10,29 | 378 911 000 |
| 1980 | 4 439 632 000 | +9,31 | 378 233 000 |
| 1985 | 4 852 541 000 | +9,30 | 412 909 000 |
| 1990 | 5 309 668 000 | +9,42 | 457 127 000 |
| Taux d'évolution sur la période | +9,34 | ||
| Année | Population mondiale | Variation relative (%) | Variation absolue |
|---|---|---|---|
| 2000 | 6 126 622 000 | ||
| 2005 | 6 519 636 000 | +6,41 | 393 014 000 |
| 2010 | 6 929 725 000 | +6,29 | 410 089 000 |
| 2015 | 7 349 472 000 | +6,06 | 419 747 000 |
| 2020 | 7 794 799 000 | +6,06 | 445 327 000 |
| Taux d'évolution sur la période | +6,06 | ||
Source : ONU (The World Population Prospects : the 2015 Revision)
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Doc. 2Répartition et prévisions de la population
selon les régions du monde
Évolution depuis 1950 et projection selon l'ONU jusqu'en 2050 de la population mondiale
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Doc. 3Croissance exponentielle
La croissance ou la décroissance d'une population est exponentielle
si celle-ci est multipliée par un même facteur à
chaque unité de temps. On peut la décrire à l'aide de la
variation relative (ou taux d'évolution) qui correspond à un
rapport constant :
On peut alors modéliser cette évolution par une suite géométrique, c'est-à-dire une suite dont le rapport entre deux termes consécutifs est constant, ou sous la forme :
u(n) = u(0) \cdot (1+t)^n \quad \Big| \quad u(0): \text{effectif initial}
\begin{array}{l|l}
t=\frac{u(n+1)-u(n)}{u(n)} & \begin{array}{l}
t: \text { variation relative ou taux } \\
\text { d'évolution } \\
u(n): \text { effectif à l'année } n
\end{array}
\end{array}
Si la variation relative par unité de temps est constante, alors la
population suit une croissance ou décroissance exponentielle.On peut alors modéliser cette évolution par une suite géométrique, c'est-à-dire une suite dont le rapport entre deux termes consécutifs est constant, ou sous la forme :
u(n) = u(0) \cdot (1+t)^n \quad \Big| \quad u(0): \text{effectif initial}
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Questions
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1. Doc. 1 En comparant les évolutions de la variation
relative et de la variation absolue sur les deux
périodes 1950-1990 et 2000-2020, justifier que la
population mondiale suit plutôt une croissance
exponentielle.
2. Doc. 2 Identifier des régions du monde ne vérifiant
pas graphiquement ce type d'évolution.
3. Doc. 1 et Doc. 3 En vous basant sur le taux d'évolution
moyen entre 2000 et 2020, estimer :
- la population mondiale en 2050 et la comparer aux projections de l'ONU qui envisage 10 milliards d'êtres humains ;
- le nombre d'années nécessaires pour que la population mondiale double par rapport à celle de l'année 2000.
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