Chapitre 5
Exercices
Python
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ConsignePour les exerices 18 à 22
Dans ces exercices, on cherche à simuler le tirage d'une boule verte dans une urne qui contient trois boules vertes et sept boules noires.
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Exercice 18Simulation d'échantillon préliminaire.
1. Tester plusieurs fois le programme suivant permettant de générer une variable aléatoire \text{X}.
2. Expliquer pourquoi la variable aléatoire \text{X} suit une loi de Bernoulli de paramètre 0{,}3.
3. Que doit‑on modifier dans ce programme pour que la variable aléatoire suive une loi de Bernoulli de paramètre 0{,}7 ?
from random import * def simulation1(): tirage = randint(1, 10) if tirage <= 3: return 1 else: return 0
2. Expliquer pourquoi la variable aléatoire \text{X} suit une loi de Bernoulli de paramètre 0{,}3.
3. Que doit‑on modifier dans ce programme pour que la variable aléatoire suive une loi de Bernoulli de paramètre 0{,}7 ?
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Exercice 19Simulation d'échantillons — partie 1.
Compléter le programme suivant afin qu'il retourne une liste contenant un échantillon de n valeurs d'une variable aléatoire qui suit la loi de Bernoulli de paramètre p = 0{,}3.
from random import *
def simulation2(n):
echantillon = []
for i in range(n):
tirage = randint(1, 10)
if tirage ... :
echantillon.append(1)
else:
echantillon.append(0)
return echantillon
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Exercice 20Simulation d'échantillons — partie 2.
from random import *
def simulation2(n):
echantillon = []
for i in range(1, n):
tirage = randint(1, 10)
if tirage ... :
echantillon.append(1)
else:
echantillon.append(0)
return echantillon
À l'aide de la fonction \color{purple}\bf{simulation2} de l'exercice précédent reproduit ci‑dessus, expliquer pourquoi le programme suivant affiche une liste de 100 échantillons contenant chacun une liste de n valeurs d'une variable aléatoire de loi de Bernoulli de paramètre 0{,}3.
def simulation3(n):
L = []
for i in range(100):
L1 = simulation2(n)
L.append(L1)
return L
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Exercice 21Estimation de l'espérance
1. Tester à plusieurs reprises le programme ci‑dessous.
a. Que remarque‑t‑on sur les différentes valeurs affichées ?
b. Quelle est la taille de l'échantillon sur lequel on a calculé la moyenne ?
2. Modifier le programme pour calculer la moyenne sur un échantillon de taille 10 000, puis reprendre la question 1. a.
from random import random
def genereechantillon(n,p):
echantillon = []
for i in range(n):
tirage = random()
if tirage <= p:
echantillon.append(1)
else :
echantillon.append(0)
return echantillon
ech = genereechantillon(100,0.3)
total = 0
for j in range(100):
total = total + ech[j]
moyenne = total/100
print(moyenne)
a. Que remarque‑t‑on sur les différentes valeurs affichées ?
b. Quelle est la taille de l'échantillon sur lequel on a calculé la moyenne ?
2. Modifier le programme pour calculer la moyenne sur un échantillon de taille 10 000, puis reprendre la question 1. a.
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Exercice 22
Dans l'exercice précédent, on a écrit un programme qui calcule une estimation de l'espérance avec la moyenne d'un échantillon.
On avait remarqué que la moyenne calculée était proche de l'espérance, mais pouvait fluctuer autour de cette valeur.
Proposer un programme qui calcule automatiquement 200 estimations de l'espérance et qui affiche la proportion de ces estimations qui sont dans l'intervalle [\text{moyenne} - \text{écart type ; moyenne} + \text{écart type}].
On testera ce programme avec plusieurs valeurs de p avant de conclure.
On pourra admettre que l'écart type est \sqrt{p(1-p)} et se référer au .
On avait remarqué que la moyenne calculée était proche de l'espérance, mais pouvait fluctuer autour de cette valeur.
Proposer un programme qui calcule automatiquement 200 estimations de l'espérance et qui affiche la proportion de ces estimations qui sont dans l'intervalle [\text{moyenne} - \text{écart type ; moyenne} + \text{écart type}].
On testera ce programme avec plusieurs valeurs de p avant de conclure.
On pourra admettre que l'écart type est \sqrt{p(1-p)} et se référer au .
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j'ai une idée !
Oups, une coquille
