Chapitre 5
Exercices
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Déterminer la loi de probabilité d'une variable aléatoire
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Exercice 23
On lance un dé équilibré. On gagne 2 € si le résultat est pair et 10 € si le résultat est 5. Sinon, on perd 3 €. Soit \text{X} la variable aléatoire correspondant au gain obtenu en euro. Donner la loi de probabilité de \text{X.}
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Exercice 24
On tire une carte au hasard dans un jeu de 52 cartes. On gagne 5 € si la carte est une figure (un valet, une dame ou un roi), 2 € si la carte est un as et rien sinon. Soit \text{X} la variable aléatoire correspondant au gain obtenu en euro. Donner la loi de probabilité de \text{X.}
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Exercice 25
On choisit une voiture au hasard dans un parc qui
en contient 100, réparties selon leur catégorie Crit'Air.
Soit \text{X} la variable aléatoire correspondant à la catégorie du Crit'Air de la voiture choisie. Quelle est la probabilité des événements \{\text{X} = 3\} et \{\text{X} \geqslant 4\} ?
| Crit'Air | Effectif |
|---|---|
| 0 | 12 |
| 1 | 22 |
| 2 | 29 |
| 3 | 27 |
| 4 | 6 |
| 5 | 4 |
Soit \text{X} la variable aléatoire correspondant à la catégorie du Crit'Air de la voiture choisie. Quelle est la probabilité des événements \{\text{X} = 3\} et \{\text{X} \geqslant 4\} ?
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Exercice 26
Dans une loterie, les lots sont répartis selon le tableau ci‑dessous.
Soit \text{X} la variable aléatoire correspondant au gain d'un joueur en euro. Calculer et interpréter \text{P}(\text{X} \geqslant 50).
| Valeur | Nombre |
|---|---|
| 500 € | 1 |
| 100 € | 2 |
| 50 € | 5 |
| 20 € | 32 |
| 0 € | 300 |
Soit \text{X} la variable aléatoire correspondant au gain d'un joueur en euro. Calculer et interpréter \text{P}(\text{X} \geqslant 50).
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Calculer l'espérance d'une variable aléatoire discrète
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Exercice 27
Soit \text{X} la variable aléatoire correspondant à la distance moyenne, en km, parcourue à pied par jour par un randonneur.
Calculer et interpréter l'espérance de \text{X.}
| Distance | Probabilité |
|---|---|
| 2 km | 0,1 |
| 6 km | 0,5 |
| 8 km | 0,25 |
| 10 km | 0,15 |
Calculer et interpréter l'espérance de \text{X.}
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Exercice 28
Soit \text{X} la variable aléatoire correspondant au diamètre en centimètre des pommes d'un verger dont on donne la répartition ci-dessous.
Calculer et interpréter l'espérance de \text{X.}
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Exercice 29
On lance un dé équilibré à six faces, numérotées de 1 à 6. Soit \text{X} la variable aléatoire correspondant au triple du résultat du dé.
1. Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire \text{X}.
2. Calculer l'espérance de \text{X.}
1. Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire \text{X}.
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Exercice 30
Les 60 notes à un examen sont réparties selon le diagramme en barres suivant.
On choisit un candidat au hasard et de manière équiprobable et on note \text{X} la variable aléatoire correspondant à sa note.
1. Déterminer la loi de probabilité de \text{X.}
2. Calculer et interpréter \mathrm{E}(\mathrm{X}).
On choisit un candidat au hasard et de manière équiprobable et on note \text{X} la variable aléatoire correspondant à sa note.
1. Déterminer la loi de probabilité de \text{X.}
2. Calculer et interpréter \mathrm{E}(\mathrm{X}).
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Exercice 31
On lance une pièce de monnaie équilibrée.
On gagne 1 € si elle retombe côté face.
Quel gain doit‑on attribuer au côté pile afin que l'espérance du gain soit nulle ?
On gagne 1 € si elle retombe côté face.
Quel gain doit‑on attribuer au côté pile afin que l'espérance du gain soit nulle ?
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Reconnaître une épreuve de Bernoulli
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Exercice 32
On tire une carte au hasard dans un jeu de 52 cartes. On gagne si on tire un as et on perd dans les autres cas.
Justifier que cette expérience est une épreuve de Bernoulli. Quel est son paramètre ?
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Exercice 33
On choisit une personne au hasard dans la population dont on estime à 12,5 % la proportion de gauchers.
On appelle succès l'événement : « La personne choisie est gauchère. ».
Justifier que cette expérience est une épreuve de Bernoulli dont on explicitera le paramètre.
On appelle succès l'événement : « La personne choisie est gauchère. ».
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Exercice 34
Un sac contient des jetons noirs et blancs. On tire au hasard un jeton. Le graphique ci‑dessous montre l'évolution de la fréquence de jetons blancs obtenus quand on répète 1 000 fois l'expérience.
Justifier que cette expérience est une épreuve de Bernoulli. Donner une estimation de son paramètre.
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Exercice 35
On considère l'algorithme suivant.
Justifier que cet algorithme simule une épreuve de Bernoulli et préciser son paramètre.
\boxed{
\begin{array} { r|l }
1 & a \leftarrow \text{Nombre entier aléatoire} \\
2 & \text{entre 0 et 1} \\
3 & \text{si } a \leqslant 83 : \\
4 & \quad x \leftarrow 1 \\
5 & \text{sinon :} \\
6 & \quad x \leftarrow 0 \\
\end{array}
}
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Exercice 36
On lance un dé à six faces équilibré. Définir un succès afin que cette expérience aléatoire définisse une épreuve de Bernoulli de paramètre \frac{1}{3}.
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Exercice 37
Parmi les expériences suivantes, lesquelles correspondent à des épreuves de Bernoulli ?
1. On lance une pièce bien équilibrée. On regarde si elle tombe sur pile ou sur face.
2. On lance une pièce truquée, on gagne 1 € si elle tombe sur pile et 0 € si elle tombe sur face.
3. On lance deux fois une pièce bien équilibrée, on regarde le nombre de fois où elle tombe sur pile.
4. On lance un dé à six faces équilibré et on s'intéresse au double de la face obtenue.
1. On lance une pièce bien équilibrée. On regarde si elle tombe sur pile ou sur face.
2. On lance une pièce truquée, on gagne 1 € si elle tombe sur pile et 0 € si elle tombe sur face.
3. On lance deux fois une pièce bien équilibrée, on regarde le nombre de fois où elle tombe sur pile.
4. On lance un dé à six faces équilibré et on s'intéresse au double de la face obtenue.
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Utiliser un arbre de probabilité
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Exercice 38
Grâce à notre outil d'édition d'image, compléter l'arbre de probabilité ci‑dessous, les deux expériences étant indépendantes.
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Exercice 39
On tire une carte dans un jeu de 52 cartes. On regarde si c'est un as, une figure (valet, dame ou roi) ou un nombre entre 2 et 10, puis si c'est un pique.
Grâce à notre outil d'édition d'image, compléter l'arbre ci‑dessous.
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Exercice 40
Sur son trajet, un conducteur rencontre deux feux tricolores. On note respectivement \text{R}_1 et \text{R}_2 les événements « Le 1er feu est rouge. » et « Le 2e feu est rouge. ».
Calculer la probabilité que les deux feux soient rouges.
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Exercice 41
Retrouver les erreurs présentes dans cet arbre représentant deux expériences aléatoires indépendantes.
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Exercice 42
En utilisant les informations de l'arbre de probabilité ci‑dessous, donner les valeurs de \mathrm{P}(\mathrm{A}) et \mathrm{P}(\mathrm{B}).
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Reconnaître un schéma de Bernoulli
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Exercice 43
Une pièce truquée tombe 5 fois sur 9 sur le côté pile. On lance 20 fois cette pièce. On appelle succès l'événement : « La pièce tombe sur pile. ».
Justifier que cette expérience définit un schéma de Bernoulli et préciser ses paramètres.
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Exercice 44
Compléter l'arbre ci‑dessous afin qu'il représente un schéma de Bernoulli de paramètre 0{,}34.
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Exercice 45
On tire en même temps deux chaussettes dans un tiroir qui en contient 15, dont 4 rouges. On regarde ensuite la couleur de chacune et on appelle succès l'événement : « La chaussette est rouge. ».
Cette expérience correspond‑elle à un schéma de Bernoulli ?
Cette expérience correspond‑elle à un schéma de Bernoulli ?
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Exercice 46
Une entreprise fabrique quotidiennement 10 000 harnais pour chien. Il a été observé que 3 % de la production comportait un défaut de fabrication.
On prélève au hasard cinq harnais. La production totale étant importante, on peut assimiler cette expérience à un tirage avec remise.
Cette situation correspond‑elle à un schéma de Bernoulli ?
On prélève au hasard cinq harnais. La production totale étant importante, on peut assimiler cette expérience à un tirage avec remise.
Cette situation correspond‑elle à un schéma de Bernoulli ?
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