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Partie 1 : Analyse
Ch. 1
Suites
Ch. 2
Fonctions
Ch. 3
Dérivation
Partie 2 : Statistiques et probabilités
Ch. 4
Fréquences conditionnelles et probabilités conditionnelles
Automatismes
Partie 3 : Géométrie
Ch. 6
Trigonométrie
Ch. 7
Produit scalaire
Ch. 8
Nombres complexes
Partie 4 : Analyse
Ch. 9
Compléments sur la dérivation
Ch. 10
Primitives
Révisions Genially
Chapitre 5
Cours 2

Expériences aléatoires à plusieurs épreuves indépendantes

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A
Expériences aléatoires à plusieurs épreuves indépendantes

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Définition
On réalise successivement plusieurs expériences aléatoires. Dans un arbre de probabilité, la première série de branches indique les issues de la première expérience, la seconde série de branches indique les issues de la seconde, etc.

Sur chaque branche est indiquée la probabilité de l'issue correspondante.

On dit que les deux expériences sont indépendantes lorsque les probabilités des issues de la seconde expérience sont les mêmes quel que soit le résultat de la première expérience.
Remarque
Un arbre de probabilité est pratique pour représenter des expériences aléatoires à 2, 3 ou 4 épreuves.
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Exemples
On tire au hasard le dossier d'un élève parmi ceux d'un lycée. On regarde son collège d'origine (\text{A}_1, \text{A}_2 ou \text{A}_3) et sa LV1 (\text{B} : anglais, \bar{\text{B}} : autre).

D'après l'arbre ci‑dessous, la probabilité qu'il vienne du collège \text{A}_1 est \frac{3}{5}, et, quel que soit son collège d'origine, la probabilité qu'il ait choisi l'anglais LV1 est 0,7.
Remarque
Si les expériences aléatoires sont indépendantes, une même série de branches se répète après la première, avec les mêmes probabilités chaque fois. Si ce n'est pas le cas, alors les événements ne sont pas indépendants.

arbre de probabilité - exemple 1 - cours 2.A.
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On observe que les événements « L'élève vient du collège \text{A}_1. » et « L'élève a choisi l'anglais LV1. » sont indépendants car la probabilité de \text{B} est la même que l'événement \text{A}_1 soit réalisé ou non.
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Définition
Dans un arbre de probabilité, on appelle chemin une suite de branches, décrivant une succession d'événements.
Remarque
La somme des probabilités inscrites sur les branches issues d'un même nœud vaut toujours 1.
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Exemples
Sur l'arbre de l'exemple précédent, on compte six chemins possibles : de \left(\mathrm{A}_{1}\:, \mathrm{B}\right) à \left(\mathrm{A}_{3}\:, \overline{\mathrm{B}}\right).
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Propriété
La probabilité d'un chemin est égale au produit des probabilités situées sur les branches qui le composent.
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Exemples
Dans l'exemple ci‑dessus, la probabilité que l'élève choisi vienne du collège \text{A}_1 et qu'il suive l'enseignement d'anglais en LV1 est \mathrm{P}\left(\mathrm{A}_{1} \cap \mathrm{B}\right)=\frac{3}{5} \times 0{,}7=0{,}42.
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Application et méthode - 4

Construire et exploiter un arbre de probabilité

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Énoncé
Pour qu'un enfant ait les yeux bleus, il faut que ses deux parents possèdent l'allèle (version d'un gène) correspondant. On note \text{B} l'événement « Avoir l'allèle des yeux bleus. ». On choisit au hasard et de manière indépendante deux personnes dans la population et on regarde si elles possèdent cet allèle. On suppose que 40 % de la population possède l'allèle des yeux bleus.

1. Recopier et compléter l'arbre de probabilité ci‑dessous.

arbre de probabilité - énoncé - Application et méthode 4
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2. Déterminer la probabilité que les deux parents aient l'allèle des yeux bleus.
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Solution
1. D'après l'énoncé, \mathrm{P}(\mathrm{B})=0{,}4. On en déduit \mathrm{P}(\overline{\mathrm{B}})=0{,}6.

arbre de probabilité - solution - application et méthode 4
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2. La probabilité que les deux parents aient l'allèle des yeux bleus est la probabilité du chemin (\text{B} \: , \text{B}): 0{,}4 \times 0{,}4=0{,}16.

Pour s'entraîner : exercices et
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Méthode

1. La probabilité de possèder l'allèle des yeux bleus est égale à la proportion de la population qui le possède. On exprime cette proportion sous forme décimale ou fractionnaire.

La probabilité de l'événement contraire \overline{\text{B}} est 1-\mathrm{P}(\mathrm{B}).

2. La probabilité que les deux parents aient l'allèle est le produit des probabilités que chaque parent l'ait.

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B
Schéma de Bernoulli

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Définition
Un schéma de Bernoulli est la répétition d'épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes. Les paramètres d'un schéma de Bernoulli sont :
  • le nombre n de répétitions de l'épreuve de Bernoulli ;
  • la probabilité de succès p de cette épreuve.

Remarque
Un schéma de Bernoulli est souvent représenté par un arbre de probabilité.

schéma de Bernoulli - définition - cours 2.B
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Exemples
On tire 20 cartes au hasard dans un jeu de 52 cartes, en les remettant systématiquement dans le paquet entre chaque tirage (cas du tirage avec remise).

On souhaite obtenir un trèfle.

Ainsi, on répète 20 fois de manière identique et indépendante l'expérience ayant deux issues :
  • le succès : « On obtient un trèfle. », de probabilité p=0{,}25 ;
  • l'échec : « On n'obtient pas un trèfle. », de probabilité 1-p=0{,}75.

Ainsi, l'expérience définit un schéma de Bernoulli de paramètres n = 20 et p = 0{,}25.
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Application et méthode - 5

Représenter un schéma de Bernoulli par un arbre de probabilité afin de calculer des probabilités

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Énoncé
Une puce se déplace de manière aléatoire sur un axe. À chaque étape, elle avance ou recule d'une unité de distance. On admet qu'elle avance avec la probabilité p = 0{,}72 et qu'elle recule avec la probabilité 1-p=0{,}28, indépendamment des mouvements précédents.

figure - énoncé - application et méthode 5
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On étudie sa position d'arrivée au bout de deux étapes, en notant 0 sa position de départ.

On note \text{A} l'événement « La puce avance. ».

1. Recopier et compléter l'arbre de probabilité ci‑dessous représentant les différents mouvements de la puce.

arbre de probabilité - énoncé - application et méthode 5
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2. Calculer la probabilité que la puce revienne à la position 0 au bout de deux étapes.
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Solution
1. On est dans le cadre d'un schéma de Bernoulli

arbre de probabilité - solution - application et méthode 5
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2. La puce revient à sa position initiale si elle avance puis recule ou si elle recule puis avance, ce qui correspond aux chemins (\mathrm{A} \: , \overline{\mathrm{A}}) et (\overline{\mathrm{A}} \:, \mathrm{A}).

Elle revient donc à sa position initiale avec la probabilité 0{,}72 \times 0{,}28+0{,}28 \times 0{,}72=0{,}403 \: 2.

Pour s'entraîner : exercices et
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Méthode

1. Construire l'arbre à deux branches représentant une épreuve. Les épreuves étant identiques et indépendantes, c'est la même situation qui se répète à chaque nœud de l'arbre.

2. Identifier les chemins qui font revenir la puce à sa position initiale. Calculer les probabilités de ces chemins, puis les additionner afin d'obtenir la probabilité totale répondant à la question.

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