Variables aléatoires discrètes

Le nombre moyen d'enfants par femme en France est estimé à 1,92. Dans un échantillon de 10 000 femmes, on relève le nombre d'enfants par femme.


1. Calculer le nombre moyen d'enfants par femme dans l'échantillon choisi.

2. Cet échantillon est‑il représentatif de la population française ?

Dans un cinéma, la durée des publicités varie entre 5 et 15 minutes : elle est de 5 min 16 % des fois, de 8 min 25 % des fois, de 10 min 34 % des fois et de 15 min 25 % des fois. On assiste à une projection et on note $\text{Y}$ la variable aléatoire correspondant à la durée de la publicité.

1. Donner la loi de probabilité de $\text{Y}.$

2. Calculer et interpréter l'espérance de $\text{Y}.$

On lance un dé équilibré à six faces numérotées de 1 à 6. Si le résultat est un nombre pair inférieur ou égal à 4, on gagne 10 €. Si le résultat est un nombre impair inférieur ou égal à 4, on gagne 8 €. Si le résultat est 6, on gagne 6 € et si le résultat est 5, on ne gagne rien.

1. Compléter le tableau ci‑dessous, en indiquant les nombres de résultats correspondant à chaque case.


2. Soit $\text{X}$ la variable aléatoire correspondant au gain en euro à ce jeu. Compléter le tableau donnant la loi de probabilité de $\text{X}.$

Les statistiques d'un jeu vidéo montrent le niveau maximal atteint par les joueurs lors de leur 1^re partie.

On note $\text{X}$ la variable aléatoire correspondant au niveau atteint par un joueur choisi au hasard.


1. Quelle est la probabilité que le niveau maximal atteint soit le niveau 4 ?

2. Calculer et interpréter $\mathrm{P}(\mathrm{X}⩽2).$

3. Calculer et interpréter l'espérance de $\text{X}.$

Soit $\text{T}$ une variable aléatoire dont la loi de probabilité est donnée dans le tableau ci‑dessous.


1. Calculer $\mathrm{P}(\mathrm{T}⩽0).$

2. Quel est l'événement contraire de $\{\mathrm{T}=2\}$ ? Calculer sa probabilité.

3. Calculer la probabilité de $\{\mathrm{T}=-1\}\cup \{\mathrm{T}=1\}.$

4. Calculer l'espérance de $\text{T}.$

On souhaite simuler à l'aide d'un tableur le tirage aléatoire d'une boule dans une urne qui contient 1 boule noire, permettant de remporter 10 €, et 9 boules rouges, qui font perdre 1 €.

1. Compléter le tableau ci‑dessous, correspondant à la loi de probabilité de la variable aléatoire $\text{G}$ correspondant au gain ou à la perte une fois la boule tirée.



2. Calculer l'espérance de cette variable aléatoire.

3. Ouvrir une feuille de calcul. Compléter la formule suivante, à saisir en $A1$, pour simuler le tirage d'une boule :

4. Étirer la formule précédente jusqu'en $A100$ pour simuler 100 tirages. Afficher en $A101$ la moyenne des valeurs $A1$ à $A100$. Comparer ce résultat avec l'espérance calculée en 2.

5. Remplacer la formule entrée en $A101$ par :

$=\mathbf{MOYENNE}(\$A1:A100)$.

Copier les 101 lignes de la colonne $\mathbf{A}$ sur 50 colonnes et afficher dans un graphique le nuage de points associé à la ligne 100.

Que représentent ces valeurs ? Qu'observe‑t‑on sur le nuage de points ?

Dans une production d'outils, 12 % sont défectueux. On choisit au hasard un outil de la production. On attribue la valeur 1 à l'événement « L'outil est défectueux. » et 0 à l'événement contraire.

1. Justifier que cette expérience est une épreuve de Bernoulli et donner son paramètre.

2. Compléter la formule suivante, à entrer dans une feuille de calcul, afin de simuler cette épreuve de Bernoulli :

Jacob Bernoulli est un des premiers mathématiciens à avoir écrit sur la théorie de probabilité. Dans le livre Ars Conjectandi, il définit la loi de probabilité du jeu de pile ou face qui a gardé son nom : la loi de Bernoulli. Mais le résultat le plus important de ce livre est la loi des grands nombres, qui affirme que la fréquence d'observation d'un résultat donné, lorsqu'on répète un grand nombre de fois une expérience aléatoire, se stabilise autour de sa probabilité, et qui quantifie cette stabilisation.

On souhaite simuler, pour différentes valeurs de $n,$ 400 échantillons de taille $n$ d'une épreuve de Bernoulli de paramètre $0,4.$

1. On choisit dans cette question $n=25.$

a. Quelle formule doit‑on entrer en $A1$ et étirer jusqu'en $Y1$ afin de simuler un échantillon de taille 25 ?

b. Quelle formule doit‑on entrer en $Z1$ afin d'afficher la fréquence d'apparition du 1 dans l'échantillon ?
Recopier la ligne 1 jusqu'à la ligne 400.

c. Afficher le nuage de points associé à la colonne $\mathbf{Z}$. Comment varient les fréquences d'apparition du 1 ? Noter les valeurs minimale et maximale obtenues.

2. On choisit maintenant $n=100.$

Sélectionner les colonnes $\mathbf{A}$ à $\mathbf{Y}$ et ajouter 75 colonnes à droite. Recalculer les fréquences d'apparition du 1. Dans quel intervalle varient‑elles ? Comparer avec les résultats de la question 1.c.

Compléter le tableau ci‑dessous afin qu'il modélise la loi de probabilité d'une variable aléatoire d'espérance $4.$

On considère une expérience aléatoire à trois issues, dont les probabilités sont données ci‑dessous.


Quels gains pourrait‑on associer à chacune des issues de sorte que le gain moyen soit nul ?