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Partie 1 : Analyse
Ch. 1
Suites
Ch. 2
Fonctions
Ch. 3
Dérivation
Partie 2 : Statistiques et probabilités
Ch. 4
Fréquences conditionnelles et probabilités conditionnelles
Automatismes
Partie 3 : Géométrie
Ch. 6
Trigonométrie
Ch. 7
Produit scalaire
Ch. 8
Nombres complexes
Partie 4 : Analyse
Ch. 9
Compléments sur la dérivation
Ch. 10
Primitives
Révisions Genially
Chapitre 5
Cours 1

Variables aléatoires discrètes

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A
Notion de variable aléatoire

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Définition
On appelle variable aléatoire réelle une fonction qui, à chaque issue d'une expérience aléatoire, associe un nombre réel.

Remarque
On ne va étudier ici que des variables aléatoires qui prennent un nombre fini de valeurs, mais il existe des variables aléatoires à valeurs dans un intervalle.
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Exemples
On lance deux dés équilibrés à six faces, numérotées de 1 à 6.
0n gagne 10 points si on obtient un double six, 1 point pour les autres doubles, et, dans les autres cas, on ne gagne pas de point.
Notation
On note souvent \text{X} ou \text{Y} les variables aléatoires.

L'univers de cette expérience aléatoire est l'ensemble des couples qu'on peut obtenir en lançant les deux dés : (1 \: ; 1)\: ; (1 \: ; 2)\: ; (1 \: ; 3)\: ; ... \: ; (6 \: ; 6). Dans le couple (x \: ; y) , le nombre x correspond au résultat du premier dé et y correspond au résultat du second dé.

À partir de cette situation, on peut définir une variable aléatoire qui donne le nombre de points gagnés. Cette variable aléatoire est donc à valeurs dans l'ensemble \{0 \: ; 1 \: ; 10\}.

On s'intéresse aux probabilités des événements définis par les différentes valeurs que peut prendre la variable aléatoire : \{\mathrm{X}=10\},\{\mathrm{X} \geqslant 1\} et \{\mathrm{X}=0\}, par exemple, qui correspondent respectivement aux événements « Gagner 10 points. », « Gagner au moins 1 point. » et « Gagner 0 point. ».
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Définition
Définir la loi de probabilité d'une variable aléatoire \text{X}, c'est associer une probabilité à chaque valeur que peut prendre \text{X}.

La loi de probabilité d'une variable aléatoire est donnée, en général, dans un tableau à deux lignes :
  • la première donne les valeurs prises par \text{X} (souvent rangées dans l'ordre croissant) ;
  • la seconde donne la probabilité que \text{X} prenne chacune de ces valeurs.

Notation
L'événement « Le résultat est 1 » se note \{\text{X}=1\} et sa probabilité se note {\mathrm{P}(\mathrm{X}=1).}
L'événement « Le résultat est inférieur ou égal à 3 » se note \{\mathrm{X} \leqslant 3\} et sa probabilité se note \text{P}(\mathrm{X} \leqslant 3).
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Exemples
On pioche au hasard une boule dans une urne opaque qui contient cinq boules rouges, rapportant chacune 1 €, deux boules bleues rapportant chacune 2 € et cinq autres boules rapportant respectivement 3 €, 4 €, 5 €, 6 € et 7 €. On suppose que toutes ces boules sont indiscernables au toucher.

Soit \text{X} la variable aléatoire correspondant au gain obtenu. \text{X} peut prendre les valeurs 1, 2, 3, 4, 5, 6 et 7.
Les boules étant indiscernables au toucher, nous sommes en situation d'équiprobabilité.
Ainsi, la probabilité de gagner 1 € correspond à la probabilité de choisir une des cinq boules rouges parmi les douze boules. On a donc \text{P}(\text{X}=1)=\frac{5}{12}.

On raisonne de même pour les autres valeurs prises par \text{X}.
La loi de probabilité de \text{X} est alors donnée dans le tableau suivant.

\bm{x_{i}(€)}\mathbf{P}\left(\mathbf{X}\bm{=}\boldsymbol{x}_{\boldsymbol{i}}\right)
1\frac{5}{12}
2\frac{2}{12}
3\frac{1}{12}
4\frac{1}{12}
5\frac{1}{12}
6\frac{1}{12}
7\frac{1}{12}

Dans ce cas, la probalité de gagner au maximum deux points vaut :

\mathrm{P}(\mathrm{X} \leqslant 2)=\mathrm{P}(\mathrm{X}=1)+\mathrm{P}(\mathrm{X}=2)=\frac{5}{12}+\frac{2}{12}=\frac{7}{12}.
Remarque
On peut vérifier que la somme des probabilités vaut 1.
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Application et méthode - 1

Calculer une probabilité

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Énoncé
Sur une roulette française, on compte 37 cases numérotées de 0 à 36.
Un joueur parie 10 € sur le numéro 1. Si la bille s'arrête sur le 1, il récupère sa mise et gagne 100 €, si elle s'arrête sur un des deux nombres (noirs) à côté du 1, il récupère sa mise et gagne 50 €, si elle s'arrête sur un nombre rouge autre que 1, il récupère sa mise et ne gagne rien. Dans les autres cas, il perd sa mise (le gain réel est -10 €).
Soit \text{X} la variable aléatoire associée au gain réel du joueur, en euro.
Calculer et interpréter \mathrm{P}(\mathrm{X} \leqslant 0).
Placeholder pour roulette française - application et méthode 1 - énoncéroulette française - application et méthode 1 - énoncé
Le zoom est accessible dans la version Premium.
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Solution
\text{X} peut prendre les valeurs -10, 0, 50 et 100.

On obtient la loi de probabilité de \text{X}.

Gain \bm{x_{i}}Probabilité \bm{p_i}
-10 €\frac{17}{37}
0 €\frac{17}{37}
50 €\frac{2}{37}
100 €\frac{1}{37}

On en déduit la probabilité que le gain soit négatif ou nul.

\mathrm{P}(\mathrm{X} \leqslant 0)=\mathrm{P}(\mathrm{X}=0)+\mathrm{P}(\mathrm{X}=-10)=\frac{17}{37}+\frac{17}{37}=\frac{34}{37}.

La probabilité que le joueur ne gagne pas d'argent à ce jeu est donc \frac{34}{37}.

Pour s'entraîner : exercices et
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Méthode

  • Construire un tableau donnant la loi de probabilité de \text{X} et calculer les probabilités de chacune des issues. Cela permet de n'oublier aucune issue.

  • Déterminer les issues réalisant l'événement \{\mathrm{X} \leqslant 0\} et additionner leurs probabilités.

  • Interpréter en revenant à la situation initiale : que représente la variable aléatoire \text{X} ?


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B
Espérance d'une variable aléatoire

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Définition
Soit \text{X} une variable aléatoire réelle dont on donne la loi de probabilité.

Valeur \boldsymbol{x}_{\boldsymbol{i}}Probabilité \boldsymbol{p}_{\boldsymbol{i}}
x_{1}p_{1}
\ldots\ldots
x_{n}p_{n}

On appelle espérance de la variable aléatoire \text{X} la quantité : \mathrm{E}(\mathrm{X})=x_{1} p_{1}+\ldots+x_{n} p_{n}.
Notation
On note \mathrm{E}(\mathrm{X}) l'espérance d'une variable aléatoire \text{X}.
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Exemples
Pour qu'un plant de kiwi donne des fruits, il faut au moins un plant mâle pour 10 plants.
Une jardinerie fait des lots de 20 plants au hasard, les plants mâles et femelles étant indiscernables à l'œil nu.

On considère la variable aléatoire \text{X} correspondant au nombre de plants mâles dans un lot de 20 plants. Une étude statistique dans cette jardinerie a permis de déterminer la loi de probabilité de \text{X} suivante.
Remarque
On sait que, sur un grand nombre d'expériences, les fréquences d'apparition de chaque issue se stabilisent autour de leurs probabilités. On peut observer que la valeur moyenne de \text{X} se stabilise autour de son espérance.

Valeur \boldsymbol{x}_{\boldsymbol{i}}Probabilité \boldsymbol{p}_{\boldsymbol{i}}
00{,}05
10{,}1
20{,}52
30{,}13
40{,}2

L'espérance de \text{X} est \mathrm{E}(\mathrm{X})=0 \times 0{,}05+1 \times 0{,}1+2 \times 0{,}52+3 \times 0{,}13+4 \times 0{,}2=2{,}33.
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Propriété
L'espérance d'une variable aléatoire est la valeur moyenne obtenue, par expérience, au bout d'un grand nombre de répétitions de l'expérience.
Remarque
Dans l'exemple précédent, {\mathrm{E}(\mathrm{X})=2{,}33} signifie qu'en moyenne, il y a 2{,}33 plants mâles dans un lot.
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Application et méthode - 2

Calculer l'espérance d'une variable aléatoire

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Énoncé
Dans une loterie, sur 500 billets vendus, 100 sont gagnants. Les lots sont répartis comme suit :

Valeur du billetNombre du billet
5 €40
10 €28
20 €15
25 €12
50 €4
100 €1

Une personne achète un billet. Soit \text{X} la variable aléatoire correspondant à la valeur du lot remporté (on associe la valeur de 0 € aux billets perdants). Calculer et interpréter l'espérance de \text{X}.
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Solution
Les valeurs prises par \text{X} sont \text{5, 10, 20, 25, 50, 100} et \text{0} pour les tickets perdants.
La loi de probabilité de \text{X} est donc la suivante :

Valeur \boldsymbol{x}_{\boldsymbol{i}}Probabilité \boldsymbol{p}_{\boldsymbol{i}}
0 €\frac{400}{500}
5 €\frac{40}{500}
10 €\frac{28}{500}
20 €\frac{15}{500}
25 €\frac{12}{500}
50 €\frac{4}{500}
100 €\frac{1}{500}

Ainsi, l'espérance de \text{X} est :

\begin{aligned} \mathrm{E}(\mathrm{X}) & =0 \times \frac{400}{500}+5 \times \frac{40}{500}+10 \times \frac{28}{500}+20 \times \frac{15}{500}+25 \times \frac{12}{500}+50 \times \frac{4}{500}+100 \times \frac{1}{500} \\ & =\frac{200+280+300+300+200+100}{500}=\frac{1380}{500}=2,76. \end{aligned}


Le gain moyen à cette loterie est de 2,76 € par billet. Autrement dit, sur un grand nombre de billets achetés, on remporte en moyenne 2,76 € par ticket.

Pour s'entraîner : exercices et
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Méthode

  • Établir la loi de probabilité de \text{X}. Si les probabilités sont données sous forme fractionnaire, il vaut mieux les laisser toutes au même dénominateur afin de faciliter le calcul de \mathrm{E}(\mathrm{X}).

  • Calculer \mathrm{E}(\mathrm{X}) en tant que moyenne des valeurs prises par \text{X}, pondérées par leurs probabilités.


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C
Loi de Bernoulli

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Définition
Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire comportant exactement deux issues : une issue appelée succès et l'autre appelée échec.
Le paramètre de cette épreuve, noté p, correspond à la probabilité de succès.
Remarque
Le paramètre p est un nombre compris entre 0 et 1.
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Exemple
On répond au hasard à une question où quatre réponses sont proposées et dont une seule est juste. Si on appelle succès l'événement : « La réponse choisie est juste. », de probabilité \frac{1}{4}, alors l'expérience définit une épreuve de Bernoulli de paramètre {p=\frac{1}{4}=0{,}25.}
Remarque
Si on choisit pour succès l'événement : « La réponse choisie est fausse. », alors l'expérience définit une épreuve de Bernoulli de paramètre 0{,}75.
Plus la taille de l'échantillon est grande, plus la fréquence observée tend à être proche de 0{,}65.
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Propriétés
  • Soit \text{X} une variable aléatoire associée à une épreuve de Bernoulli de paramètre p.
    Alors la loi de probabilité de \text{X} est :

    Valeurs de \boldsymbol{x}_{\boldsymbol{i}}Probabilités \boldsymbol{p}_{\boldsymbol{i}}
    01-p
    1p

  • On a \mathrm{E}(\mathrm{X})=1 \times p+0 \times(1-p)=p.

Remarque
Si p = 0{,}5, alors le succès et l'échec sont équiprobables, comme au jeu de pile ou face avec une pièce non truquée.
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Définition
On appelle échantillon de taille \bm{n} la liste des résultats obtenus lorsqu'on répète n fois une même épreuve de Bernoulli, de manière indépendante.
Remarque
Dans la définition, l'indépendance signifie que le résultat de l'expérience ne dépend pas des résultats des expériences précédentes.
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Exemples
On interroge 200 personnes dans une population afin de connaître leur opinion sur un projet de loi. On suppose que la taille de la population est suffisamment grande pour qu'on assimile le choix des personnes interrogées à un tirage avec remise. Ainsi, les expériences sont supposées indépendantes.

On choisit pour succès l'événement « La personne est favorable au projet de loi. ».

On estime que 65 % de la population est favorable à ce projet de loi. Cette série d'expériences constitue un échantillon de taille 200 de la loi de Bernoulli de paramètre 0{,}65.

La fréquence de succès dans différents échantillons de cette loi de Bernoulli varie autour de 0{,}65.
Remarque
Plus la taille de l'échantillon est grande, plus la fréquence observée tend à être proche de 0{,}65.
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Application et méthode - 3

Simuler un échantillon de taille \bm{n} d'une loi de Bernoulli

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Énoncé
1. Compléter la formule ci‑dessous, entrée dans une feuille de calcul, afin qu'elle simule le lancer d'une pièce truquée qui tombe sur « face » dans 47 % des cas. On affichera 1 pour « face ». « \color{purple}\bf{=SI(ALEA.ENTRE.BORNES(1 \:;100)\lt=... ; 1 ; 0)} »

2. On a recopié la formule précédente sur les 100 premières lignes de la colonne \bf{A}.
Que fait la formule suivante, entrée en \bf{A101} : « \color{purple}\bf{=SOMME( A1:A100 )/100} » ?
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Solution
1. On complète la formule comme suit : \color{purple}\bf{=SI(ALEA.ENTRE.BORNES(1 \: ; 100) \lt = 47 \:; 1 \:; 0)}. En effet, la fonction \color{purple}\bf{ALEA.ENTRE.BORNES(1 \: ; 100)} génère un entier entre 1 et 100 de manière équiprobable. La probabilité que cet entier, choisi au hasard entre 1 et 100, soit inférieur ou égal à 47 est donc bien de 47 %.

2.  La somme des valeurs \bf{A1} à \bf{A100} est égale au nombre de 1 de la colonne. En divisant ce nombre par 100, on obtient la fréquence de 1 dans l'échantillon simulé.

Pour s'entraîner : exercices et
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Méthode

1. \color{purple}\bf{=ALEA.ENTRE.BORNES(A \:; B)} génère de manière équiprobable un nombre entier entre \text{A} et \text{B}.

La fonction \color{purple}\bf{SI} effectue le test indiqué en premier argument.
Ici, elle compare un nombre aléatoire à un nombre à indiquer.

2. Faire un essai avec 10 valeurs au hasard : 0 ; 1 ; 0 ; 0 ; 1 ; 1 ; 0 ; 1 ; 1 ; 1.

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