Chapitre A
Cours
Étude d'une série statistique continue
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1Définition et calcul de la moyenne
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Définition
On dit qu'un caractère est continu lorsqu'il peut prendre toutes les valeurs d'un intervalle ou d'une réunion d'intervalles.
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Exemple
La durée de vie d'un appareil électrique est un caractère continu qui est susceptible de prendre toute valeur de l'intervalle [0 ;+∞[.
Le nombre de pages d'un livre n'est pas un caractère continu car les valeurs prises sont entières.
Le nombre de pages d'un livre n'est pas un caractère continu car les valeurs prises sont entières.
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Lorsque l'on étudie un caractère continu, les valeurs prises par ce caractère sont souvent des valeurs distinctes. Il n'est donc pas judicieux de représenter les données à l'aide d'un diagramme en barres pour lequel les données auront quasi toutes 1 pour effectif.
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Définitions
Pour représenter une série statistique continue, on utilise un histogramme.
En abscisses, on retrouve les valeurs du caractère étudié regroupées en différents intervalles appelés classes dont les longueurs sont appelées amplitudes.
Pour chacune de ces classes, on construit un rectangle dont la largeur est donnée par la classe.
En ordonnée, on retrouve une échelle pour laquelle l'aire du rectangle associé à chaque classe est proportionnelle à l'effectif de la classe.
En abscisses, on retrouve les valeurs du caractère étudié regroupées en différents intervalles appelés classes dont les longueurs sont appelées amplitudes.
Pour chacune de ces classes, on construit un rectangle dont la largeur est donnée par la classe.
En ordonnée, on retrouve une échelle pour laquelle l'aire du rectangle associé à chaque classe est proportionnelle à l'effectif de la classe.
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En classe de seconde, on travaille uniquement avec des classes d'amplitude constante.
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Application et méthodes
\quad
Construction d'un histogramme
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Énoncé
En sortie de production, on a relevé les durées de vie de différents phares de moto.
Construire un histogramme permettant de représenter cette série statistique.
Durée de vie (en h) | [1 000 ; 1 200[ | [1 200 ; 1 400[ | [1 400 ; 1 600[ | [1 600 ; 1 800[ |
|---|---|---|---|---|
Effectif | 3 | 7 | 7 | 3 |
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1. On commence par indiquer en abscisses les différentes classes.
2. On détermine l'amplitude de chacune de ces classes. L'amplitude de la classe [a ;b[ est donnée par b-a.
3. On construit la hauteur de chaque rectangle en utilisant par exemple que son aire est égale à l'effectif de la classe.
4. On construit le graphique.
2. On détermine l'amplitude de chacune de ces classes. L'amplitude de la classe [a ;b[ est donnée par b-a.
3. On construit la hauteur de chaque rectangle en utilisant par exemple que son aire est égale à l'effectif de la classe.
4. On construit le graphique.
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Solution
La série est composée de quatre classes de même amplitude 200.
- Pour la classe [1\,000 ; 1\,200[ : La hauteur h_1 doit vérifier {200 \times h_1 = 3} donc {h_1 = \frac{3}{200} = 0{,}015}.
- Pour la classe [1\,200 ; 1\,400[ : La hauteur h_2 doit vérifier {200 \times h_2 = 7} donc {h_2 = \frac{7}{200} = 0{,}035}.
- Pour la classe [1\,400 ; 1\,600[ : La hauteur h_3 doit vérifier {200 \times h_3 = 7} donc {h_3 = \frac{7}{200} = 0{,}035}.
- Pour la classe [1\,600 ; 1\,800[ : La hauteur h_4 doit vérifier {200 \times h_4 = 3} donc {h_4 = \frac{3}{200} = 0{,}015}.
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2Polygone des fréquences cumulées et applications
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Définition
Le polygone des fréquences cumulées permet de représenter l'évolution globale d'une série statistique continue.
En abscisses, on retrouve les bornes des différentes classes.
En ordonnées, on retrouve les fréquences cumulées croissantes associées à la série.
On place ensuite les points dont les coordonnées sont données par la borne maximale des classes et la fréquence cumulée associée, puis on relie ces points successivement en partant du point situé à la borne minimale de la première classe et d'ordonnée 0.
En abscisses, on retrouve les bornes des différentes classes.
En ordonnées, on retrouve les fréquences cumulées croissantes associées à la série.
On place ensuite les points dont les coordonnées sont données par la borne maximale des classes et la fréquence cumulée associée, puis on relie ces points successivement en partant du point situé à la borne minimale de la première classe et d'ordonnée 0.
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Application et méthodes
\quad
Construction d'un polygone des fréquences cumulées
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Énoncé
On reprend la série statistique précédente. Construire le polygone des fréquences cumulées.
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1. On commence par calculer la fréquence de chaque classe.
2. On place le point dont l'abscisse correspond au minimum de la première classe et dont l'ordonnée vaut 0.
3. Pour chaque classe, on place le point dont l'abscisse vaut la borne supérieure de chaque classe et l'ordonnée vaut la fréquence cumulée croissante.
4. On relie les points obtenus successivement.
2. On place le point dont l'abscisse correspond au minimum de la première classe et dont l'ordonnée vaut 0.
3. Pour chaque classe, on place le point dont l'abscisse vaut la borne supérieure de chaque classe et l'ordonnée vaut la fréquence cumulée croissante.
4. On relie les points obtenus successivement.
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Solution
Durée de vie (en h) | [1\,000 ; 1\,200[ | [1\,200 ; 1\,400[ | [1\,400 ; 1\,600[ | [1\,600 ; 1\,800[ |
|---|---|---|---|---|
Effectif | 3 | 7 | 7 | 3 |
Fréquence | 0{,}15 | 0{,}35 | 0{,}35 | 0{,}15 |
Fréquence cumulée croissante | 0{,}15 | 0{,}5 | 0{,}85 | 1 |
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3Détermination des indicateurs statistiques d'une série statistique continue
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Propriété
Pour calculer la moyenne d'une série statistique continue, on doit connaître la moyenne de chacune des classes.
On calcule la moyenne totale en remplaçant chaque classe par sa moyenne, puis en utilisant la formule classique de la moyenne.
On calcule la moyenne totale en remplaçant chaque classe par sa moyenne, puis en utilisant la formule classique de la moyenne.
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1. Cette méthode ne fonctionnerait pas pour calculer la variance ou l'écart-type de la série.
2. Dans le cas où la répartition est uniforme dans chaque classe, on peut calculer la moyenne de la série en remplaçant chaque classe par son centre, puis en utilisant la formule classique de la moyenne.
2. Dans le cas où la répartition est uniforme dans chaque classe, on peut calculer la moyenne de la série en remplaçant chaque classe par son centre, puis en utilisant la formule classique de la moyenne.
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Application et méthodes
\quad
Calcul de la moyenne d'une série continue
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Énoncé
On reprend la série statistique précédente pour laquelle on précise la moyenne de chaque classe.
Calculer la durée de vie moyenne des phares.
Durée de vie (en h) | [1\,000 ; 1\,200[ | [1\,200 ; 1\,400[ | [1\,400 ; 1\,600[ | [1\,600 ; 1\,800[ |
|---|---|---|---|---|
Moyenne de la classe | 1\,050 | 1\,210 | 1\,500 | 1\,620 |
Effectif | 3 | 7 | 7 | 3 |
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On calcule la moyenne obtenue à l'aide des moyennes de chaque classe.
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Solution
La moyenne vaut :
{\frac{3 \times 1\,050 + 7 \times 1\,210 + 7 \times 1\,500 + 3 \times 1\,620}{20} = 1\,349}
La durée de vie moyenne d'un phare de moto est de 1\ 349 heures.
La durée de vie moyenne d'un phare de moto est de 1\ 349 heures.
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Propriété
Pour calculer la classe médiane d'une série statistique continue, on détermine la classe dont la fréquence cumulée croissante atteint ou dépasse 0{,}5 pour la première fois.
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1. Le polygone des fréquences cumulées permet de déterminer graphiquement la classe médiane.
2. Dans le cas où la répartition est uniforme, le polygone des fréquences cumulées permet d'estimer une médiane de la série en déterminant l'abscisse du point de ce polygone d'ordonnée égale à 0{,}5.
2. Dans le cas où la répartition est uniforme, le polygone des fréquences cumulées permet d'estimer une médiane de la série en déterminant l'abscisse du point de ce polygone d'ordonnée égale à 0{,}5.
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