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Chapitre B
Cours

Statistiques bivariées

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1
Tableau croisé d'effectifs

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Définition
On considère une population dans laquelle on étudie deux caractères. Un tableau croisé d'effectifs est un tableau à double entrée qui permet de présenter les effectifs correspondant aux différentes valeurs prises simultanément par ces deux caractères.
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Application et méthodes
\quad
Compléter un tableau d'effectifs
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Énoncé
Le tableau ci-dessous fournit les chiffres de la population française au \mathrm{1^{er}} janvier 2026.
Classe d'âge
Femmes (milliers)
Hommes (milliers)
Total (milliers)
0 - 18 ans
7\ 352
\quad\quad\quad\quad
15\ 053
19 - 35 ans
6\ 498
6\ 642
13\ 140
36 - 50 ans
6\ 235
6\ 102
12\ 337
51 - 65 ans
\quad\quad\quad\quad
6\ 230
12\ 852
66 et plus
8\ 824
6\ 876
15\ 700
Total
35\ 531
\quad\quad\quad\quad
69\ 082
Source : Insee

Construire un histogramme permettant de représenter cette série statistique.
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Méthode

Sur chaque ligne et chaque colonne, la somme des cases donne le total.
Lorsque, sur une ligne ou une colonne, une case est manquante, on peut déterminer la valeur par addition ou soustraction.
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Solution
On complète la case bleue avec l'opération
15\ 053-7\ 352=7\ 701
.

On complète la case violette avec l'opération
12\ 852-6\ 230=6\ 622
.

On peut compléter la case jaune avec l'opération
7\ 701+6\ 642+6\ 102+6\ 230+6\ 876=33\ 551
.
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2
Fréquences marginales

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Définition
Dans une série statistique à deux variables (ou série statistique bivariée), les valeurs sont généralement représentées dans un tableau croisé d'effectifs.
Les sommes des lignes et des colonnes d'un tableau à double entrée sont appelées les marges du tableau. Elles apparaissent en jaune dans le tableau ci-dessous.
La fréquence marginale d'une valeur est le quotient de l'effectif total de cette valeur par l'effectif total.
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Placeholder pour freq.marginale de Afreq.marginale de A
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Applications et méthodes
\quad
Calculer une fréquence marginale
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Énoncé
Le tableau ci-dessous fournit les chiffres de la population française au \mathrm{1^{er}} janvier 2026.
Classe d'âge
Femmes (milliers)
Hommes (milliers)
Total (milliers)
0 - 18 ans
7\ 352
7\ 701
15\ 053
19 - 35 ans
6\ 498
6\ 642
13\ 140
36 - 50 ans
6\ 235
6\ 102
12\ 337
51 - 65 ans
6\ 622
6\ 230
12\ 852
66 et plus
8\ 824
6\ 876
15\ 700
Total
35\ 531
33\ 551
69\ 082
Source : Insee


Calculer la fréquence marginale des femmes dans la population française.
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Méthode

1. On commence à calculer, si ce n'est pas fait, les totaux pour chaque ligne et chaque colonne du tableau.

2. On calcule la fréquence marginale d'une valeur du caractère calculant le quotient :

\mathrm{\frac{effectif\ total\ de\ la\ valeur} {nombre\ total\ de\ données}}.

3. Attention : seules les cases correspondant à un total permettent de calculer une fréquence marginale.
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Solution
Au total, la population française compte 3\ 531 milliers de femmes sur 69\ 082 milliers d'individus.
La fréquence marginale des femmes dans la population française est donc : {\frac{35\ 531}{6\ 082} \approx 0{,}514.}
Les femmes représentent donc environ 51,4\,\% de la population française.
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3
Fréquences conditionnelles

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Définition
Lorsque l'on cherche la fréquence d'apparition de la valeur A uniquement pour une sous-population non vide B de la série statistique, on dit que l'on calcule la fréquence conditionnelle de la valeur A parmi B.
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Propriété
Lorsque \mathrm{B} est non vide, la fréquence conditionnelle de \mathrm{A} parmi \mathrm{B}, noté f_\mathrm{B}(\mathrm{A}) peut se calculer à l'aide de la formule :

f_\mathrm{B}(\mathrm{A})=\frac{\operatorname{Card}(\mathrm{A} \cap \mathrm{B})}{\operatorname{Card}(\mathrm{B})}=\frac{\text { Nombre d'issues réalisant, à la fois } \mathrm{A} \text { et } \mathrm{B}} {\text { Nombre d'issues réalisant } \mathrm{B}}
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Placeholder pour freq.conditionnelle de A parmi Bfreq.conditionnelle de A parmi B
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Application et méthodes
\quad
Calcul de la moyenne d'une série continue
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Énoncé
Le tableau ci-dessous fournit les chiffres de la population française au \mathrm{1^{er}} janvier 2026.
Classe d'âge
Femmes (milliers)
Hommes (milliers)
Total (milliers)
0 - 18 ans
7\ 352
7\ 701
15\ 053
19 - 35 ans
6\ 498
6\ 642
13\ 140
36 - 50 ans
6\ 235
6\ 102
12\ 337
51 - 65 ans
6\ 622
6\ 230
12\ 852
66 et plus
8\ 824
6\ 876
15\ 700
Total
35\ 531
33\ 551
69\ 082
Source : Insee


Calculer la fréquence des femmes parmi les Français de plus de 65 ans.
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Méthode

1. On commence à calculer, si ce n'est pas fait, les totaux pour chaque ligne et chaque colonne du tableau.

2. On prend garde à bien vérifier sur quelle partie de la population porte l'étude : ici les Français de plus de 65 ans.

3. On calcule ensuite la fréquence conditionnelle.
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Solution
Au total, la population française compte 15\ 700 milliers de personnes de plus de 65 ans et, parmi elles, 8\ 824 milliers sont des femmes.

La fréquence des femmes parmi les Français de plus de 65 ans est donc
\frac{8 824}{15 700} \approx 0,562.

Les femmes représentent donc environ 56,2\,\% de la population française.
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