Chapitre C
Cours
Probabilités conditionnelles
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1Rappels de probabilités
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Définitions
Une expérience est aléatoire lorsque les résultats possibles, appelés les issues, sont connus sans que l'on puisse déterminer lequel sera effectivement réalisé.
Un événement est un ensemble d'issues.
L'univers d'une expérience aléatoire est l'ensemble des issues possibles.
Un événement est un ensemble d'issues.
L'univers d'une expérience aléatoire est l'ensemble des issues possibles.
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Définition
Définir une loi de probabilité sur un univers {Ω = \{x_1\,; \ldots ; x_n\}}, c'est attribuer, à chaque valeur x_k, un nombre p_k compris entre 0 et 1 en vérifiant : {p_1 + \ldots + p_n = 1.}
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On utilise les probabilités pour modéliser un phénomène aléatoire réel.
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Propriété
Loi des grands nombres
Lorsqu'on répète une expérience aléatoire un grand nombre de fois, sauf exception, la fréquence d'apparition d'un événement se rapproche de sa probabilité.
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Cette propriété permet de construire un modèle probabiliste à partir des fréquences observées sur le modèle réel.
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Exemple
En France, la fréquence de naissance des garçons est estimée à environ \frac{105}{205}, soit environ 0{,}51. On peut alors estimer la probabilité de naissance d'un garçon à 0{,}51 et celle d'une fille à 0{,}49.
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Propriété
Modèle d'équiprobabilité
Lorsque toutes les issues ont la même probabilité d'être obtenues, on dit qu'on est en situation d'équiprobabilité.
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Lorsque l'on lance un dé équilibré, la face obtenue est modélisée par une situation d'équiprobabilité.
Si on étudie le sexe à la naissance d'un enfant, on peut choisir de modéliser cette situation par une situation d'équiprobabilité ou, pour plus de précision, d'utiliser les probabilités indiquées à l'exemple précédent.
Si on étudie le sexe à la naissance d'un enfant, on peut choisir de modéliser cette situation par une situation d'équiprobabilité ou, pour plus de précision, d'utiliser les probabilités indiquées à l'exemple précédent.
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2Probabilités conditionnelles
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Définition
Soient A et B deux événements d'une même expérience aléatoire. On appelle probabilité conditionnelle de B relativement à A, et on note P_A(B), la probabilité que B se réalise lorsqu'on sait que A s'est réalisé.
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En général, {P_A(B) \neq P_B(A).}
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Définition
On considère une expérience aléatoire. Soient A et B deux événements avec {P(A) \neq 0.}
La probabilité conditionnelle de B relativement à A est : {P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}.}
La probabilité conditionnelle de B relativement à A est : {P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}.}
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Propriété
Cas de l'équiprobabilité
On considère une expérience aléatoire pour laquelle l'univers \mathrm{E} est fini et les issues équiprobables. Soient A et B deux événements avec {\text{Card}(A) \neq 0.}
Alors la probabilité conditionnelle de B relativement à A est : P_A(B) = \frac{\text{Card}(A \cap B)}{\text{Card}(A)}.
Alors la probabilité conditionnelle de B relativement à A est : P_A(B) = \frac{\text{Card}(A \cap B)}{\text{Card}(A)}.
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Démonstration
On note n le cardinal de l'ensemble \mathrm{E}.
Par définition, P_A(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}.
Les issues étant équiprobables, on a : P(A \cap B) = \dfrac{\text{Card}(A \cap B)}{n}\quad et \quad P(A) = \dfrac{\text{card}(A)}{n}.
Donc : P_A(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)} = \dfrac{\frac{\text{Card}(A \cap B)}{n}}{\frac{\text{Card}(A)}{n}} = \dfrac{\text{Card}(A \cap B) \times \frac{1}{n}}{\text{Card}(A) \times \frac{1}{n}} = \dfrac{\text{Card}(A \cap B)}{\text{Card}(A)}.
Par définition, P_A(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}.
Les issues étant équiprobables, on a : P(A \cap B) = \dfrac{\text{Card}(A \cap B)}{n}\quad et \quad P(A) = \dfrac{\text{card}(A)}{n}.
Donc : P_A(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)} = \dfrac{\frac{\text{Card}(A \cap B)}{n}}{\frac{\text{Card}(A)}{n}} = \dfrac{\text{Card}(A \cap B) \times \frac{1}{n}}{\text{Card}(A) \times \frac{1}{n}} = \dfrac{\text{Card}(A \cap B)}{\text{Card}(A)}.
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Applications et méthodes 1
\quad
Calculer une probabilité conditionnelle à partir d'un tableau d'effectifs
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Énoncé
On a répertorié dans le tableau ci-dessous l'orientation à la rentrée 2025 des élèves à l'issue de la classe de 3\mathrm{^e} selon leur genre.
On choisit le dossier d'un élève au hasard, chacun d'eux ayant la même probabilité d'être choisi.
Sachant qu'on a sélectionné le dossier d'une fille, quelle est la probabilité que l'élève se soit orienté en \mathrm{2^{de}} générale et technologique ?
\mathrm{2^{de}} générale et technologique | \mathrm{2^{de}} professionnelle | Autre (redoublement, CAP, etc) | Total | |
|---|---|---|---|---|
| Garçon | 240\ 300 | 124\ 800 | 49\ 300 | 414\ 400 |
| Fille | 277\ 700 | 91\ 200 | 64\ 100 | 433\ 000 |
| Total | 518\ 000 | 216\ 000 | 113\ 400 | 847\ 400 |
Sachant qu'on a sélectionné le dossier d'une fille, quelle est la probabilité que l'élève se soit orienté en \mathrm{2^{de}} générale et technologique ?
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1. On commence par repérer si la probabilité demandée correspond à une probabilité conditionnelle ou non.
2. On repère ensuite la ligne ou la colonne à partir de laquelle on conditionne.
3. La situation d'équiprobabilité permet de calculer la probabilité demandée.
2. On repère ensuite la ligne ou la colonne à partir de laquelle on conditionne.
3. La situation d'équiprobabilité permet de calculer la probabilité demandée.
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Solution
On a un conditionnement relatif au fait d'avoir choisi le dossier d'une fille.
On conditionne donc par rapport à la deuxième ligne.
Nous sommes en situation d'équiprobabilité donc la probabilité de choisir le dossier d'un élève orienté en \mathrm{2^{de}} générale et technologique sachant que cet élève est une fille est :
On conditionne donc par rapport à la deuxième ligne.
Nous sommes en situation d'équiprobabilité donc la probabilité de choisir le dossier d'un élève orienté en \mathrm{2^{de}} générale et technologique sachant que cet élève est une fille est :
\frac{277\,700}{433\,000} \approx 0{,}64 \approx 64\%
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Définition
Lorsque l'on réalise une expérience aléatoire mettant en jeu plusieurs événements, on peut organiser les différentes issues en utilisant un arbre de probabilités.
La première série de branches sépare les issues selon la réalisation du premier événement, la deuxième série de branches selon le deuxième événement, etc.
On indique sur chaque branche de l'arbre la probabilité correspondante.
La première série de branches sépare les issues selon la réalisation du premier événement, la deuxième série de branches selon le deuxième événement, etc.
On indique sur chaque branche de l'arbre la probabilité correspondante.
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1. Les probabilités du deuxième niveau de l'arbre (et éventuellement les suivants) sont des probabilités conditionnelles.
2. À chaque nœud de l'arbre, la somme des probabilités vaut 1.
2. À chaque nœud de l'arbre, la somme des probabilités vaut 1.
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Applications et méthodes 2
\quad
Construire un arbre de probabilités à partir d'un tableau d'effectifs
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Énoncé
Un groupe de skieurs est réparti selon leur préférence entre le ski de fond et le ski de piste. On a également répertorié les skieurs débutants et les skieurs expérimentés.
On choisit un skieur au hasard, chacun d'eux ayant la même probabilité d'être choisi. On note :
Débutants | Expérimentés | Total | |
|---|---|---|---|
Ski de fond | 13 | 17 | 30 |
Ski de piste | 11 | 9 | 20 |
Total | 24 | 26 | 50 |
On choisit un skieur au hasard, chacun d'eux ayant la même probabilité d'être choisi. On note :
- A l'événement : « Le skieur préfère le ski de piste. »
- B l'événement : « Le skieur est débutant. »
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On utilise les effectifs du tableau pour calculer les probabilités.
Attention, les probabilités du deuxième niveau de l'arbre (et éventuellement les suivants) sont des probabilités conditionnelles.
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Solution :
On est en situation d'équiprobabilité donc :
P(A) = \frac{20}{50} = 0{,}4 et P(\overline{A}) = 1 - P(A) = 0{,}6.
Les autres probabilités sont des probabilités conditionnelles.
On trouve :
P(A) = \frac{20}{50} = 0{,}4 et P(\overline{A}) = 1 - P(A) = 0{,}6.
Les autres probabilités sont des probabilités conditionnelles.
On trouve :
- P_A(B) = \frac{11}{20} = 0{,}55 ;
- P_{\overline{A}}(B) = \frac{9}{20} = 0{,}45 ;
- P_{\overline{A}}(B) = \frac{13}{30} \ ;
- P_{\overline{A}}(\overline{B}) = \frac{17}{30}.
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Propriété
On considère une expérience aléatoire. Soient \mathrm{A} et \mathrm{B} deux événements.
On a : {P(A ∩ B) = P(A) × P_A(B).}
On a : {P(A ∩ B) = P(A) × P_A(B).}
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Démonstration
L'égalité provient directement de la définition des probabilités conditionnelles.
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On a également P(A \cap B) = P(B) \times P_B(A).
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j'ai une idée !
Oups, une coquille
