Probabilités conditionnelles

Tony lance un dé à 6 faces équilibré et Alice et Bob parient respectivement sur les événements suivants :

• A : « Le chiffre obtenu est pair. »
• B : « Le chiffre obtenu est supérieur ou égal à 4. »

a. Compléter le diagramme ci-contre avec les issues de l'expérience.

b. Que vaut \text{Card}(A) ? \text{Card}(B) ? En déduire P(A) et P(B).

2

Interpréter l'événement A \cap B. En déduire \text{Card}(A \cap B).

Tony observe la face du dé et indique à Bob qu'il a gagné son pari.
a. Quelles sont désormais les issues possibles ? Combien y en a-t-il ?

b. Parmi ces issues, quelles sont celles permettant également à Alice de remporter son pari ? En déduire la probabilité de victoire d'Alice après cette annonce.

Cette probabilité, calculée à partir d'une information sur le résultat de l'expérience aléatoire, est appelée une probabilité conditionnelle. Il s'agit ici de la probabilité conditionnelle de l'événement A conditionnellement à la réalisation de l'événement B et on note P_B(A).

c. Exprimer P_B(A) en fonction des cardinaux déterminés en questions

1

et 

2

.

4

À quoi correspond P_A(B) ? Vérifier que la formule mise en évidence à la question

3

c. reste bien valide.