Probabilités conditionnelles

L'objectif de l'exercice est d'observer la loi des grands nombres en simulant le lancer d'un dé à 6 faces équilibré.
1. Quelle est la probabilité d'obtenir la face 6 ?

2. On donne le script Python ci-dessous permettant de calculer la fréquence de la face 6 obtenue après N lancers.

import random

def simulation_de(N):
    compteur_six = 0
    for i in range(N):
        lancer = random.randint(1, 6)
        if ............................................. :
            compteur_six = compteur_six + 1
    frequence =................
    return frequence

a. Compléter le programme afin qu'il réponde au problème posé.

Aide : La commande random.randint(1,6) permet de générer un entier aléatoire entre 1 et 6 de manière équiprobable.
b. Tester le programme en prenant pour N les valeurs suivantes : 10 ; 100 ; 1 000 et 10 000.
Comparer les résultats obtenus avec la probabilité indiquée en question 1..
Que peut-on remarquer ?

On considère deux événements \text{A}_{1} et \text{A}_{2} dont lesprobabilités sont données dans le tableau suivant.
1. Compléter le tableau.
2. En déduire \mathrm{P_{A_1}(A_{2})} et \mathrm{P_{A_{2}}(A_{1})}.

Si \text{A} et \text{B} sont des événements tels que \mathrm{P(A) = 0\text{,}8} et \mathrm{P(A \cap B) = 0\text{,}2 }, à quoi est égale \mathrm{P_{A}(B)} ?

Deux événements \text{A} et \text{B} vérifient \mathrm{P(A) = 0\text{,}45,} \mathrm{P(B) = 0\text{,}6} et \mathrm{P(A \cup B) = 0\text{,}9}.

1. Calculer \mathrm{P(A \cap B)}.

2. En déduire \mathrm{P_{B}(A)} et \mathrm{P_{A}(B)}.

Une urne contient des boules rouges et des boules noires, rayées ou non, selon la répartition donnée dans le tableau suivant.
On choisit au hasard une boule de l'urne, chacune d'elle ayant la même chance d'être choisie. On définit les événements suivants :

• N : « La boule choisie est noire. » ;
• R : « La boule choisie est rayée. ».

On arrondira au besoin les résultats au millième. 1. a. À quoi correspond l'événement \overline{N} ? Calculer sa probabilité.

b. À quoi correspond l'événement \overline{N} \cap R ? Calculer sa probabilité.

c. Déterminer P_N(R), puis interpréter le résultat obtenu.

2. a. De la même manière, calculer P_R(N).

b. A-t-on P_R(N) = P_N(R) ?

Lors d'une enquête, on demande à 500 jeunes s'ils sont titulaires ou non du permis de conduire. On a synthétisé les résultats dans le tableau ci-dessous. 1. Recopier et compléter le tableau.

2. On choisit au hasard le dossier d'un de ces jeunes, chacun d'eux ayant la même probabilité d'être choisi.
On note :

• M l'événement « Le dossier choisi est celui d'un jeune de moins de 20 ans. » ;
• C l'événement « Le dossier choisi est celui d'un jeune disposant du permis de conduire. ».

a. Calculer P(M) puis interpréter le résultat obtenu.

b. Calculer P(M \cap C) puis interpréter le résultat obtenu.

c. Calculer P_M(C) puis interpréter le résultat obtenu. On arrondira le résultat à 10^{-4} près.

d. Vérifier dans cet exercice l'égalité :

P_M(C) = \frac{P(M \cap C)}{P(M)}.

On considère une urne contenant les boules ci-dessous, toutes indiscernables au toucher.
On choisit une boule au hasard de l'urne et on note :

• V l'événement « La boule tirée contient une voyelle. » ;
• R l'événement « La boule tirée est rouge. ».

1. À quoi la probabilité P_V(R) correspond-elle ? Calculer cette probabilité.

2. Déterminer P_R(V).

3. Vérifier dans cet exercice les égalités : P(V \cap R) = P(V) \times P_V(R) et P(V \cap R) = P(R) \times P_R(V).

Un laboratoire pharmaceutique conçoit un test de diagnostic pour détecter une maladie. Afin d'évaluer les performances de ce test, plusieurs paramètres sont étudiés :
• la sensibilité du test, qui mesure sa capacité à détecter les personnes réellement atteintes de la maladie ;
• la spécificité du test, qui mesure sa capacité à détecter les non malades.
Un test clinique a été réalisé sur 10 000 personnes et on a obtenu les résultats suivants.
On choisit un patient au hasard, chacun d'eux ayant la même probabilité d'être choisi.
On note les événements suivants :
• T : « Le test est positif. » ;
• M : « Le patient est malade. ».

1. Calculer P_M(T) et P_{\overline{M}}(\overline{T}).

2. Estimer alors la sensibilité et la spécificité du test.

On donne l'arbre de probabilités ci-dessous.

1. Déterminer P_B(\overline{S}).

2. Calculer P(B \cap S).

Un club de crossfit organise une compétition interne ouverte à l'ensemble de ses adhérents. On dispose des informations suivantes :

• le club est composé de 55\ \% d'hommes et de 45\ \% de femmes ;
• parmi les hommes du club, 35\ \% choisissent de participer à la compétition ;
• parmi les femmes du club, 60\ \% décident de s'y inscrire.

On choisit au hasard le dossier d'un adhérent du club, chacun d'eux ayant la même probabilité d'être choisi.
On définit les événements suivants :

• H : « Le dossier choisi est celui d'un homme. » ;
• C : « Le dossier choisi est celui d'un compétiteur. ».

1. Construire un arbre de probabilités représentant la situation. 2. Calculer la probabilité de choisir le dossier d'une femme du club participant à la compétition.

La composition du sang est identique pour tous les humains mais les antigènes présents sur les globules rouges varient d'un individu à l'autre.
Il existe quatre groupes sanguins : le groupe A possède uniquement les antigènes A, le groupe B uniquement les B, le groupe AB a les deux types d'antigènes et, enfin, le groupe O se caractérise par l'absence de ces deux types d'antigènes.
On suppose que 44\text{ \%} des Français sont du groupe sanguin A et que 4\text{ \%} sont du groupe AB.
On choisit un Français au hasard, chacun d'eux ayant la même probabilité d'être choisi.
On note :

• G_1 l'événement « L'individu choisi est du groupe sanguin A. » ;
• G_2 l'événement « L'individu choisi est porteur de l'antigène A. » ;

1. Calculer P(G_2).

2. Si l'antigène A est trouvé dans le sang de l'individu, quelle est la probabilité qu'il soit du groupe A ?

Un algorithme de détection de fraudes a été rédigé. Parmi toutes les fraudes, il en détecte 80 %. Il détecte un problème sur 10 % des dossiers étudiés et, parmi les cas qu'il détecte, 50 % sont effectivement des fraudes.

1. Calculer la probabilité qu'un dossier soit détecté et frauduleux.

2. En déduire la probabilité qu'un dossier soit frauduleux.