Chapitre 6
Cours
Addition, soustraction, multiplication
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1Généralités
Définitions
Le résultat d'une addition s'appelle une somme. Le résultat d'une soustraction s'appelle une différence. Le résultat d'une multiplication s'appelle un produit.
Les nombres que l'on ajoute ou que l'on soustrait s'appellent des termes.
Les nombres que l'on multiplie s'appellent des facteurs.
Exemples :
1. 10 + 62,4 + 12,7 = 85,1 est une somme dont les trois termes sont 10 ; 62,4 et 12,7.
2. 2 \times 2,1 = 4,2 est un produit dont les deux facteurs sont 2 et 2,1.
2. 2 \times 2,1 = 4,2 est un produit dont les deux facteurs sont 2 et 2,1.
Propriété
On peut changer l'ordre des termes dans une addition sans en changer le résultat.
On peut changer l'ordre des facteurs dans une multiplication sans en changer le résultat.
On dit que l'addition et la multiplication sont commutatives.
Exemples :
62,4 + 12,7 = 12,7 + 62,4 et 2 \times 2,1 = 2,1 \times 2
- Remarque : Attention, ceci est faux pour les termes d'une soustraction. Par exemple, 100 - 75 = 25 mais 75 - 100 donne un nombre négatif (les nombres négatifs seront vus en classe de cinquième).
Propriété
Lorsqu'un calcul ne présente que des additions ou que des multiplications, on peut regrouper les termes (ou les facteurs) à l'aide de parenthèses sans modifier le résultat du calcul. On dit que l'addition et la multiplication sont associatives.
- Remarque : Les calculs entre parenthèses sont ceux à effectuer en premier.
Exemples :
1. 14 + 0,1 + 0,9 = 14 + (0,1 + 0,9) = 14 + 1 = 15
2. (4,3 \times 2) \times 5 = 4,3 \times (2 \times 5) = 4,3 \times 10 = 43
2. (4,3 \times 2) \times 5 = 4,3 \times (2 \times 5) = 4,3 \times 10 = 43
- Remarque : Changer l'ordre des termes dans une addition ou des facteurs dans une multiplication peut permettre de faire les calculs plus rapidement. On cherche à repérer des termes ou des facteurs qui s'associent bien ensemble, comme 4 \times 25 = 100.
Exemples :
1. 2,5 + 4,3 + 1,5 + 2,7 = {\color{blue}(2,5 + 1,5)} + {\color{red}(4,3 + 2,7)}
= {\color{blue}4} + {\color{red}7}
= 11
= {\color{blue}4} + {\color{red}7}
= 11
2. 4 \times 2 \times 25 \times 8 = {\color{blue}(4 \times 25)} \times {\color{red}(2 \times 8)}
= {\color{blue}100} \times {\color{red}16}
= 1~600
= {\color{blue}100} \times {\color{red}16}
= 1~600
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2Propriétés sur les opérations
Propriétés
1. Multiplier un nombre 𒊹 par 0,1 revient à en prendre un dixième donc à le diviser par 10. On a donc 𒊹 \times 0,1 = 𒊹 \div 10.
2. Multiplier un nombre 𒊹 par 0,01 revient à en prendre un centième donc à le diviser par 100. On a donc 𒊹 \times 0,01 = 𒊹 \div 100.
3. Multiplier un nombre 𒊹 par 0,001 revient à en prendre un millième donc à le diviser par 1~000. On a donc 𒊹 \times 0,001 = 𒊹 \div 1~000.
4. Multiplier un nombre 𒊹 par 0,5 revient à le diviser par 2. On a donc 𒊹 \times 0,5 = 𒊹 \div 2.
5. Multiplier un nombre 𒊹 par 4 revient à le multiplier par 2 deux fois de suite. On a donc 𒊹 \times 4 = 𒊹 \times 2 \times 2.
6. Multiplier un nombre 𒊹 par 5 revient à le multiplier par 10 puis à le diviser par 2. On a donc 𒊹 \times 5 = 𒊹 \times 10 \div 2.
7. Multiplier un nombre 𒊹 par 25 revient à le multiplier par 100 puis à le diviser par 4. On a donc 𒊹 \times 25 = 𒊹 \times 100 \div 4.
Exemples :
1. 73 \times 0,1 = 73 \div 10 = 7,3
2. 13 \times 0,01 = 13 \div 100 = 0,13
3. 0,001 \times 27,4 = 27,4 \times 0,001 = 27,4 \div 1~000 = 0,027~4
4. 0,5 \times 642 = 642 \times 0,5 = 642 \div 2 = 321
5. 7,5 \times 4 = 7,5 \times 2 \times 2 = 15 \times 2 = 30
6. 45 \times 5 = 45 \times 10 \div 2 = 450 \div 2 = 225
7. 1,6 \times 25 = 1,6 \times 100 \div 4 = 160 \div 4 = 40
1. 73 \times 0,1 = 73 \div 10 = 7,3
2. 13 \times 0,01 = 13 \div 100 = 0,13
3. 0,001 \times 27,4 = 27,4 \times 0,001 = 27,4 \div 1~000 = 0,027~4
4. 0,5 \times 642 = 642 \times 0,5 = 642 \div 2 = 321
5. 7,5 \times 4 = 7,5 \times 2 \times 2 = 15 \times 2 = 30
6. 45 \times 5 = 45 \times 10 \div 2 = 450 \div 2 = 225
7. 1,6 \times 25 = 1,6 \times 100 \div 4 = 160 \div 4 = 40
- Remarque : On peut également décomposer les nombres décimaux pour que le calcul soit plus simple à effectuer.
Exemples :
1. 7 \times 0,8 = 7 \times (8 \times 0,1)
=(7 \times 8) \times 0,1
= 56 \times 0,1
= 5,6
2. 0,07 \times 0,8 = (0,01 \times 7) \times 0,8
= 0,01 \times (7 \times 0,8)
= 0,01 \times 5,6 (d'après l'exemple 1.)
= 0,056
1. 7 \times 0,8 = 7 \times (8 \times 0,1)
=(7 \times 8) \times 0,1
= 56 \times 0,1
= 5,6
2. 0,07 \times 0,8 = (0,01 \times 7) \times 0,8
= 0,01 \times (7 \times 0,8)
= 0,01 \times 5,6 (d'après l'exemple 1.)
= 0,056
- Remarques :
- Multiplier ne signifie pas toujours « rendre plus grand ».
- Dans ce chapitre, il est essentiel de connaître par cœur les tables d'addition et de multiplication.
- Il est toujours utile de contrôler son résultat à l'aide des ordres de grandeur.
Exemple :
Un ordre de grandeur de 25,8 est 25 et un ordre de grandeur de 3,72 est 4.
Ainsi, 25,8 \times 3,72 \approx 25 \times 4, soit environ 100.
Un ordre de grandeur de 25,8 est 25 et un ordre de grandeur de 3,72 est 4.
Ainsi, 25,8 \times 3,72 \approx 25 \times 4, soit environ 100.
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