Chapitre 9
Entrée en matière
Proportionnalité
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Histoire des mathsLa proportionnalité au fil du temps
Les propriétés de proportionnalité sont connues
depuis l'Antiquité. On a retrouvé des papyrus
et des tablettes datant de l'Égypte antique qui
décrivent des problèmes mathématiques mettant
en jeu cette notion.
Par ailleurs, au IIIe siècle avant notre ère, le savant grec Archimède a découvert un principe physique utilisant la proportionnalité. Il s'agit du principe du levier : pour que deux objets soient en équilibre de part et d'autre d'un levier, leur distance au point d'appui de celui-ci doit être inversement proportionnelle à leur masse.
Par ailleurs, au IIIe siècle avant notre ère, le savant grec Archimède a découvert un principe physique utilisant la proportionnalité. Il s'agit du principe du levier : pour que deux objets soient en équilibre de part et d'autre d'un levier, leur distance au point d'appui de celui-ci doit être inversement proportionnelle à leur masse.
Archimède aurait prononcé une phrase célèbre qui est illustrée par le dessin précédent. Rechercher laquelle.
Supplément numérique
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Les maths, à quoi ça sert ?
La proportionnalité est une notion essentielle que l'on retrouve
très fréquemment au quotidien. Par exemple,
lorsque l'on achète un écran, on regarde souvent le format
d'image. Il s'agit d'une relation de proportionnalité entre la
largeur \mathrm{L} et la hauteur \mathrm{H} d'une image, notée sous la forme \mathrm{L}:\mathrm{H}.
Les formats les plus courants sont 16:9, 21:9 ou encore 4:3.
L'écran d'ordinateur illustré a une résolution (c'est-à-dire le nombre de pixels présents sur l'écran) de 1~920 \times 1~080 pixels.
On a \frac{1~920}{1~080}=\frac{120 \times 16}{120 \times 9}=\frac{16}{9} donc son format est un format 16:9 (on dit « seize neuvièmes »).
Les formats les plus courants sont 16:9, 21:9 ou encore 4:3.
L'écran d'ordinateur illustré a une résolution (c'est-à-dire le nombre de pixels présents sur l'écran) de 1~920 \times 1~080 pixels.
On a \frac{1~920}{1~080}=\frac{120 \times 16}{120 \times 9}=\frac{16}{9} donc son format est un format 16:9 (on dit « seize neuvièmes »).
Quel est le format d'un écran ayant pour résolution 1~400 \times 1~050 ?
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Activités
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Activité de manipulationSituation de proportionnalité
Pour réaliser cette activité, utiliser .
2. Compléter le tableau suivant.
3. Si on mélange des carrés contenant trois cerises chacun avec des carrés contenant deux cerises chacun, peut-on compléter le tableau précédent de la même façon ? Justifier.
Dans la question 2, on pourrait dire que le nombre de cerises est proportionnel au nombre de carrés : qu'est-ce que cela signifie ?
1. a. Combien y a-t-il de cerises dans chaque carré ?
b. Placer quatre carrés côte à côte. Combien y a-t-il de cerises au total ?
c. Aligner six carrés : combien compte-t-on de cerises ?
d. Comment répondre aux deux questions précédentes à l'aide d'un calcul et sans compter les cerises une par une ?
| Nombre de carrés | 1 | 3 | 6 | 24 | 60 |
  |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Nombre de cerises |
3. Si on mélange des carrés contenant trois cerises chacun avec des carrés contenant deux cerises chacun, peut-on compléter le tableau précédent de la même façon ? Justifier.
Bilan
Dans la question 2, on pourrait dire que le nombre de cerises est proportionnel au nombre de carrés : qu'est-ce que cela signifie ?
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Activité 1Comprendre les pourcentages
Dans un magasin, tout est soldé à 25~\%.
1. a. Si un article coûte 100~\mathrm{€}, quel sera le montant de la réduction ?
b. Laïly souhaite acheter un pull coûtant 50~\mathrm{€} avant la remise.
Déterminer, en euro, le montant de la réduction pour le pull voulu
par Laily. En déduire le prix soldé du pull.
c. Un pantalon coûte 30~\mathrm{€}. Quel est le montant de la réduction ?
2. Afin d'aider les clients, compléter le tableau suivant.
3. La mère de Laïly lui dit que prendre 30~\% d'une quantité c'est multiplier par \frac{25}{100} ce qui revient à multiplier par \frac{1}{4} ou bien à diviser par 4.
Expliquer pourquoi elle a raison.
Compléter : « Calculer 50~\% d'une quantité, c'est multiplier cette quantité par ou bien diviser cette quantité par ».
1. a. Si un article coûte 100~\mathrm{€}, quel sera le montant de la réduction ?
| Prix initial (en €) | Réduction (en €) |
|---|---|
| 100 | |
| 50 | |
| 30 | |
| 88 | |
| 120 |
3. La mère de Laïly lui dit que prendre 30~\% d'une quantité c'est multiplier par \frac{25}{100} ce qui revient à multiplier par \frac{1}{4} ou bien à diviser par 4.
Expliquer pourquoi elle a raison.
Bilan
Compléter : « Calculer 50~\% d'une quantité, c'est multiplier cette quantité par
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Activité 2Résoudre des problèmes
Gabriel a un travail d'été pour lequel il est payé 5~\mathrm{€} la demi-heure.
1. Combien sera-t-il payé pour :
2. Lundi, il a été payé 70~\mathrm{€}. Combien de temps a-t-il travaillé ?
Donner deux méthodes de calcul différentes pour répondre aux questions précédentes.
1. Combien sera-t-il payé pour :
a. 2~\text{h} de travail ?
b. 3~\text{h} de travail ?
c. 7~\text{h}~30~\text{min} de travail ?
d. 11,5~\text{h} de travail ?
Bilan
Donner deux méthodes de calcul différentes pour répondre aux questions précédentes.
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j'ai une idée !
Oups, une coquille
