Mathématiques Terminale Bac Pro

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Partie 1 : Statistique et probabilités
Ch. 1
Statistiques à deux variables
Ch. 2
Probabilités
Partie 2 : Algèbre - Analyse
Ch. 3
Suites numériques
Ch. 5
Fonctions exponentielles et logarithme décimal
Ch. 6
Calculs commerciaux et financiers
Partie 3 : Géométrie
Ch. 7
Vecteurs
Ch. 8
Trigonométrie
Annexes
Révisions Genially
Consolidation
Poursuite d'études
Annexes
Programmation
Cahier d'algorithmique et de programmation
Chapitre 4
Activité B

Un peu de plomberie

Capacités : Déterminer la dérivée d'une fonction polynôme de degré inférieur ou égal à 3.
Dresser son tableau de variations et l᾽exploiter.
Déterminer ses éventuels extremums locaux.

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Énoncé

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M. Dupont fait des travaux dans sa cuisine et il souhaite déplacer son évier. La pose d'un évier de cuisine doit respecter les normes suivantes :
  • la hauteur de l'évier par rapport au sol doit être de 83 cm ;
  • la garde d'eau doit être supérieure à 5 cm.

Un siphon est un dispositif de tuyauterie en forme de « S » incurvé et rempli d'eau propre utilisé dans les canalisations (un évier par exemple) pour empêcher les mauvaises odeurs de remonter et de se diffuser vers le ou les orifice(s) d᾽évacuation. La garde d'eau est la hauteur d'eau propre continuellement présente dans le siphon.
La forme du tuyau d'évacuation d'ea est modélisée par la fonction f définie sur [\:0 ; 8\:] par f(x)=-x^{3}+13,5 x^{2}-54 x+83x représente la distance, en centimètre, au sol et f(x) la hauteur, en centimètre, du tuyau.

Problématique
Problématique : Les normes ont-elles été respectées ?


Placeholder pour Schéma d'installation de l'évierSchéma d'installation de l'évier
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Aide
L᾽origine du repère se situe au sol, sous l᾽évier.
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Questions

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Partie A
Contrainte sur la hauteur

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1
S'approprier

Vérifier que le point \mathrm{A}(0\:; 83) appartient à la courbe représentative de la fonction f.
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2
Valider

La contrainte sur la hauteur de l'évier a-t-elle été respectée ? Justifier.
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Partie B
Contrainte sur le siphon

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3
Réaliser

On admet que la dérivée de la fonction cube x \mapsto x^{3} est définie par x \mapsto 3 x^{2}. Donner l'expression de f', la fonction dérivée de la fonction f.
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4
Valider

Montrer que, pour tout x \in[0\:; 8], l᾽expression de f' peut se mettre sous la forme f^{\prime}(x)=-3(x-3)(x-6).
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5
Réaliser

Dresser le tableau de signe de f^{\prime}(x) sur l'intervalle [0\:; 8].
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6
Réaliser

Dresser le tableau de variations de la fonction f sur l'intervalle [0\:; 8].
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7
Valider

La contrainte sur la garde d'eau a-t-elle été respectée ? Justifier.
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8
Communiquer

Répondre à la problématique.
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À retenir

Une fonction polynôme de degré 3 est une fonction f définie sur \Reals pour laquelle il existe quatre nombres réels a, b, c et d, avec a non nul, tels que, pour tout réel x, f(x)=a x^{3}+b x^{2}+c x+d.
Sa fonction dérivée f' est définie sur \Reals par f^{\prime}(x)=3 a x^{2}+2 b x+c.

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