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Partie 1 : Statistique et probabilités
Ch. 1
Statistiques à deux variables
Ch. 2
Probabilités
Partie 2 : Algèbre - Analyse
Ch. 3
Suites numériques
Ch. 4
Fonctions polynômes de degré 3
Ch. 5
Fonctions exponentielles et logarithme décimal
Ch. 6
Calculs commerciaux et financiers
Partie 3 : Géométrie
Ch. 7
Vecteurs
Ch. 8
Trigonométrie
Annexes
Révisions Genially
Consolidation
Poursuite d'études
Annexes
Programmation
Cahier d'algorithmique et de programmation
Chapitre 5
Activité B
Une avancée historique
Capacité : Représenter graphiquement la fonction logarithme décimal sur un intervalle donné.
14 professeurs ont participé à cette page
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Énoncé
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Un immense défi se présente aux savants du XVIe siècle : le développement d'outils de navigation et d'astronomie plus perfectionnés amènent avec eux des calculs bien plus longs et complexes que ce à quoi l'humanité
avait jusqu'alors été habituée. Pour répondre à ce défi, l'écossais John Neper a une idée simple mais brillante : les calculs les plus longs et compliqués à effectuer sont les multiplications ; alors que les additions sont généralement plus simples. Il met alors au point un outil permettant de « transformer » les multiplications en additions : les logarithmes.
Dans cette activité nous allons étudier un logarithme particulier, inventé par le mathématicien Henry Briggs, appelé logarithme décimal dont voici la table ci‑contre.
Dans cette activité nous allons étudier un logarithme particulier, inventé par le mathématicien Henry Briggs, appelé logarithme décimal dont voici la table ci‑contre.
| x | 0,01 | 0,1 | 1 | 10 | 100 | 1000 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \log(x) | –2 | –1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
Problématique
Comment utiliser le logarithme décimal pour effectuer rapidement des calculs ?
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Questions
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1
a.
Réaliser
Effectuer le calcul 0{,}01 \times 1000. Combien obtient‑on ?
b. Analyser / Raisonner
Lire dans le tableau \log(10) et \log(0{,}01) + \log(1000). Que peut‑on dire ?
c. S'approprier En utilisant la table du logarithme décimal et en vous inspirant de la question précédente, déterminer le résultat du calcul 0{,}01 \times 100.
Effectuer le calcul 0{,}01 \times 1000. Combien obtient‑on ?
b. Analyser / Raisonner
Lire dans le tableau \log(10) et \log(0{,}01) + \log(1000). Que peut‑on dire ?
c. S'approprier En utilisant la table du logarithme décimal et en vous inspirant de la question précédente, déterminer le résultat du calcul 0{,}01 \times 100.
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2
a.
Réaliser
Effectuer à la calculatrice le calcul \frac {100}{1000}. Combien obtient‑on ?
b. Analyser / Raisonner
Lire dans le tableau log(10) et \log(1000) - \log(100). Que peut‑on dire ?
c. Analyser / Raisonner
Un logarithme « transforme » les multiplications en additions. En quoi « transforme »‑t‑il les divisions ?
Effectuer à la calculatrice le calcul \frac {100}{1000}. Combien obtient‑on ?
b. Analyser / Raisonner
Lire dans le tableau log(10) et \log(1000) - \log(100). Que peut‑on dire ?
c. Analyser / Raisonner
Un logarithme « transforme » les multiplications en additions. En quoi « transforme »‑t‑il les divisions ?
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3
a.
Réaliser
En utilisant la touche log de la calculatrice, on peut obtenir le logarithme décimal d'un nombre. À l'aide de la calculatrice, déterminer \log(2) et \log(3). Arrondir les résultats au centième puis les placer dans le tableau ci‑contre.
b. S'approprier
Sans utiliser la calculatrice, mais en utilisant le tableau, déterminer la valeur de \log(6).
c. S'approprier
En utilisant le tableau, déterminer le résultat du calcul suivant : 11{,}2 \times 21.
En utilisant la touche log de la calculatrice, on peut obtenir le logarithme décimal d'un nombre. À l'aide de la calculatrice, déterminer \log(2) et \log(3). Arrondir les résultats au centième puis les placer dans le tableau ci‑contre.
| x | 2 | 3 | 6 | 11,2 | 21 | 214,14 | 235,2 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| log(x) | 1,04 | 1,32 | 2,33 | 2,36 |
b. S'approprier
Sans utiliser la calculatrice, mais en utilisant le tableau, déterminer la valeur de \log(6).
c. S'approprier
En utilisant le tableau, déterminer le résultat du calcul suivant : 11{,}2 \times 21.
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4
a.
Analyser / Raisonner
Observer le tableau précédent. Lorsque la valeur de x augmente, que semble‑t‑il se produire pour la valeur de \log(x) ? Que peut‑on dire de la fonction logarithme décimal ?
b. Réaliser, Analyser / Raisonner
À l'aide de la calculatrice, essayer de déterminer \log(-3). Que répond la calculatrice ? Essayer de déterminer \log(-0{,}5) et \log(0). Que peut‑on en conclure ?
c. Réaliser
À l'aide d'un outil numérique, tracer la courbe de la fonction logarithme décimal. La courbe obtenue est‑elle cohérente avec les réponses obtenues aux questions 4.a et 4.b ?
Observer le tableau précédent. Lorsque la valeur de x augmente, que semble‑t‑il se produire pour la valeur de \log(x) ? Que peut‑on dire de la fonction logarithme décimal ?
b. Réaliser, Analyser / Raisonner
À l'aide de la calculatrice, essayer de déterminer \log(-3). Que répond la calculatrice ? Essayer de déterminer \log(-0{,}5) et \log(0). Que peut‑on en conclure ?
c. Réaliser
À l'aide d'un outil numérique, tracer la courbe de la fonction logarithme décimal. La courbe obtenue est‑elle cohérente avec les réponses obtenues aux questions 4.a et 4.b ?
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La fonction logarithme décimal associe à tout réel x strictement positif le nombre \log(x).
Cette fonction est strictement croissante sur ] 0 \;;+\infty[et on a :
\log (a \times b)=\log (a)+\log (b) et \log \left(\frac{a}{b}\right)=\log (a)-\log (b)
avec a et b des réels strictement positifs.
Cette fonction est strictement croissante sur ] 0 \;;+\infty[et on a :
\log (a \times b)=\log (a)+\log (b) et \log \left(\frac{a}{b}\right)=\log (a)-\log (b)
avec a et b des réels strictement positifs.
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