Mathématiques 3e - 2021

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Partie 1 : Nombres et calculs
Ch. 1
Nombres entiers
Ch. 2
Calcul numérique
Ch. 3
Calcul littéral
Ch. 4
Équations
Partie 2 : Organisation et gestion de données, fonctions
Ch. 5
Notion de fonction
Ch. 6
Fonctions affines
Ch. 7
Situations de proportionnalité
Ch. 8
Statistiques
Partie 3 : Espace et géométrie
Ch. 10
Théorème de Thalès et triangles semblables
Ch. 11
Trigonométrie dans le triangle rectangle
Ch. 12
Transformations dans le plan et leurs effets
Ch. 13
Géométrie dans l'espace
Partie 4 : Mesures et grandeurs
Ch. 14
Mesures et grandeurs
Annexes
Scratch
Dossier brevet
Rappels, Index, Compétences
Révisions Genially
Calcul littéral
Plan de travail
Chapitre 9
Cours et méthodes

Probabilités

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1
Généralités

A
Vocabulaire

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Définitions

Une expérience est dite aléatoire lorsque l'on ne peut pas prévoir par avance son résultat. Celui‑ci est dû au hasard.

Chaque résultat possible d'une expérience aléatoire est appelé une issue.

L'ensemble de toutes les issues est appelé l'univers.
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Exemple

On lance un dé à six faces et on observe le nombre inscrit sur la face du dessus. Ceci est une expérience aléatoire dont l'univers est constitué des issues : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 et 6.
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Définition

Une expérience aléatoire à deux épreuves est une succession de deux expériences aléatoires.
Une issue est donc un couple formé par les deux issues obtenues lors de chaque expérience.
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Exemple

On lance un dé à six faces et on s'intéresse au nombre inscrit sur sa face supérieure, puis on pioche une carte dans un jeu de 52 cartes et on s'intéresse à sa couleur. Un exemple d'issue est (1 ; cœur).
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Remarque

Pour raisonner, on peut dénombrer les issues grâce à un tableau à double entrée.
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B
Événements

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Définitions

Un événement est un ensemble, éventuellement vide, d'issues de l'univers.

Un événement est dit élémentaire lorsqu'il n'est constitué que d'une seule issue.

Un événement qui ne peut pas se réaliser est dit impossible.

Un événement dont on est sûr qu'il va se réaliser est dit certain.

L'événement contraire d'un événement \text{A} est l'événement composé de l'ensemble des issues de l'univers ne réalisant pas \text{A}. Cet événement est noté \overline{\mathrm{A}}.
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Remarque

On note les événements par une lettre majuscule.
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Exemple

Lors du lancer d'un dé à six faces, l'événement :
  • \text{M} : « Obtenir un multiple de 5. » est un événement élémentaire ;
  • \text{S} : « Obtenir un 7. » est un événement impossible ;
  • \text{N} : « Obtenir un nombre compris entre 1 et 6. » est un événement certain.
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Méthodes

Expérience aléatoire à deux épreuves

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Énoncé
On dispose de deux dés : un dé tétraédrique (à quatre faces) ayant pour faces les nombres 7, 2, 3, et 9 et un dé cubique (à six faces) ayant pour faces les nombres entiers de 1 à 6. On lance d'abord le dé tétraédrique puis le dé cubique, et on s'intéresse au nombre formé par les deux chiffres accolés (le chiffre de la face sur laquelle s'arrête le dé tétraédrique correspond au chiffre des dizaines et celui du dé cubique au chiffre des unités).
Par exemple, si on obtient 9 sur le dé tétraédrique et 5 sur le dé cubique, le nombre est 95. Déterminer l'ensemble des issues possibles.
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Solution
Dé 2
123456
Dé 17717273747576
2212223242526
3313233343536
9919293949596

Les issues possibles sont les nombres inscrits dans le tableau.

Pour s'entraîner
Exercice p. 178
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Méthode

  • On crée un tableau à double entrée ayant pour lignes les résultats possibles du premier dé et pour colonnes ceux du deuxième dé.

  • On complète chaque case du tableau avec le nombre obtenu en fonction de la valeur de la ligne et de la valeur de la colonne.
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Mobiliser le vocabulaire

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Énoncé
On écrit chaque lettre du mot « PROBABILITÉ » sur des papiers indiscernables au toucher. On choisit au hasard un papier et on lit la lettre obtenue.

1. Pourquoi cette expérience est‑elle une expérience aléatoire ? Citer les issues possibles.
2. Donner un événement élémentaire. Donner son événement contraire.
3. Donner un événement non élémentaire.
4. Donner un événement impossible.
5. Donner un événement certain.
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Solution
1. Cette expérience est aléatoire car le papier est choisi au hasard. Les issues possibles sont : P, R, O, B, A, I, L, T, É.
2. \text{A} : « Obtenir la lettre P. » et \overline{\mathrm{A}} : « Ne pas obtenir la lettre P. ».
3. \text{B} : « Obtenir une voyelle. ».
4. \text{C} : « Obtenir la lettre Z. ».
5. \text{D} : « Obtenir une lettre. ».
Pour s'entraîner
Exercices et p. 178
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Méthode

  • On reprend les définitions des termes pour chaque question.

  • Il peut y avoir plusieurs réponses.


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2
Calcul de probabilités

A
Probabilité d'un événement

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Définitions

Lors d'une expérience aléatoire, on peut associer, à chacune des issues de l'univers, un nombre appelé probabilité.

La probabilité d'un événement \text{A}, notée \text{P(A)}, est égale à la somme des probabilités des issues qui le réalisent.
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Propriétés

1. La probabilité d'une issue de l'univers est un nombre compris entre 0 et 1.
2. La somme des probabilités de chacune des issues de l'univers est égale à 1.
3. La probabilité d'un événement impossible est égale à 0 et celle d'un événement certain à 1.
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Définition

Lors d'une expérience aléatoire, si toutes les issues ont la même probabilité de se produire, on dit que l'on est dans une situation d'équiprobabilité.
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Propriétés

Dans une situation d'équiprobabilité :
  • la probabilité de chacune des issues est égale à :

    \frac {1}{\text{nombre total d'issues dans l'univers}} ;

  • la probabilité d'un événement \text{A} est :

    \text{P(A)} = \frac {\text{nombre d'issues favorables A}}{\text{nombre total d'issues dans l'univers}}
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Remarque

Lorsque l'on demande une probabilité, on ne parle pas de chances mais on donne un nombre qui peut être sous la forme d'une fraction, d'un nombre décimal ou d'un pourcentage.
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B
Stabilisation des fréquences

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Propriétés

Lorsque l'on répète un très grand nombre de fois une expérience aléatoire, la fréquence d'apparition d'une issue se rapproche d'une fréquence « limite » qui est la probabilité de cette issue.
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Exemple

Si on lance un dé cubique non truqué un très grand nombre de fois, la fréquence d'apparition des valeurs paires se rapproche de 0{,}5.
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Méthodes

Calculer des probabilités

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Énoncé
On dispose d'un jeu de 52 cartes comme présenté ci‑dessous.

Placeholder pour jeu de cartesjeu de cartes
Le zoom est accessible dans la version Premium.

On pioche une carte au hasard dans ce jeu et on s'intéresse à sa valeur et à sa couleur (par exemple : roi de cœur ou 7 de pique).
1. Justifier que cette situation est une situation d'équiprobabilité.
2. Déterminer la probabilité de tirer l'as de carreau.
3. Déterminer la probabilité des événements suivants.
  • a. \text{C} : « Tirer un cœur. »
  • b. \text{A} : « Tirer un as. »
  • c. \overline{\mathrm{A}} : « Ne pas tirer un as. »
  • d. \text{R} : « Tirer une carte rouge. »
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Méthode

Étant dans une situation d'équiprobabilité, on utilise les formules du cours.

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Solution
1. Comme on choisit une carte au hasard et que chaque carte a autant de chance d'être tirée qu'une autre, on est dans une situation d'équiprobabilité.
2. Comme on est dans une situation d'équiprobabilité et que l'univers est constitué de 52 issues, la probabilité de tirer l'as de carreau est de \frac {1}{52}.
3. a. 13 issues réalisent \text{C} donc \mathrm{P}(\mathrm{C})=\frac{13}{52}=\frac{1}{4}.
b. Quatre issues réalisent \text{A} donc \mathrm{P}(\mathrm{A})=\frac{4}{52}=\frac{1}{13}.
c. Comme \mathrm{P}(\mathrm{A})+\mathrm{P}(\overline{\mathrm{A}})=1, on a \mathrm{P}(\overline{\mathrm{A}})=1-\mathrm{P}(\mathrm{A})=\frac{12}{13}.
d. 26 issues réalisent \text{R} donc \mathrm{P}(\mathrm{R})=\frac{26}{52}=\frac{1}{2}.

Pour s'entraîner
Exercices et p. 179

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