Situations de proportionnalité

Soient $c$ et $d$ deux nombres strictement positifs.
On dit que deux nombres positifs $a$ et $b$ sont dans le ratio $c$ pour $d$, noté $«c:d»$, si $\frac{a}{c}=\frac{b}{d}$.

Si $a$ et $b$ sont deux nombres positifs dans le ratio $2:3$ alors on peut schématiser la situation comme ceci :
$a$ représente les $\frac{2}{5}$ du total et $b$ les $\frac{3}{5}$.

Si deux grandeurs sont dans un ratio alors elles sont proportionnelles entre elles.

On peut donc toujours résoudre un problème de ratio en utilisant la notion de proportionnalité.

On peut également étudier le ratio entre trois grandeurs.
Ainsi, on dit que $a$, $b$ et $c$ sont dans le ratio $«e:f:g»$ si $\frac{a}{e}=\frac{b}{f}=\frac{c}{g}$.
Par exemple, $a$, $b$ et $c$ sont dans le ratio $2:4:5$ si $\frac{a}{2}=\frac{b}{4}=\frac{c}{5}.$

Yasmine et Mathéo se partagent 21 bonbons dans le ratio $3:4$.
Calculer le nombre de bonbons reçus par chacun des enfants.

• Le nombre total de parts est la somme du nombre de parts de chacun.
• Grâce à la proportion de bonbons attribuée à chacun des enfants, on calcule la quantité de bonbons.

Dans une classe de 3^e le ratio filles : garçons est de $7:4$. Il y a 8 garçons dans cette classe. Calculer le nombre de filles.

On peut schématiser le problème de la manière suivante.

Pierre, Paul et Jacques se partagent 120 € dans le ratio $3:4:5$.
Quelle quantité d'argent chacun va‑t‑il recevoir ?

• On calcule le nombre total de parts.
• On remplit des tableaux de proportionnalité.
• On les complète en utilisant la méthode de son choix.

1. Augmenter un nombre de $\mathbf{p}\%$ revient à multiplier ce nombre par $1+\frac{\mathbf{p}}{100}$.

2. Diminuer un nombre de $\mathbf{p}\%$ revient à multiplier ce nombre par $1-\frac{\mathbf{p}}{100}$.

1. Dans ce cas, $p\%$ est appelé le taux d'évolution.

2. Une augmentation de $p\%$ est modélisée par la fonction linéaire $f:x\mapsto \left(1+\frac{p}{100}\right)x$.
Une diminution de $p\%$ est modélisée par la fonction linéaire $g:x\mapsto \left(1-\frac{p}{100}\right)x$.
On dit que $1+\frac{p}{100}$ (respectivement $1-\frac{p}{100}$) est le coefficient multiplicateur.

3. Dans le cas d'une augmentation, le coefficient multiplicateur qui permet de passer de la quantité initiale à la quantité finale est supérieur à 1 et dans le cas d'une diminution il est inférieur à 1.

Lors des soldes, un blouson voit son prix de 80 € diminué de 40 %.
Le coefficient multiplicateur est $1-\frac{40}{100}=0,6$.
Le nouveau prix du blouson est donc de $80\times 0,6$ soit 48 €.

Un téléphone portable qui coûtait 240 € subit une réduction de 30 % puis un autre rabais de 20 %.
Pour connaître son nouveau prix, on multiplie le prix initial par $1-\frac{30}{100}=0,7$, puis par $1-\frac{20}{100}=0,8$.
Comme $0,7\times 0,8=0,56$ et $1-0,56=0,44$, ce téléphone a donc subi une baisse de 44 % et non une baisse de 50 % comme nous aurions pu l'imaginer.

Rachel veut s'offrir une nouvelle robe qui coûte 35 €. Elle possède un code permettant d'obtenir une réduction de 15 %. Combien va lui coûter sa robe après réduction ?

Diminuer un prix de $p\%$ revient à le multiplier par $1-\frac{p}{100}$.

Le prix d'un smartphone a augmenté de 25 %. Il coûte 224 €. Quel était son ancien prix ?

• On détermine le coefficient multiplicateur associé à l'augmentation subie.
• On résout l'équation obtenue.

Le prix d'un abonnement à une salle de sport est passé de 150 € en 2019 à 154,50 € en 2020. Calculer le taux d'évolution appliqué.

• Pour déterminer le taux d'évolution, on se ramène d'abord au coefficient multiplicateur associé : $1+\frac{p}{100}$ dans le cas d'une augmentation et $1-\frac{p}{100}$ dans le cas d'une diminution.
• On met en équation et on résout.
• On déduit la valeur de $p$ grâce au coefficient multiplicateur obtenu.