Mathématiques 3e - 2021

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Partie 1 : Nombres et calculs
Ch. 1
Nombres entiers
Ch. 2
Calcul numérique
Ch. 3
Calcul littéral
Ch. 4
Équations
Partie 2 : Organisation et gestion de données, fonctions
Ch. 5
Notion de fonction
Ch. 6
Fonctions affines
Ch. 8
Statistiques
Ch. 9
Probabilités
Partie 3 : Espace et géométrie
Ch. 10
Théorème de Thalès et triangles semblables
Ch. 11
Trigonométrie dans le triangle rectangle
Ch. 12
Transformations dans le plan et leurs effets
Ch. 13
Géométrie dans l'espace
Partie 4 : Mesures et grandeurs
Ch. 14
Mesures et grandeurs
Annexes
Scratch
Dossier brevet
Rappels, Index, Compétences
Révisions Genially
Calcul littéral
Plan de travail
Chapitre 7
Cours et méthodes

Situations de proportionnalité

16 professeurs ont participé à cette page
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1
Les ratios

A
Généralités

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Définition

Soient c et d deux nombres strictement positifs.
On dit que deux nombres positifs a et b sont dans le ratio c pour d, noté «~{c:d}~», si {\frac{a}{c}=\frac{b}{d}}.
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Remarque

Si a et b sont deux nombres positifs dans le ratio {2:3} alors on peut schématiser la situation comme ceci :
Illustration de ratios.
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a représente les \frac{2}{5} du total et b les \frac{3}{5}.
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Exemple

Un pirate et son capitaie se partagent un butin dans le ratio {{\color{#2190A0}3}:\color{#C62A58}4}.
Quand le butin est composé de \color{#5EA85C}7 pièces, le pirate en a \color{#2190A0}3 et le capitaine \color{#C62A58}4. Quand le butin est composé de 350 pièces, le pirate en a 150 (\frac{\color{#2190A0}3}{\color{#5EA85C}7} de 350) et le capitaine en a 200 (\frac{\color{#C62A58}4}{\color{#5EA85C}7} de 350).
Autrement dit, le \mathrm{\color{#2190A0}tiers} du nombre de pièces du pirate est égal au \mathrm{\color{#C62A58}quart} du nombre de pièces du capitaine.
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B
Ratio et tableau de proportionnalité

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Propriété

Si deux grandeurs sont dans un ratio alors elles sont proportionnelles entre elles.
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Remarque

On peut donc toujours résoudre un problème de ratio en utilisant la notion de proportionnalité.
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Exemple

On réalise \mathrm{80~mL} de vinaigrette dont le ratio huile : vinaigre est de {3:1}.
On met donc trois fois plus d'huile que de vinaigre. Il nous faudra ainsi \mathrm{60~mL} d'huile et \mathrm{20~mL} de vinaigre.

Placeholder pour Tableau de proportionnalité: 3 ml d'huille pour 4 ml de vinaigrette > 60 ml d'huille pour 80 ml de vinaigrette.Tableau de proportionnalité: 3 ml d'huille pour 4 ml de vinaigrette > 60 ml d'huille pour 80 ml de vinaigrette.
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Placeholder pour Illustration ratio huile:vinaigre.Illustration ratio huile:vinaigre.
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Remarque

On peut également étudier le ratio entre trois grandeurs.
Ainsi, on dit que a, b et c sont dans le ratio «~e:f:g~» si \frac{a}{e}=\frac{b}{f}=\frac{c}{g}.
Par exemple, a, b et c sont dans le ratio 2:4:5 si \frac{a}{2}=\frac{b}{4}=\frac{c}{5}.

Illustration du ratio.
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Méthodes

Appliquer un ratio donné

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Énoncé
Yasmine et Mathéo se partagent 21 bonbons dans le ratio 3:4.
Calculer le nombre de bonbons reçus par chacun des enfants.
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Méthode

  • Le nombre total de parts est la somme du nombre de parts de chacun.
  • Grâce à la proportion de bonbons attribuée à chacun des enfants, on calcule la quantité de bonbons.
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Solution
Le nombre total de parts est égal à \textcolor{#46a3a1}{3} + \textcolor{#b03550}{4} = 7.
Yasmine : \frac{\textcolor{#46a3a1}{3}}{7} \times 21=9 bonbons.

Mathéo : \frac{\textcolor{#b03550}{4}}{7} \times 21=12 bonbons.
Pour s'entraîner
Exercices et p. 140
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Déterminer une quantité à l'aide d'un ratio donné

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Énoncé
Dans une classe de 3e le ratio filles : garçons est de 7:4. Il y a 8 garçons dans cette classe. Calculer le nombre de filles.
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Méthode

On peut schématiser le problème de la manière suivante.

Illustration du ratio filles-garçons.
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Solution
Pour 7 filles il y a 4 garçons, donc pour deux fois plus de garçons (c'est‑à‑dire 8) il y aura deux fois plus de filles, soit 14 filles.
Pour s'entraîner
Exercices et p. 138
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Tableaux de proportionnalité

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Énoncé
Pierre, Paul et Jacques se partagent 120 € dans le ratio 3:4:5.
Quelle quantité d'argent chacun va‑t‑il recevoir ?
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Méthode

  • On calcule le nombre total de parts.
  • On remplit des tableaux de proportionnalité.
  • On les complète en utilisant la méthode de son choix.
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Solution
La part totale représentée par le ratio est 3 + 4 + 5 = 12. Quand le premier prend 3 euros, le deuxième prend 4 euros et le troisième 5 euros.
Ainsi le premier reçoit \frac{3}{12}, le deuxième \frac{4}{12} et le dernier \frac{5}{12} du total.

Placeholder pour Tableau de proportionnalité pour Pierre, Paul et Jacques.Tableau de proportionnalité pour Pierre, Paul et Jacques.
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Chacun recevra respectivement 30, 40 et 50 euros.
Pour s'entraîner
Exercices p. 140 et p. 141
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2
Augmentation et réduction

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Propriétés

1. Augmenter un nombre de \boldsymbol{p~\%} revient à multiplier ce nombre par \boldsymbol{1+\frac{p}{100}}.

2. Diminuer un nombre de \boldsymbol{p~\%} revient à multiplier ce nombre par \boldsymbol{1-\frac{p}{100}}.

Schéma récapitulatif de la propriété.
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Définitions

1. Dans ce cas, p~\% est appelé le taux d'évolution.

2. Une augmentation de p~\% est modélisée par la fonction linéaire f: x \mapsto\left(1+\frac{p}{100}\right) x.
Une diminution de p~\% est modélisée par la fonction linéaire g: x \mapsto\left(1-\frac{p}{100}\right) x.
On dit que 1+\frac{p}{100} (respectivement 1-\frac{p}{100}) est le coefficient multiplicateur.

3. Dans le cas d'une augmentation, le coefficient multiplicateur qui permet de passer de la quantité initiale à la quantité finale est supérieur à 1 et dans le cas d'une diminution il est inférieur à 1.
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Exemple

Lors des soldes, un blouson voit son prix de 80 € diminué de 40 %.
Le coefficient multiplicateur est 1-\frac{40}{100}=0{,}6.
Le nouveau prix du blouson est donc de {80 \times 0{,}6} soit 48 €.

Schéma récapitulatif du calcul.
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Remarque

Attention, les pourcentages ne s'additionnent ou ne se soustraient pas. Lorsque l'on applique successivement deux augmentations, ou deux réductions ou une augmentation suivie d'une réduction, il faut multiplier la quantité initiale par le coefficient qui correspond au produit des coefficients multiplicateurs successifs.
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Exemple

Un téléphone portable qui coûtait 240 € subit une réduction de 30 % puis un autre rabais de 20 %.
Pour connaître son nouveau prix, on multiplie le prix initial par {1-\frac{30}{100}=0{,}7}, puis par {1-\frac{20}{100}=0{,}8}.
Comme 0{,}7 \times 0{,}8 = 0{,}56 et {1 - 0{,}56 = 0{,}44}, ce téléphone a donc subi une baisse de 44 % et non une baisse de 50 % comme nous aurions pu l'imaginer.

Exemple de réduction d'un prix de 30 % puis de 20 %
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Méthodes

Appliquer un taux de réduction

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Énoncé
Rachel veut s'offrir une nouvelle robe qui coûte 35 €. Elle possède un code permettant d'obtenir une réduction de 15 %. Combien va lui coûter sa robe après réduction ?
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Méthode

Diminuer un prix de p~\% revient à le multiplier par 1-\frac{p}{100}.

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Solution
Le coefficient multiplicateur est 1-\frac{15}{100}=0{,}85.
On calcule le nouveau prix : 35 \times 0{,}85=29{,}75.
On obtient donc un nouveau prix de 29,75 €.
Pour s'entraîner
Exercices et p. 142
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Retrouver une donnée

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Énoncé
Le prix d'un smartphone a augmenté de 25 %. Il coûte 224 €. Quel était son ancien prix ?
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Méthode

  • On détermine le coefficient multiplicateur associé à l'augmentation subie.
  • On résout l'équation obtenue.
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Solution
Augmenter un prix de 25 % revient à le multiplier par 1+\frac{25}{100}=1,25. Soit x la valeur de l'ancien prix, on a donc l'égalité suivante : x \times 1{,}25=224 donc {x=224 \div 1{,}25} ainsi {x = 179{,}2}.
Le smartphone coûtait 179,20 €.
Pour s'entraîner
Exercices p. 139, p. 142
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Déterminer un taux d'évolution

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Énoncé
Le prix d'un abonnement à une salle de sport est passé de 150 € en 2019 à 154,50 € en 2020. Calculer le taux d'évolution appliqué.
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Méthode

  • Pour déterminer le taux d'évolution, on se ramène d'abord au coefficient multiplicateur associé : 1+\frac{p}{100} dans le cas d'une augmentation et 1-\frac{p}{100} dans le cas d'une diminution.
  • On met en équation et on résout.
  • On déduit la valeur de p grâce au coefficient multiplicateur obtenu.
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Solution
On cherche p tel que 150 \times\left(1+\frac{p}{100}\right)=154{,}50 c'est‑à‑dire {1+\frac{p}{100}=\frac{154{,}50}{150}} donc 1+\frac{p}{100}=1{,}03.
Or, le coefficient multiplicateur 1{,}03 correspond à une augmentation de 3 %. Le prix de l'abonnement a donc augmenté de 3 %.

Pour s'entraîner
Exercices et p. 142, p. 143

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