Approfondissement

Vanina participe à un rallye pour nettoyer les plages du littoral.


Elle suit un parcours précis tout au long duquel elle ramasse des sacs de déchets préalablement remplis.
Elle part du point $\text{A}$, les sacs sont aux points $\text{B}$, $\text{D}$ et $\text{F}$ et le conteneur est en $\text{G}$.
Le trait vert matérialise son trajet.
Les points $\text{A}$, $\text{B}$ et $\text{C}$ ; $\text{B}$, $\text{D}$ et $\text{F}$ ; $\text{C}$, $\text{D}$ et $\text{E}$, et $\text{E}$, $\text{F}$ et $\text{G}$ sont alignés.

1. Calculer la longueur $\text{BD}$. On donnera la valeur exacte.

2. Justifier que les droites $(\mathrm{BC})$ et $(\mathrm{EF})$ sont parallèles.

3. Calculer la longueur $\text{DF}$.

4. Calculer la longueur totale de son trajet.

5. Vanina collecte 3,5 kg de déchets en $\text{B}$, elle en ramasse autant en $\text{D}$ qu'en $\text{F}$. Au total, Vanina dépose 10 kg de déchets en $\text{G}$. Quelle quantité de déchets a‑t‑elle collectée en $\text{D}$ et en $\text{F}$ ?

Les points $\text{T}$, $\text{S}$, $\text{P}$ d'une part, $\text{R}$, $\text{K}$, $\text{S}$ d'autre part et enfin $\text{S}$, $\text{L}$, $\text{U}$ sont alignés.
On sait également que $\widehat{\mathrm{TRS}}=30^{\circ }$.

1. À l'aide des mesures indiquées sur la figure et dans l'énoncé, démontrer que l'angle $\widehat{\mathrm{TSR}}$ mesure $60^{\circ }$.

2. a. Démontrer que les triangles $\text{SRT}$ et $\text{SUP}$ sont semblables.

b. Déterminer le coefficient de réduction permettant de passer du triangle $\text{SRT}$ au triangle $\text{SUP}$.

3. Calculer la longueur $\text{SU}$.

4. Quelle est la nature du triangle $\text{SKL}$‑? Justifier.