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Partie 1 : Nombres et calculs
Partie 2 : Organisation et gestion de données, fonctions
Partie 3 : Espace et géométrie
Partie 4 : Mesures et grandeurs
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Dossier d'actualité
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Chapitre 10
Exercices

Entraînement

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1
Théorème de Thalès et sa réciproque

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38
[Mod.1 - Mod.4]

Dans un triangle \text{ABC}, le point \text{E} appartient au segment [\mathrm{AB}] et le point \text{F} au segment [\mathrm{AC}].
De plus, les droites (\mathrm{EF}) et (\mathrm{BC}) sont parallèles. On sait que {\mathrm{AE}=3 \: \mathrm{cm}}, {\mathrm{EB}=5 \: \mathrm{cm}}, {\mathrm{AF}=2 \: \mathrm{cm}} et {\mathrm{EF}=4 \: \mathrm{cm}}.

1. Écrire les rapports de longueurs égaux.
2. Calculer les longueurs \text{BC} et \text{AC}. On donnera leur valeur exacte.
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39
[Mod.1 - Mod.4]

Monica fait un smash lors de son match de badminton. En utilisant le schéma ci‑dessous, déterminer la hauteur h à laquelle elle doit frapper le volant pour qu'il passe (en ligne droite) juste au‑dessus du filet et qu'il touche le sol à 5,9 m de la base du filet. Les points \text{I}, \text{F}, \text{V} et \text{I}, \text{H}, \text{M} sont alignés.

Triangle VMI rectangle en M et traversé par FH rectangle en H, où FH = 1,55 m; HM = 2,5 m; IH = 5,9 m.
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40
Inversé
[Ch.1]

Proposer un énoncé avec deux questions dont les réponses seraient les suivantes.

1. Les droites (\text{AM}) et (\text{CK}) sont sécantes en \text{B}. Les droites (\text{CA}) et (\text{MK}) sont parallèles, on peut donc utiliser le théorème de Thalès.
D'où {\frac{\mathrm{BA}}{\mathrm{BM}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{BK}}=\frac{\mathrm{CA}}{\mathrm{MK}}}.
2. En remplaçant les longueurs connues dans l'égalité précédente, on obtient {\frac{4}{7}=\frac{6}{\mathrm{BK}}=\frac{7}{\mathrm{MK}}}. Ainsi, {\mathrm{BK}=10,5 \: \mathrm{cm}} et {\mathrm{MK}=12,25 \: \mathrm{cm}}.
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41
[Mod.1 - Mod.4]

Dans la configuration en papillon suivante, on sait que (\mathrm{RN}) / /(\mathrm{OP}) et que {\mathrm{MN}=3 \: \mathrm{cm}}, {\mathrm{MO}=8 \: \mathrm{cm}}, {\mathrm{MP}=9 \: \mathrm{cm}} et {\mathrm{OP}=15 \: \mathrm{cm}}.

figure RNOP

Calculer la valeur exacte de \text{RN} et \text{MR}.
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42
[Ch.2 - Mod.1]

D'après brevet, Nouvelle‑Calédonie, décembre 2019

Placeholder pour Photographie de grands cerfs-volants colorés sur une plage, près d'une grande roue et de bâtiments. Festival de cerfs-volants.Photographie de grands cerfs-volants colorés sur une plage, près d'une grande roue et de bâtiments. Festival de cerfs-volants.

Pour faire voler son cerf‑volant, Thomas décide d'accrocher sa ficelle au sol. Sur la figure suivante, \text{T} représente le point d'accroche de cette ficelle et \text{C} représente le cerf‑volant. On sait que la longueur de fil \text{TC} vaut 15 mètres, que la distance \text{TH} vaut 20 pas et qu'un pas de Thomas mesure 0,6 mètre.

illustration des points T, H, F, C et E par rapport au sol et au cerf-volant.

1. Calculer la longueur \text{TH} en mètre.
2. Calculer la longueur \text{CH} en mètre.
3. Thomas voudrait dérouler plus de corde afin que le cerf‑volant atteigne l'altitude \text{E} de sorte que \text{EF} = 13,5. Calculer la longueur \text{TE}.
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43
Copie d'élève
[Rais.3 - Rais.5]

Un professeur donne l'exercice suivant à ses élèves.
À l'aide de la figure suivante et des indications qui y sont écrites, calculer les longueurs \text{MB} et \text{BC}. Les droites roses sont parallèles.

Triangle ABC, comprenant le triangle AMN. AM = 6, 75 m; NM = 4 m; AN = 3 m et NC = 5 m.

Voici la copie d'un élève.
Dans le triangle \text{ABC}, \text{M} \in[\text{AB}], \text{N} \in[\text{AC}].
On peut écrire \frac{\text{AM}}{\text{AB}}=\frac{\text{AN}}{\text{AC}}.
On remplace par les valeurs numériques et on trouve {\text{MB}=18 \: \text{m}} et {\text{BC}=11 \: \text{m}}.

Quelles erreurs ont été commises ? Proposer une correction.
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44
[Rais.3 - Cal.2]

Sur la figure suivante, on sait que (\text{AD}) et (\text{CB}) sont sécantes en \text{E}, et que {\mathrm{CE}=1,5 \: \mathrm{cm}} ; {\mathrm{DE}=1,2 \: \mathrm{cm}} ; {\mathrm{EA}=2,6 \: \mathrm{cm}} et {\mathrm{EB}=3,25 \: \mathrm{cm}}.

figure ABCD.

Montrer que les droites (\mathrm{AB}) et (\mathrm{CD}) sont parallèles.
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45
[Rais.3 - Cal.2]

Sur la figure suivante, {\mathrm{AB}=2 \: \mathrm{cm}} ; {\mathrm{AF}=5 \: \mathrm{cm}} ; {\mathrm{AC}=4 \: \mathrm{cm}} ; {\mathrm{GB}=1,5 \: \mathrm{cm}} ; {\mathrm{AE}=10 \: \mathrm{cm}} ; {\mathrm{AD}=8 \: \mathrm{cm}} et {(\mathrm{GB}) / /(\mathrm{FC})}.

figure AED coupée par les droites GB, FC et ED.

1. Calculer les longueurs \text{AG} et \text{FC}.
2. Les droites (\mathrm{FC}) et (\mathrm{ED}) sont‑elles parallèles ?
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46
[Rais.3 - Cal.2]

Alex déplie sa table à repasser sur un sol horizontal. En utilisant les informations indiquées sur le schéma, déterminer si sa planche à repasser est horizontale.

planche à repasser
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47
[Mod.4]

Sur la figure suivante, on sait que les droites (\mathrm{AR}) et (\mathrm{CT}) sont parallèles. De plus, les points \text{E}, \text{L}, \text{R}, \text{T} d'une part et \text{B}, \text{L}, \text{A}, \text{C} d'autre part sont alignés dans cet ordre.
On a les longueurs suivantes : {\mathrm{LC}=6 \: \mathrm{cm}}, {\mathrm{LT}=9 \: \mathrm{cm}}, {\mathrm{LA}=4,8 \: \mathrm{cm}}, {\mathrm{LB}=2 \: \mathrm{cm}} et {\mathrm{LE}=3 \: \mathrm{cm}}.

figure ARBE comprise dans la figure CTBE.

1. Calculer la longueur \text{LR}.
2. Les droites (\mathrm{EB}) et (\mathrm{CT}) sont‑elles parallèles ?
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2
Configurations particulières

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48
Démo
[Rep.5]

1. À l'aide du codage des figures suivantes, démontrer que les triangles \text{ABU} et \text{ECG} sont semblables.
mat3e10inf30-01.svg
 2. Compléter alors les égalités suivantes : \frac{\mathrm{A}..}{. . \mathrm{C}}=\frac{\mathrm{A} . .}{. . \mathrm{G}}=\frac{\ldots}{\ldots}.
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49
[Mod.5 - Mod.3]

On considère les figures suivantes.

Triangle MNP (MN = 3 cm; MP = 5 cm; NP = 7 cm). Triangle EFK (FK = 1,8 cm; EK = 4,2 cm; FE = 3 cm).

Les triangles \text{MNP} et \text{EKF} sont‑ils semblables ?
Si oui, quel coefficient d'agrandissement permet de passer de \text{EFK} à \text{MNP} ?
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50
[Ch.2 - Mod.3]

\text{ABC} est un triangle tel que {\mathrm{AB}=8 \: \mathrm{cm}}, {\mathrm{BC}=5 \: \mathrm{cm}} et {\mathrm{AC}=6 \: \mathrm{cm}}. \text{EFG} est un triangle tel que {\mathrm{EF}=18 \: \mathrm{cm}}, {\mathrm{FG}=15 \: \mathrm{cm}} et {\mathrm{EG}=24 \: \mathrm{cm}}. Expliquer pourquoi ces deux triangles sont semblables.
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51
[Mod.4 - Rais.3]

Dans le triangle \text{ABC}, on a {\widehat{\mathrm{BAC}}=23^{\circ}} et {\widehat{\mathrm{ABC}}=34^{\circ}}. Dans le triangle \text{EFG}, on a {\widehat{\mathrm{GEF}}=122^{\circ}} et {\widehat{\mathrm{EFG}}=23^{\circ}}. Ces deux triangles sont‑ils semblables ?
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52
[Mod.3]

Soit un triangle \text{ABC} de côtés 5 cm, 2 cm et 6 cm, et un triangle \text{EFG} de côtés 2,4 m, 6 m et 7,2 m. Montrer que ces deux triangles sont semblables.
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54
Copie d'élève
[Rais.3 - Rep.5]

Un professeur donne l'exercice suivant à ses élèves.

Triangle ABC avec BC = 16 m et AC 12 m et le triangle DEF avec ED = 4 m et DF = 2 m.

1. Montrer que les deux triangles sont semblables.
2. Quel est le coefficient de réduction permettant de passer du triangle \text{ABC} au triangle \text{EDF} ?
3. En déduire les longueurs manquantes.

Voici la copie de Sacha.
1. Les couleurs du triangle \text{ABC} sont identiques à celles du triangle \text{DEF}. Les deux triangles sont semblables.
2. C'est 4.
3. Les longueurs sont 8 cm et 3 cm.

Corriger la copie.
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56
[Mod.1 - Rep.5]

Mary Read était une célèbre femme pirate, décédée le 8 avril 1721 en Jamaïque. Son bateau avait deux voiles : une grande et une petite. Ces deux voiles, assimilées à des triangles, peuvent être considérées semblables.

figure géométrique ressemblant à un bateau.

1. Calculer le coefficient de réduction qui permet de passer de la grande voile à la petite.
2. En déduire la hauteur de la petite voile.
3. Calculer l'aire de la grande voile et en déduire celle de la petite de deux manières différentes.
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53
[Ch.2 - Rais.3]

1. Soit \text{ABCD} un rectangle de centre \text{O}. Donner deux exemples de triangles semblables dans la figure suivante. Justifier.

Rectangle ABCD

 2. Soit \text{EFGH} un parallélogramme de centre \text{K}. Donner deux exemples de triangles semblables dans la figure suivante. Justifier.

parallélogramme EFGH
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55
[Mod.2 - Mod.5]

Julien possède une loupe dont le coefficient d'agrandissement est \gamma=3,5.

Placeholder pour Photographie macro de timbres brésiliens anciens, avec une loupe sur un timbre représentant un portrait et des avions.Photographie macro de timbres brésiliens anciens, avec une loupe sur un timbre représentant un portrait et des avions.

1. À travers cette loupe, il observe un carré d'aire 5 cm2. Quelle est l'aire de l'image de ce carré à travers la loupe ?
2. En observant un autre carré à travers cette loupe, il obtient une image d'aire 12,25 cm2. Quelle est l'aire du carré initial ?
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57
[Mod.4 - Cal.2]

On considère la figure suivante.

figure ABCD où AB = 3,6 cm; BC = 4,8 cm; AD = 10 cm et CD = 8 cm.

1. Calculer la longueur \text{AC}.
2. En déduire la nature du triangle \text{ACD}.
3. Montrer que les triangles \text{ACD} et \text{ABC} sont semblables. En déduire le coefficient d'agrandissement qui permet d'obtenir le triangle \text{ACD} à partir du triangle \text{ABC}.
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58
[Ch.2 - Rais.2]

Baptiste et sa petite sœur Coralie sont venus voir la tour de Pise.
À l'aide d'un inclinomètre, ils mesurent les angles qu'ils reportent sur le schéma suivant.
La tour de Pise est matérialisée par le segment [\mathrm{GF}], Baptiste par le point \text{B} et sa petite sœur par le point \text{C}.
Pour faciliter leurs mesures, ils utilisent un arbre de sommet \text{D} planté devant la tour.
Baptiste explique à sa petite sœur que le triangle qu'ils forment tous les deux avec le sommet de l'arbre est semblable à celui que Baptiste forme avec la tour. Démontrer que Baptiste a raison.

Illustration de la tour de Pise avec l'angle DBC = 46° et l'angle BCD = 40° et l'angle CGF = 94°.
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