Mathématiques 3e - 2021

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Partie 1 : Nombres et calculs
Ch. 1
Nombres entiers
Ch. 2
Calcul numérique
Ch. 3
Calcul littéral
Ch. 4
Équations
Partie 2 : Organisation et gestion de données, fonctions
Ch. 5
Notion de fonction
Ch. 6
Fonctions affines
Ch. 7
Situations de proportionnalité
Ch. 8
Statistiques
Ch. 9
Probabilités
Partie 3 : Espace et géométrie
Ch. 11
Trigonométrie dans le triangle rectangle
Ch. 12
Transformations dans le plan et leurs effets
Ch. 13
Géométrie dans l'espace
Partie 4 : Mesures et grandeurs
Ch. 14
Mesures et grandeurs
Annexes
Scratch
Dossier brevet
Rappels, Index, Compétences
Révisions Genially
Calcul littéral
Plan de travail
Chapitre 10
Travailler autrement

Activité différenciée

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Introduction

En Grèce, durant l'Antiquité, une grande importance était donnée aux constructions à la règle non graduée et au compas. Ces constructions, sans rapporteur et sans équerre, étaient considérées comme un modèle de perfection mathématique. Aujourd'hui encore, ces types de constructions jouent un rôle majeur dans certaines branches des mathématiques.
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Parcours 1 : Droites parallèles

Pour tracer la parallèle à une droite passant par un point donné, on fait généralement « glisser » sur la feuille sa règle le long de son équerre. Cette méthode est peu précise. Le programme de construction suivant permet de tracer précisément la parallèle à la droite (d) passant par le point \text{M} donné en utilisant uniquement la règle non graduée et le compas.

Programme de construction
  • Placer un point \text{A} sur la droite (d) puis tracer le segment [\mathrm{AM}].
  • Placer un point \text{B} sur le segment [\mathrm{AM}].
  • Tracer le cercle de centre \text{B} et de rayon \text{AB}. Il coupe la droite (d) en deux points : le point \text{A} et le point \text{C} que l'on place.
  • Tracer la droite (\mathrm{BC}).
  • Tracer le cercle de centre \text{B} et de rayon \text{BM}. Ce cercle coupe la droite (\mathrm{BC}) en deux points : \text{D} est celui qui n'appartient pas à la demi‑droite [\mathrm{BC}). Placer \text{D}.
  • La droite (\mathrm{MD}) est alors la droite parallèle à (d) passant par \text{M}.

1. Sur une feuille blanche, tracer une droite (d) et placer un point \text{M} n'appartenant pas à (d). En utilisant le programme de construction ci‑dessus, tracer la droite (d^{\prime}) parallèle à la droite (d) et passant par \text{M}.

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2. En utilisant la réciproque du théorème de Thalès, justifier que la droite (d^{\prime}) est bien parallèle à la droite (d).
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Parcours 2 : Nombres rationnels

La question de la constructibilité des nombres était une des grandes questions mathématiques durant l'Antiquité.
On trace un segment [\mathrm{AB}] de longueur 1 unité. Peut‑on tracer, uniquement avec une règle non graduée et un compas, un segment de longueur \frac{1}{3} d'unité ? On donne le programme de construction suivant.

Programme de construction
  • Prolonger le segment [\mathrm{AB}] afin d'obtenir la droite (\mathrm{AB}).
  • Tracer le cercle de centre \text{B} et de rayon \text{AB}. Ce cercle coupe la droite (\mathrm{AB}) en deux points : le point \text{A} et le point \text{C}. Placer \text{C}.
  • Tracer le cercle de centre \text{C} et de rayon \text{AB}. Ce cercle coupe la droite (\mathrm{AB}) en deux points : le point \text{B} et le point \text{D}. Placer \text{D}.
  • Tracer le cercle de centre \text{A} et de rayon \text{AD} et le cercle de centre \text{B} et de rayon \text{AD}.
  • Ces deux cercles s'intersectent en deux points. En choisir un et le noter \text{E}.
  • Tracer les droites (\mathrm{AE}) et (\mathrm{BE}).
  • Tracer le cercle de centre \text{E} et de rayon \text{AB}.
  • Ce cercle coupe le segment [\mathrm{AE}] en \text{F} et le segment [\mathrm{BE}] en \text{G}.
  • Tracer le segment [\mathrm{FG}].

1. Sur une feuille blanche, tracer un segment [\mathrm{AB}]. Il sera supposé de longueur 1 unité. Appliquer le programme de construction ci‑dessus.

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2. En utilisant le théorème de Thalès, justifier que le segment [\mathrm{FG}] a pour longueur \frac{1}{3} d'unité.

3. Modifier le programme de construction pour pouvoir construire un segment de longueur \frac{2}{3} d'unité puis de longueur \frac{1}{4} d'unité.
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