Mathématiques 3e - 2021

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Partie 1 : Nombres et calculs
Ch. 1
Nombres entiers
Ch. 2
Calcul numérique
Ch. 3
Calcul littéral
Ch. 4
Équations
Partie 2 : Organisation et gestion de données, fonctions
Ch. 5
Notion de fonction
Ch. 6
Fonctions affines
Ch. 7
Situations de proportionnalité
Ch. 8
Statistiques
Ch. 9
Probabilités
Partie 3 : Espace et géométrie
Ch. 11
Trigonométrie dans le triangle rectangle
Ch. 12
Transformations dans le plan et leurs effets
Ch. 13
Géométrie dans l'espace
Partie 4 : Mesures et grandeurs
Ch. 14
Mesures et grandeurs
Annexes
Scratch
Dossier brevet
Rappels, Index, Compétences
Révisions Genially
Calcul littéral
Plan de travail
Chapitre 10
Cours et méthodes

Théorème de Thalès et triangles semblables

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1
Théorème de Thalès et sa réciproque

A
Énoncé du théorème

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Théorème de Thalès

Si (\text{MB}) et (\text{NC}) sont deux droites sécantes en \text{A} telles que les droites (\text{BC} ) et (\text{MN}) sont parallèles alors on a les égalités suivantes :

\frac{\mathrm{\color{#5EB45E}A\color{black}M}}{\mathrm{\color{#5EB45E}A\color{black}B}}=\frac{\mathrm{\color{#5EB45E}A\color{black}N}}{\mathrm{\color{#5EB45E}A\color{black}C}}=\frac{\mathrm{MN}}{\mathrm{BC}}
théorème de Thalès
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Remarques

  • On repère le sommet commun aux deux triangles (ici le point \text{\color{#5EB45E}A\color{black}}) et les deux droites parallèles (ici \color{#CE422B} (\text{MN}) et \color{#CE422B} (\text{BC}) pour écrire les trois rapports. On a donc : \frac{\mathrm{\color{#5EB45E}A\color{black}M}}{\mathrm{\color{#5EB45E}A\color{black}B}}=\frac{\mathrm{\color{#5EB45E}A\color{black}N}}{\mathrm{\color{#5EB45E}A\color{black}C}}=\frac{\mathrm{\color{#CE422B}MN\color{black}}}{\mathrm{\color{#CE422B}BC\color{black}}}.

  • Il est également possible d'écrire l'égalité ainsi : \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AM}}=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{AN}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{MN}}.
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B
Énoncé de la réciproque

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Théorème (Réciproque du théorème de Thalès)

Si les points \text{A}, \text{M}, \text{B} et \text{A}, \text{N}, \text{C} sont alignés dans le même ordre et que les rapports \frac{\mathrm{AM}}{\mathrm{AB}} , \frac{\mathrm{AN}}{\mathrm{AC}} et \frac{\mathrm{MN}}{\mathrm{BC}} sont égaux, alors les droites (\text{MN}) et (\text{BC}) sont parallèles.
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Remarques

  • On calcule les rapports séparément afin de les comparer. Il faut que les deux conditions (l'égalité des trois rapports et l'ordre des points) soient vérifiées pour conclure sur le parallélisme.
  • Si l'une des deux conditions n'est pas vérifiée alors les droites ne sont pas parallèles.
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Méthodes

Calculer une longueur

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Énoncé
Sur la figure suivante, on sait que (\mathrm{NM}) / /(\mathrm{GF}). Calculer les deux longueurs \text{EF} et \text{EN} manquantes.

figure de la méthode Calculer une longueur
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Solution
On sait que les droites (\text{GN}) et (\text{FM}) sont sécantes en \text{E} et, de plus, que (\mathrm{MN}) / /(\mathrm{GF}).
D'après le théorème de Thalès, \frac{\mathrm{EF}}{\mathrm{EM}}=\frac{\mathrm{EG}}{\mathrm{EN}}=\frac{\mathrm{FG}}{\mathrm{MN}}.
Ainsi, \frac{\mathrm{EF}}{2}=\frac{4,5}{\mathrm{EN}}=\frac{2,7}{2,5}.
D'où \mathrm{EF}=\frac{2 \times 2,7}{2,5}=2,16 \: \mathrm{cm} et \mathrm{EN}=\frac{4,5 \times 2,5}{2,7}=\frac{25}{6} \approx 4,17 \: \mathrm{cm}.

Pour s'entraîner
Exercices et p. 198
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Méthode

  • On écrit les conditions d'application du théorème.
  • On écrit ensuite les égalités des rapports.
  • On calcule les valeurs manquantes à l'aide de produits en croix.
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Montrer que deux droites sont ou ne sont pas parallèles

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Énoncé
Sur la figure ci‑dessous, on sait que les points \text{F}, \text{O}, \text{D} et \text{E} sont alignés ainsi que les points \text{G}, \text{O}, \text{B} et \text{C}.

figure - méthode Montrer que deux droites sont ou ne sont pas parallèles
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On donne les longueurs suivantes : \mathrm{OB}=7,2 \: \mathrm{cm}, \mathrm{OC}=10,8 \: \mathrm{cm}, \mathrm{OD}=6 \: \mathrm{cm}, \mathrm{OE}=9 \: \mathrm{cm}, \mathrm{OG}=3 \: \mathrm{cm} et \mathrm{OF}=2 \: \mathrm{cm}.

1. Démontrer que les droites (\text{BD}) et (\text{CE}) sont parallèles.

2. Les droites (\text{GF}) et (\text{BD}) sont‑elles parallèles ? Justifier.
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Solution
1. Les points \text{O}, \text{B}, \text{C} et \text{O}, \text{D}, \text{E} sont alignés dans le même ordre.
D'une part, \frac{\mathrm{OB}}{\mathrm{OC}}=\frac{7,2}{10,8}=\frac{2}{3} et d'autre part, {\frac{\mathrm{OD}}{\mathrm{OE}}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}}.

Comme \frac{\mathrm{OB}}{\mathrm{OC}}=\frac{\mathrm{OD}}{\mathrm{OE}}, alors, d'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (\mathrm{BD}) et (\mathrm{CE}) sont parallèles.

2. Les points \text{F}, \text{O}, \text{D} et \text{G}, \text{O}, \text{B} sont alignés dans le même ordre.
D'une part, \frac{\mathrm{OF}}{\mathrm{OD}}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3} et d'autre part, \frac{\mathrm{OG}}{\mathrm{OB}}=\frac{3}{7,2}=\frac{5}{12}.
Comme \frac{\mathrm{OF}}{\mathrm{OD}} \neq \frac{\mathrm{OG}}{\mathrm{OB}}, alors, l'égalité de Thalès n'est pas vérifiée donc les droites (\mathrm{FG}) et (\mathrm{BD}) ne sont pas parallèles.

Pour s'entraîner
Exercices , et p. 198
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Méthode

  • On vérifie que les points sont alignés dans le même ordre
  • On compare les rapports séparément.
  • Si les rapports sont égaux, alors les droites sont parallèles. Si les rapports sont différents, alors les droites ne sont pas parallèles.
  • On conclut.
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2
Configurations particulières

A
Agrandissement et réduction

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Définitions

Si, pour une figure \text{F} donnée, on multiplie toutes les longueurs par un nombre k strictement positif, alors on obtient :
  • un agrandissement si k \gt 1 ;
  • une réduction si 0 \lt k \lt 1.
figure - définitions, cours 2 : Agrandissement et réduction
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Propriétés

Lors d'un agrandissement (ou d'une réduction) de rapport k :

1. la mesure des angles, le parallélisme et la perpendicularité sont conservés ;

2. les aires sont multipliées par k^2.
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Remarque

Si k=1 alors la figure reste identique.
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B
Triangles semblables

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Définition

Deux triangles sont semblables si leurs angles sont égaux deux à deux.
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Remarque

Sachant que la somme des angles d'un triangle est égale à 180°, il est suffisant de démontrer l'égalité pour deux paires d'angles, l'égalité des troisièmes s'en déduisant.
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Exemple

Sur la figure ci‑dessous, comme \widehat{\mathrm{TRI}}=\widehat{\mathrm{GAN}}, \widehat{\mathrm{RTI}}=\widehat{\mathrm{GNA}} et \widehat{\mathrm{RIT}}=\widehat{\mathrm{AGN}}, alors les triangles \text{TRI} et \text{AGN} sont semblables.

figure - exemple, cours 2 : Triangles semblables
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Propriété

Si deux triangles sont semblables alors les longueurs des côtés de l'un sont proportionnelles aux longueurs des côtés de l'autre.
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Remarque

Ce coefficient de proportionnalité est appelé le coefficient d'agrandissement ou de réduction.
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Méthodes

Appliquer les propriétés des agrandissements

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Énoncé
Sur un plan, un terrain est représenté par le triangle rectangle suivant.

figure - énoncé, méthode : Appliquer les propriétés des agrandissements
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1. Calculer l'aire de ce triangle.

2. 1 cm sur le plan équivaut à 2,3 m dans la réalité. En déduire l'aire réelle du terrain.

3. Dans la réalité, un chemin menant à ce terrain mesure 5,75 m. Quelle est sa longueur sur le plan ?
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Solution
1. \mathcal{A}=\frac{4,5 \times 6}{2}=13,5 \: \mathrm{cm}^{2}.

2. Le coefficient d'agrandissement est 230 donc \mathcal{A}^{\prime}=13,5 \times 230^{2}=714\:150 \: \mathrm{cm}^{2}=71,415 \: \mathrm{m}^{2}.

3. Le coefficient de réduction est \frac{1}{230}.
575 \times \frac{1}{230}=2,5. Sur le plan, le chemin mesure 2,5 cm.

Remarque : En multipliant toutes les longueurs par 230, on retrouve le même résultat en appliquant la formule de l'aire.

Pour s'entraîner
Exercices et p. 199
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Méthode

1. On utilise la formule {\mathcal{A}_{\text {triangle }}=\frac{\text { base } \times \text { hauteur }}{2}}.

2. Si 1 cm sur le plan représente 2,3 m, soit 230 cm, dans la réalité, alors le coefficient d'agrandissement est k = 230. Ainsi, les aires sont multipliées par k^2.

3. Si 1 cm représente 2,3 m, soit 230 cm, dans la réalité, alors le coefficient de réduction est k^{\prime}=\frac{1}{230}. Les longueurs sont multipliées par k^{\prime}.
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Démontrer que deux triangles sont semblables ou non

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Énoncé
Soient \text{ABC} un triangle tel que \widehat{\mathrm{BAC}}=48^{\circ} et \widehat{\mathrm{ABC}}=50^{\circ} et \text{DEF} un triangle tel que \widehat{\mathrm{EDF}}=50^{\circ} et \widehat{\mathrm{EFD}}=82^{\circ}.
De plus, on sait que \widehat{\mathrm{HGI}}=58^{\circ} et \widehat{\mathrm{KJL}}=58^{\circ}.

figure - énoncé, méthode : Démontrer que deux triangles sont semblables ou non
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1. Montrer que les triangles \text{ABC} et \text{DEF} sont semblables.

2. Les triangles \text{GHI} et \text{JKL} sont‑ils semblables ?
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Solution
1. Dans le triangle \text{ABC}, \widehat{\mathrm{ACB}}=180-48-50=82^{\circ}. On remarque que \widehat{\mathrm{ACB}}=\widehat{\mathrm{EFD}} et \widehat{\mathrm{ABC}}=\widehat{\mathrm{EDF}}. Donc les triangles \text{ABC} et \text{DEF} sont semblables.

2. Le triangle \text{GHI} est isocèle en \text{G} donc \widehat{\mathrm{GHI}}=\widehat{\mathrm{GIH}}=\frac{180-58}{2}=61^{\circ}. Le triangle \text{KJL} est isocèle en \text{K} donc \widehat{\mathrm{KJL}}=\widehat{\mathrm{KLJ}}=58^{\circ} et \widehat{\mathrm{JKL}}=64^{\circ}. Les angles ne sont pas deux à deux égaux, donc les triangles \text{GHI} et \text{JKL} ne sont pas semblables.

Pour s'entraîner
Exercices et p. 199
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Méthode

1. On détermine la mesure du troisième angle d'un des triangles en utilisant la somme des mesures des angles d'un triangle qui est égale à 180°. On compare ensuite les angles deux à deux. On conclut.

2. On détermine la mesure de chacun des angles en utilisant les propriétés des triangles isocèles. On compare les mesures d'angles des deux triangles. On conclut.

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