Annexes
Vocabulaire
Vocabulaire ensembliste
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Les ensembles de nombres
On rappelle la définition de quelques ensembles utiles :
- l'ensemble {\color{green}\mathbb{N}} des entiers naturels (tous les nombres entiers positifs) ;
- l'ensemble {\color{orange}\mathbb{Z}} des entiers relatifs (tous les nombres entiers positifs ou négatifs) ;
- l'ensemble {\color{blue}\mathbb{R}} des réels.
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Les ensembles
Soit \text{E} un ensemble.- Si x est un élément de \text{E}, on dit que x appartient à \text{E}, et on écrit x \in \text{E}.
Par exemple, 2 \in \mathbb{N} et \sqrt{7} \in \mathbb{R}.
- Un sous-ensemble de \text{E} est un ensemble contenu dans \text{E.}
\text{F} est un sous-ensemble de \text{E} s'écrit \text{F} \subset \text{E}.
Par exemple, \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} et \mathbb{Z} \subset \mathbb{R}.
Attention
Ne pas confondre les symboles ∈ et ⊂ : le premier s'applique à un élément, tandis que le second s'applique à un ensemble !
- La réunion de deux ensembles \text{A} et \text{B} est l'ensemble des éléments qui sont dans au moins l'un des deux ensembles. On le note \mathrm{A} \cup \mathrm{B}.
Par exemple, \{1 \:; 2 \:; 3\} \cup\{2 \:; 3 \:; 4\}=\{1 \:; 2\: ; 3\:; 4\}.
- L'intersection de deux ensembles \text{A} et \text{B}, notée \text{A} \cap \text{B}, est l'ensemble des éléments qui sont dans les deux ensembles à la fois.
Par exemple, \{1 \:; 2 \:; 3\} \cap\{2 \:; 3 \:; 4\}=\{2 \:; 3\}.
Il arrive que l'intersection de deux ensembles \text{A} et \text{B} soit vide, c'est-à-dire qu'elle ne contienne aucun élément. On note alors \mathrm{A} \cap \mathrm{B}=\emptyset.
L'ensemble \emptyset est appelé ensemble vide.
- Si \text{F} est un sous-ensemble de \text{E,} le complémentaire de \text{F} dans \text{E} est l'ensemble des éléments de \text{E} qui ne sont pas dans \text{F.} On le note \mathrm{E} \backslash \mathrm{F}.
On peut également le noter \overline{\mathrm{F}}.
Par exemple, \mathbb{Z} \backslash \mathbb{N} est l'ensemble des entiers strictement négatifs.
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Les intervalles
Les intervalles sont des sous-ensembles de \mathbb{R}. On distingue :- les intervalles fermés, de la forme [a \:; b] avec a \lt b deux réels. Il s'agit de l'ensemble des réels x tels que a \leqslant x \leqslant b ;
- les intervalles ouverts, de la forme ] a \: ; b[ avec a \lt b deux réels. Il s'agit de l'ensemble des réels x tels que a \lt x \lt b ;
- les intervalles semi-ouverts de la forme {\color{red}[a \: ; b[} ou {\color{blue}] a \: ; b]}. Il s'agit de l'ensemble des réels x tels que, respectivement, {\color{red}a \leqslant x \lt b} ou {\color{blue}a \lt x \leqslant b}.
On peut représenter les intervalles sur la droite des réels. Cette représentation permet notamment de déterminer les unions et intersections d'intervalles.
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