Éléments de logique

Propositions et connecteurs logiques

Implications et réciproques

On dit qu'une proposition $\text{P}$ implique une proposition $\text{Q}$ quand, lorsque $\text{P}$ est vraie, alors $\text{Q}$ est vraie aussi. Cela se traduit par une phrase du type « Si $\text{P}$, alors $\text{Q}$ », et se note mathématiquement $\mathrm{P}\Rightarrow \mathrm{Q}.$
L'implication inverse $\mathrm{Q}\Rightarrow \mathrm{P}$ est appelée sa réciproque.
Prenons l'exemple du théorème de Pythagore : « Si le triangle $\text{ABC}$ est rectangle en $\text{B}$, alors ${\mathrm{AC}}^2={\mathrm{AB}}^2+{\mathrm{BC}}^2$ ».
Si on note $\text{P}$ : « Le triangle $\text{ABC}$ est rectangle en $\text{B}$ » et $\text{Q}$ : « ${\mathrm{AC}}^2={\mathrm{AB}}^2+{\mathrm{BC}}^2$ », le théorème de Pythagore peut se noter $\mathrm{P}\Rightarrow \mathrm{Q}.$
Sa réciproque est $\mathrm{Q}\Rightarrow \mathrm{P}.$ Elle est également vraie.

Équivalences

Si $\text{P}$ implique $\text{Q}$ et $\text{Q}$ implique $\text{P,}$ on dit que $\text{P}$ et $\text{Q}$ sont des propositions équivalentes et on note $\mathrm{P}\iff \mathrm{Q}.$
Cela se traduit par une phrase du type « $\text{P}$ si, et seulement si, $\text{Q}$ ».
Par exemple, « $\text{ABCD}$ est un carré » et « $\text{ABCD}$ est un quadrilatère avec quatres côtés de même longueur et quatre angles droits » sont deux propositions équivalentes.

Quantificateurs