Mathématiques 3e - 2021

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Partie 1 : Nombres et calculs
Ch. 1
Nombres entiers
Ch. 2
Calcul numérique
Ch. 3
Calcul littéral
Ch. 4
Équations
Partie 2 : Organisation et gestion de données, fonctions
Ch. 5
Notion de fonction
Ch. 6
Fonctions affines
Ch. 7
Situations de proportionnalité
Ch. 8
Statistiques
Ch. 9
Probabilités
Partie 3 : Espace et géométrie
Ch. 10
Théorème de Thalès et triangles semblables
Ch. 11
Trigonométrie dans le triangle rectangle
Ch. 12
Transformations dans le plan et leurs effets
Ch. 13
Géométrie dans l'espace
Partie 4 : Mesures et grandeurs
Ch. 14
Mesures et grandeurs
Annexes
Scratch
Dossier brevet
Révisions Genially
Calcul littéral
Plan de travail
Dossier
Rappels

Rappels

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Calcul littéral

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Une expression littérale est une expression dans laquelle des lettres représentent des nombres dont on ne connaît pas la valeur.
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Exemples

3 y+8 et 4 a(2-b) sont des expressions littérales.
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Il n'est pas nécessaire d'écrire le signe \times lorsqu'il est situé avant une lettre ou avant une parenthèse.
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Exemples

3 \times a \times b=3 a b
(2-x) \times 4=4 \times(2-x)=4(2-x)
(1-2 \times x) \times(x-5)=(1-2 x)(x-5)
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On peut calculer les différentes valeurs d'une expression littérale en remplaçant la lettre par un nombre choisi.
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Exemples

Si x=2 alors l'expression 3 x+8 vaut {3 \times 2+8=6+8=14}.
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On peut simplifier l'écriture d'une expression littérale en modifiant l'ordre des facteurs dans un produit.
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Exemples

3 x \times 2=2 \times 3 x=6 x
4 x \times 2 x=4 \times 2 \times x \times x=8 x^{2}
(2 x)^{2}=(2 x) \times(2 x)=2 \times 2 \times x \times x=4 x^{2}
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On peut réduire l'écriture d'une expression littérale en regroupant les termes de même nature.
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Exemple

\begin{aligned} 3 x-2+4 x^{2}-5 x+7 &=4 x^{2}+3 x-5 x-2+7 \\ &=4 x^{2}-2 x+5 \end{aligned}
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Développer c'est transformer un produit en somme.

Factoriser c'est transformer une somme en produit.
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Exemple

8 x-4 x^{2} est la forme développée de {4 x(2-x)} qui est une forme factorisée.
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Propriété de la simple distributivité : Quels que soient les nombres k, a et b, on a : k(a+b)=k a+k b et k(a-b)=k a-k b.
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Exemples

3 \times(-2+x)=3 \times(-2)+3 \times x=-6+3 x
4 x(2-x)=4 x \times 2-4 x \times x=8 x-4 x^{2}
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Pour développer et réduire une expression littérale, on commence par développer en utilisant la simple distributivité, puis on simplifie les produits pour enfin réduire la somme obtenue.
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Exemple

\begin{aligned} 3 x-2 x(5 x-1) & =3 x-2 x \times 5 x-2 x \times(-1) \\ & =3 x-10 x^{2}+2 x \\ & =5 x-10 x^{2} \end{aligned}
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Pour factoriser une expression littérale, on peut identifier un facteur commun puis utiliser la simple distributivité : {k a+k b=k(a+b)} ou {k a-k b=k(a-b).}
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Exemples

6+3 x={\color{firebrick}3} \times 2+{\color{firebrick}3} \times x={\color{firebrick}3}(2+x)
5 x-10 x^{2}={\color{teal}5 x} \times 1-2 x \times {\color{teal}5 x}={\color{teal}5 x}(1-2 x)
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Une équation est une égalité dans laquelle figurent une ou plusieurs inconnues.

Les solutions d'une équation sont toutes les valeurs de l'inconnue pour lesquelles l'égalité est vérifiée.
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Exemple

Une solution de l'équation 3 x-1=5 est {x=2} car 3 \times 2-1=5.
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Proportionnalité

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Deux grandeurs sont proportionnelles si l'on obtient les valeurs de l'une en multipliant les valeurs de l'autre par un même nombre, appelé le coefficient de proportionnalité.
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Exemple

Dans une boucherie, le prix à payer pour l'achat de merguez est proportionnel à la masse de merguez achetée.
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On représente les situations de proportionnalité dans un tableau de proportionnalité en y ajoutant le coefficient de proportionnalité.
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Exemple

En reprenant l'exemple ci-dessus :
Masse (en kg)11{,}5

\times 8

Prix (en €)8{\color{firebrick}12}
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Grâce au coefficient de proportionnalité, on peut déterminer des valeurs inconnues dans un tableau de proportionnalité.
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Exemple

Dans l'exemple ci-dessus, 3{,}5 kg de merguez coûtent 3{,}5 \times 8 = 28 €.
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On peut aussi déterminer des valeurs inconnues en multipliant les valeurs des colonnes par un même nombre ou en ajoutant les valeurs de colonnes.
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Exemples

4{,}5 kg coûtent 12 \times 3 = 36 €. 6 kg coûtent 12 + 36 = 48 €.

\stackrel{\times 3}{\curvearrowright}

Masse (en kg)1{,}54{,}5
Prix (en €)12\color{firebrick}36
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L'égalité des produits en croix peut être utilisée pour déterminer une valeur inconnue dans un tableau de proportionnalité.
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Exemple

On a 3 \times x=24 \times 7 donc x=\frac{24 \times 7}{3}=\frac{168}{3}=56

Placeholder pour Produit en croixProduit en croix
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Statistiques

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On peut regrouper les valeurs identiques d'une série en dressant un tableau des effectifs. Les effectifs indiquent le nombre de fois où apparaît la valeur dans la série.
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Exemple

On peut représenter la série -1 \:; 2 \:; - 1 \:; 2 \:; 0 \:; 2 par le tableau suivant.
Valeurs-102
Effectifs213
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La fréquence d'une valeur se calcule avec la formule :
\textbf{fréquence} = \dfrac{\textbf{effectif de la valeur}} {\textbf{effectif total}}.

La somme de toutes les fréquences est égale à 1.
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Exemple

Dans le tableau ci-dessus, l'effectif total vaut 2 + 1 + 3 = 6 donc la fréquence de la valeur 2 est \frac{3}{6}=0{,}5.
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On exprime souvent les fréquences en pourcentage, c'est-à-dire une fraction dont le dénominateur est 100.
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Exemple

La fréquence ci-dessus vaut 0{,}5=\frac{50}{100}. Il y a 50 % de 2 dans la série.
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Théorème de Pythagore

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Dans un triangle rectangle, on peut appliquer le théorème de Pythagore : le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.
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Exemple

Dans le triangle \text{ABC} rectangle en \text{A}, on applique le théorème de Pythagore : {\mathrm{BC}^{2}=\mathrm{AB}^{2}+\mathrm{AC}^{2}}.
Triangle rectangle
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Dans un triangle rectangle, on peut calculer une longueur inconnue si on connaît les deux autres longueurs. Il suffit de remplacer, dans les membres de l'égalité, les longueurs par celles qui sont connues. On cherche ci‑contre la longueur de l'hypoténuse (le côté opposé à l'angle droit).
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Exemple

\begin{array}{l} \mathrm{BC}^{2}=\mathrm{AB}^{2}+\mathrm{AC}^{2} \\ \mathrm{BC}^{2}=3^{2}+2^{2}=13 \end{array}
Donc \mathrm{BC}=\sqrt{13}.
Triangle rectangle
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On cherche ci-contre la longueur d'un des côtés de l'angle droit. Si on souhaite donner une valeur approchée, on peut utiliser la touche \sqrt{\boxed{}} de la calculatrice.
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Exemple

\begin{array}{l} \mathrm{BC}^{2}=\mathrm{AB}^{2}+\mathrm{AC}^{2} \\ 4^{2}=3^{2}+\mathrm{AC}^{2} \\ 16=9+\mathrm{AC}^{2} \end{array}
ainsi \mathrm{AC}^{2}=16-9=7
donc \mathrm{AC}=\sqrt{7} \approx 2{,}6.  
Triangle rectangle
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On peut déterminer si un triangle est rectangle ou non quand on connaît les longueurs de ses trois côtés. Pour cela, on vérifie si l'égalité de Pythagore est vraie.
  • D'une part, on calcule le carré de la longueur du plus grand côté.

  • D'autre part, on calcule la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.

  • Si les résultats sont égaux, alors l'égalité de Pythagore est vérifiée donc le triangle est rectangle (on peut préciser en quel sommet).
  • Si les résultats ne sont pas égaux, alors l'égalité de Pythagore n'est pas vérifiée donc le triangle n'est pas rectangle.
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Exemples

1. [\mathrm{GE}] est le plus grand côté.
D'une part,
\mathrm{G E}^{2}=5^{2}=25.
D'autre part,
\mathrm{GF}^{2}+\mathrm{FE}^{2}=3^{2}+4^{2}=25.
Comme \mathrm{GE}^{2}=\mathrm{GF}^{2}+\mathrm{FE}^{2},
alors l'égalité de Pythagore
est vérifiée.
Le triangle \text{GFE} est donc
rectangle en \text{F}.
Triangle rectangle
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2. [\mathrm{BC}]est le plus grand côté.
\begin{array}{l} \mathrm{BC}^{2}=4^{2}=16 \\ \mathrm{AB}^{2}+\mathrm{AC}^{2}=2^{2}+3^{2}=13 . \end{array}
Comme \mathrm{BC}^{2} \neq \mathrm{AB}^{2}+\mathrm{AC}^{2},
alors l'égalité de Pythagore n'est pas
vérifiée. Le triangle \text{ABC} n'est donc
pas rectangle.
Triangle rectangle
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Calculer une aire ou un volume

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L'aire d'un triangle dont on connaît la longueur c d'un côté et celle de sa hauteur relative h vaut : {\text{A}_{\text {triangle }}=\frac{c \times h}{2}.}
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Exemple

L'aire du triangle \text{ABC} suivant est :
\begin{array}{l} \text{A}=\frac{11 \times 4}{2} \\ \text{A}=22 \mathrm{~cm}^{2}. \end{array}
Triangle rectangle
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Le périmètre d'un cercle de rayon r vaut : \mathrm{P}_{\text {cercle }}=2 \pi r.
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L'aire d'un disque de rayon r vaut : \mathrm{A}_{\text {disque }}=\pi r^{2}.
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Le périmètre d'un cercle de rayon 5 cm vaut \mathrm{P}=2 \times \pi \times 5 \approx 31{,}4 cm.
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Exemple

L'aire d'un disque de diamètre 8 cm vaut {\mathrm{A}=\pi \times 4^{2} \approx 50{,}3} cm2.
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Le volume d'un cylindre de rayon r et de hauteur h vaut :
\begin{array}{l} \mathrm{V}_{\text {cylindre }}=\mathrm{A}_{\text {base }} \times h \\ \mathrm{~V}_{\text {cylindre }}=\pi r^{2} \times h. \end{array}
Cylindre
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Exemple

Le volume du cylindre suivant est :
\begin{array}{l} \mathrm{V}=\pi \times 5^{2} \times 6 \\ \mathrm{~V} \approx 471 \mathrm{~cm}^{3}. \end{array}
Cylindre
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Le volume d'un cône de rayon r et de hauteur h vaut :
\begin{array}{l} \mathrm{V}_{\text {cône }}=\frac{\mathrm{A}_{\text {base }} \times h}{3} \\ \mathrm{~V}_{\text {cône }}=\frac{\pi r^{2} \times h}{3}. \end{array}
Cône
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Exemple

Le volume d'un cône de rayon 4 cm et de hauteur 9 cm est :
\begin{array}{l} \mathrm{V}=\frac{\pi \times 4^{2} \times 9}{3} \\ \mathrm{~V} \approx 151 \mathrm{~cm}^{3} . \end{array}
cône
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Le volume d'une pyramide de hauteur h dont on connaît l'aire de la base vaut :
\mathrm{V}_{\text {pyramide }}=\frac{\mathrm{A}_{\text {base }} \times h}{3}.
Pyramide
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Exemple

Le volume de la pyramide à base rectangulaire suivant vaut :
\begin{array}{l} \mathrm{V}=\frac{\mathrm{A}_{\text {rectangle }} \times h}{3} \\ \mathrm{~V}=\frac{5 \times 4 \times 7}{3} \\ \mathrm{~V} \approx 46,7 \mathrm{~cm}^{3} . \end{array}
Pyramide
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