Fonctions polynômes de degré 3

Soit $f$ une fonction définie sur $\mathbb{R}$. On dit que $f$ est une fonction polynôme de degré 3 lorsqu'il existe quatre réels $a$, $b$, $c$ et $d$, avec $a\ne 0$, tels que pour tout réel $x$ :

Soient $a$ un réel non nul et $d$ un réel.

• Si $a>0$, la fonction $f:x\to a{x}^3+d$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.
• Si $a<0$, la fonction $f:x\mapsto a{x}^3+d$ est strictement décroissante sur $\mathbb{R}$.

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L'équation $x^3=27$ admet pour unique solution $x=\sqrt[3]{27}$, c'est‑à‑dire $x=3$.
L'équation $x^3=-8$ admet pour unique solution $x=\sqrt[3]{-8}$, c'est à dire $x=-2$.

Soient $a$ un réel non nul, $x_1$ , $x_2$ et $x_3$ trois réels. La fonction $f$ définie, pour tout réel $x$, par $f(x)=a\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)\left(x-x_3\right)$ s'annule uniquement en $x=x_1$, $x=x_2$ et $x=x_3$.
Ces réels sont appelés racines du polynôme $a\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)\left(x-x_3\right)$.

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