Chapitre 2
Cours 3
Fonctions polynômes de degré 3
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Définition
Soit f une fonction définie sur \mathbb{R}. On dit que f est une fonction polynôme de degré 3 lorsqu'il existe quatre réels a, b, c et d, avec a \neq 0, tels que pour tout réel x :
f(x)=a x^{3}+b x^{2}+c x+d.
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A
Fonctions du type \boldsymbol{x \mapsto a x^{3}+d}
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Propriétés
Soient a un réel non nul et d un réel.
À visualiser dans ce module GeoGebra :
- Si a > 0, la fonction f: x \rightarrow a x^{3}+d est strictement croissante sur \mathbb{R}.
- Si a \lt 0, la fonction f: x \mapsto a x^{3}+d est strictement décroissante sur \mathbb{R}.
À visualiser dans ce module GeoGebra :
GeoGebra
Remarque
Pour déterminer le point d'intersection de la courbe d'une fonction x \mapsto a x^{3}+d avec l'axe des abscisses, on se ramène à une équation de la forme x^3 = a.
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Propriété
Soit \alpha un réel. L'équation x^3 = \alpha admet une unique solution sur \mathbb{R}, notée \sqrt[3]{\alpha} ou \alpha^{\normalsize{\tfrac{1}{3}}}, appelée racine cubique de \alpha.
Remarque
Contrairement à la racine carrée, la racine cubique d'un nombre négatif existe.
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Exemples
L'équation x^3=27 admet pour unique solution x=\sqrt[3]{27}, c'est‑à‑dire x = 3.
L'équation x^3=-8 admet pour unique solution x=\sqrt[3]{-8}, c'est à dire x = -2.
L'équation x^3=-8 admet pour unique solution x=\sqrt[3]{-8}, c'est à dire x = -2.
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B
Fonctions du type \boldsymbol{x \mapsto a (x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)}
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Propriété
Soient a un réel non nul, x_1, x_2 et x_3 trois réels. La fonction f définie, pour tout réel x, par f(x)=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)\left(x-x_{3}\right) est une fonction polynôme de degré 3.
Remarque
Il s'agit de la forme factorisée de la fonction f. En développant,
on obtient une expression du type a x^{3}+b x^{2}+c x+d, ce qui correspond à une fonction polynôme de degré 3.
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Propriété
Soient a un réel non nul, x_1 , x_2 et x_3 trois réels. La fonction f définie, pour tout réel x, par f(x)=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)\left(x-x_{3}\right) s'annule uniquement en x=x_{1}, x=x_{2} et x=x_{3}.
Ces réels sont appelés racines du polynôme a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)\left(x-x_{3}\right).
À visualiser dans ce module GeoGebra :
Ces réels sont appelés racines du polynôme a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)\left(x-x_{3}\right).
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GeoGebra
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Exemple
On considère la fonction
f: x \rightarrow \frac{1}{100}(x+5)(x+2)(x-4), définie sur \mathbb{R}.
La fonction f s'annule en -5, en -2 et en 4.
f: x \rightarrow \frac{1}{100}(x+5)(x+2)(x-4), définie sur \mathbb{R}.
La fonction f s'annule en -5, en -2 et en 4.
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