Mathématiques 1re Techno

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Partie 1 : Analyse
Ch. 1
Suites
Ch. 3
Dérivation
Partie 2 : Statistiques et probabilités
Ch. 4
Fréquences conditionnelles et probabilités conditionnelles
Ch. 5
Variables aléatoires
Automatismes
Partie 3 : Géométrie
Ch. 6
Trigonométrie
Ch. 7
Produit scalaire
Ch. 8
Nombres complexes
Partie 4 : Analyse
Ch. 9
Compléments sur la dérivation
Ch. 10
Primitives
Révisions Genially
Chapitre 2
L'essentiel

Fonctions de la variable réelle

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Fiche méthode

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1
Analyser une représentation graphique

Maths 1re Techno - Fonctions de la variable réelle - L'essentiel - Analyser une représentation graphique
Le zoom est accessible dans la version Premium.

  • La courbe représentative d'une fonction f est formée par l'ensemble des points de coordonnées (x~; f(x)), où x \in \mathrm{D}.

  • Le point de coordonnées (x~;y) appartient à la courbe représentative de f si, et seulement si, y=f(x).

  • L'ensemble de définition de f se lit sur l'axe des abscisses.

  • Les images f(x) se lisent sur l'axe des ordonnées.

  • Les antécédents et les solutions d'(in)équations se lisent sur l'axe des abscisses.

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2
Étudier des fonctions du type \boldsymbol{x \mapsto a x^{2}+c}, \boldsymbol{a \neq 0}

  • La courbe représentative d'une telle fonction est une parabole dont le sommet a pour coordonnées (0~; c) et admettant une symétrie par rapport à l'axe des ordonnées.

  • Si a > 0, la fonction est strictement décroissante sur ]-\infty~; 0], puis strictement croissante sur [0 ~;+\infty[.
    Si a \lt 0, la fonction est strictement croissante sur ]-\infty~; 0], puis strictement décroissante sur [0 ~;+\infty[.

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3
Étudier des fonctions du type
\boldsymbol{x \mapsto a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)}
ou
\boldsymbol{x \mapsto a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)\left(x-x_{3}\right)},
\boldsymbol{a \neq 0}

  • Ces fonctions s'annulent uniquement en x_1 et en x_2 (et en x_3 pour la seconde). Ces réels sont les racines du polynôme.

  • On étudie le signe de cette fonction à l'aide d'un tableau de signe dans lequel apparaît le signe de a, le signe de x-x_1 et le signe de x-x_2 (et le signe de x-x_3 pour la seconde fonction). On conclut à l'aide de la règle des signes.

  • La courbe représentative de la fonction x \mapsto a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) est une parabole dont le sommet a pour abscisse \frac{x_{1}+x_{2}}{2}. Elle est symétrique par rapport à la droite verticale d'équation x=\frac{x_{1}+x_{2}}{2}.

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4
Étudier des fonctions du type \boldsymbol{x \mapsto a x^{3}+d}, \boldsymbol{a \neq 0}

  • Si a > 0, la fonction est strictement croissante sur \mathbb{R}. Si a \lt 0, la fonction est strictement décroissante sur \mathbb{R}.

  • Pour tout réel \alpha, l'équation x^3 = \alpha admet une unique solution notée \sqrt[3]{\alpha} ou \alpha^{\normalsize{\tfrac{1}{3}}}.

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Carte mentale

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