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p. 1-9

Partie 1 : Analyse

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Ch. 1
Suites

Ch. 2
Fonctions

Ch. 3
Dérivation

Partie 2 : Statistiques et probabilités

Ch. 4
Fréquences conditionnelles et probabilités conditionnelles

Ch. 5
Variables aléatoires

Automatismes

Partie 3 : Géométrie

Ch. 6
Trigonométrie

Ch. 7
Produit scalaire

Ch. 8
Nombres complexes

Partie 4 : Analyse

Ch. 9
Compléments sur la dérivation

Ch. 10
Primitives

Révisions Genially

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Chapitre 2

Cours 2

Fonctions polynômes du second degré

Ressource affichée de l'autre côté.
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A
Généralités

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Définition

Soit

f

une fonction définie sur

R

. On dit que

f

est une fonction polynôme du second degré lorsqu'il existe trois réels

a

b

c

, avec

a \neq = 0

, tels que pour tout réel

x

f (x) = a x^{2} + b x + c

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Exemple

Pour tout réel

x

, on pose

f (x) = 3 x^{2} + 5 x - 1

g (x) = - 2 x^{2} + 3 x

h (x) = 1 - 5 x^{2}

f

g

h

sont des fonctions polynômes du second degré.

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Définition

La courbe représentative d'une fonction polynôme du second degré dans un repère orthogonal est une parabole.

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Définition

Soient

a

b

c

trois réels tels que

a \neq = 0

. Pour tout réel

x

, on pose

f (x) = a x^{2} + b x + c

.
On dit que

x_{0}

est une racine du polynôme

a x^{2} + b x + c

lorsque

f (x_{0}) = 0

Remarque

Cette notion s'étend aux polynômes de degré différent de 2.

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Exemple

On considère la fonction

f

définie pour tout réel

x

par

f (x) = 2 x^{2} - 3 x + 1

f (1) = 2 \times 1^{2} - 3 \times 1 + 1 = 0

. Donc

1

est une racine du polynôme

2 x^{2} - 3 x + 1

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B
Fonction du type $x \mapsto a x^{2} + c$

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Propriété

La courbe représentative de la fonction

f : x \mapsto a x^{2} + c

est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
La fonction

f

est donc paire, sous réserve que son ensemble de définition soit bien symétrique par rapport à

0

Remarque

Pour les fonctions de ce type, on a

f (0) = c

. Le nombre

c

peut donc se lire à l'intersection de la courbe représentative de la fonction et de l'axe des ordonnées.

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Propriété

Soient

a

un réel non nul et

c

un réel.
Si

a > 0

, alors la fonction

f : x \mapsto a x^{2} + c

est strictement décroissante sur

] - \infty; 0]

et strictement croissante sur

[0; + \infty [

.
Si

a < 0

, alors la fonction

f : x \mapsto a x^{2} + c

est strictement croissante sur

] - \infty; 0]

et strictement décroissante sur

[0; + \infty [

Maths 1re Techno - Fonctions de la variable réelle - Cours 2 B - Fonctions du type x ↦ ax^2 + c - figure 1

Remarque

Lorsque

a > 0

, les branches de la parabole sont tournées vers le haut.
Lorsque

a < 0

, elles sont tournées vers le bas.

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Propriété

Soit

d

un réel strictement positif.
L'équation

x^{2} = d

possède exactement deux solutions qui sont

d

- d

Maths 1re Techno - Fonctions de la variable réelle - Cours 2 B - Fonctions du type x ↦ ax^2 + c - figure 2

Remarque

Attention à ne pas oublier une des deux solutions, notamment la solution négative !

Remarque

d < 0

, alors cette équation n'a pas de solution réelle.

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Exemple

x^{2} = 25 \Leftrightarrow x = 25

x = - 25 \Leftrightarrow x = 5

x = - 5

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Application et méthode - 3

Étudier une fonction de la forme $x \mapsto a x^{2} + c$

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Énoncé

On fixe deux réels

a

c

. La courbe représentative de la fonction

f : x \mapsto a x^{2} + c

est représentée ci‑dessous dans un repère orthonormé.

1. En s'aidant du graphique, trouver les valeurs des réels

a

c

.
2. Résoudre algébriquement l'équation

f (x) = 4

Maths 1re Techno - Fonctions de la variable réelle - Application et méthode - 3 - Étudier une fonction de la forme x ↦ ax^2 + c

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Solution

1. D'après l'expression algébrique de la fonction,

f (0) = a \times 0^{2} + c = c

.
Or, sur la courbe, on lit que

f (0) = - 4

.
Ainsi,

c = - 4

.
Par ailleurs, en utilisant la formule, on sait que

f (1) = a \times 1^{2} + (- 4) = a - 4

.
Or, d'après le graphique,

f (1) = - 2

.
Ainsi,

a - 4 = - 2

, d'où

a = 2

.
Pour tout réel

x

, on a donc

f (x) = 2 x^{2} - 4

.

2. Résolvons algébriquement l'équation.

f (x) = 4 \Leftrightarrow 2 x^{2} - 4 = 4 \Leftrightarrow 2 x^{2} = 8 \Leftrightarrow x^{2} = 4 \Leftrightarrow x = 2

x = - 2

.

Pour s'entraîner : exercices

29 p. 50

33 p. 51

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Méthode

1. Le réel

c

se lit à l'intersection de la courbe de la fonction et de l'axe des ordonnées. Pour déterminer

a

, on utilise la valeur que prend la fonction en un autre réel (en

1

par exemple).

2. On se ramène à une équation du type

x^{2} = d

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C
Fonction du type $x \mapsto a (x - x_{1}) (x - x_{2})$

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Propriété

Soient

a

un réel non nul,

x_{1}

x_{2}

deux réels.
La fonction

f : x \mapsto a (x - x_{1}) (x - x_{2})

est une fonction polynôme de degré 2.

Remarque

a (x - x_{1}) (x - x_{2})

est appelée forme factorisée de

f .

Si on la développe, on obtient une expression du type

a x^{2} + b x + c

, ce qui correspond bien à l'expression d'une fonction polynôme du second degré.

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Propriété

Soient

a

un réel non nul,

x_{1}

x_{2}

deux réels tels que

x_{1} ⩽ x_{2}

.
Le tableau de signe de la fonction

f : x \mapsto a (x - x_{1}) (x - x_{2})

est :

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Propriétés

Soit

a

un réel non nul,

x_{1}

x_{2}

deux réels.
La courbe représentative de

f : x \mapsto a (x - x_{1}) (x - x_{2})

, définie sur

R,

est symétrique par rapport à la droite verticale d'équation

x = \frac{x _{1} + x _{2}}{2}

.
De plus :

si $a > 0$ , $f$ admet un minimum en $\frac{x _{1} + x _{2}}{2}$ ;

si $a < 0$ , $f$ admet un maximum en $\frac{x _{1} + x _{2}}{2}$ .

Maths 1re Techno - Fonctions de la variable réelle - Cours 2 C - Fonctions du type x ↦ a(x−x_1)(x−x_2)

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Remarque

L'équation

a x^{2} + b x + c = 0

peut ne pas admettre de solutions ou n'en avoir qu'une seule.
Cependant, elle ne peut pas en avoir plus de 2 lorsque

a \neq = 0

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Propriété : Factorisation d'un polynôme du second degré

Soient trois réels

a

b

c

, avec

a \neq = 0

. S'il existe deux solutions distinctes

x_{1}

x_{2}

à l'équation

a x^{2} + b x + c = 0

, alors, pour tout réel

x

a x^{2} + b x + c = a (x - x_{1}) (x - x_{2})

Remarque

Dans le cas où

x_{1} = x_{2}

, la forme factorisée s'écrit alors

a (x - x_{1})^{2}

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Application et méthode - 4

Étudier une fonction polynôme du second degré

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Énoncé

Soit

f

la fonction définie sur

R

par

f (x) = 3 x^{2} - 9 x + 6

.

1. a. Calculer

f (1)

f (2)

.
b. En déduire une forme factorisée de

f

.
2. Déterminer le tableau de signe de la fonction

f

sur

R

.
3. Déterminer les coordonnées du sommet de la parabole associée à la fonction

f

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Solution

1. a. On a

f (1) = 3 \times 1^{2} - 9 \times 1 + 6 = 0

et, de même,

f (2) = 0.

b. On a

f (1) = 0

f (2) = 0

donc

1

2

sont les racines du polynôme

f

.
Ainsi, pour tout

x \in R

f (x) = a (x - x_{1}) (x - x_{2}) = 3 (x - 1) (x - 2)

.

2.

3. Le sommet de la parabole a pour abscisse

\frac{x _{1} + x _{2}}{2} = \frac{1 + 2}{2} = 1, 5

.
Son ordonnée est

f (1, 5) = - 0, 75

. Donc le sommet de la parabole a pour coordonnées

(1, 5; - 0, 75)

.

Pour s'entraîner : exercices

34 p. 51

64 p. 54

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Méthode

1. On détermine les racines du polynôme, puis on utilise la propriété de factorisation :

a x^{2} + b x + c = a (x - x_{1}) (x - x_{2})

.

2. On utilise la propriété sur le signe des fonctions polynômes de degré 2.

3. Lorsque

x_{1}

x_{2}

existent, le sommet de la parabole a pour abscisse

x = \frac{x _{1} + x _{2}}{2}

et pour ordonnée

f (\frac{x _{1} + x _{2}}{2})

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Ch. 1Suites

Ch. 2Fonctions

Ch. 3Dérivation

Ch. 4Fréquences conditionnelles et probabilités conditionnelles

Ch. 5Variables aléatoires

Automatismes

Ch. 6Trigonométrie

Ch. 7Produit scalaire

Ch. 8Nombres complexes

Ch. 9Compléments sur la dérivation

Ch. 10Primitives

Révisions Genially

Fonctions polynômes du second degré

A Généralités

B Fonction du type x↦ax2+c

GeoGebra

Étudier une fonction de la forme x↦ax2+c

Méthode

C Fonction du type x↦a(x−x1​)(x−x2​)

GeoGebra

Propriété : Factorisation d'un polynôme du second degré

Étudier une fonction polynôme du second degré

Méthode

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Ch. 1
Suites

Ch. 2
Fonctions

Ch. 3
Dérivation

Ch. 4
Fréquences conditionnelles et probabilités conditionnelles

Ch. 5
Variables aléatoires

Ch. 6
Trigonométrie

Ch. 7
Produit scalaire

Ch. 8
Nombres complexes

Ch. 9
Compléments sur la dérivation

Ch. 10
Primitives

A
Généralités

B
Fonction du type $x \mapsto a x^{2} + c$

Étudier une fonction de la forme $x \mapsto a x^{2} + c$

C
Fonction du type $x \mapsto a (x - x_{1}) (x - x_{2})$