D'après bac ST2S, Métropole, 2013
Pour traiter un patient, un médecin procède à l'injection intramusculaire d'une dose d'une substance médicamenteuse au temps
t = 0,
t étant exprimé en heure.
Le produit actif se diffuse dans le sang puis est progressivement éliminé. Le médicament est efficace lorsque la concentration du produit actif dans le sang est supérieure ou égale à 25 mg/L (25 milligrammes par litre).
La concentration maximale du produit actif dans le sang ne peut pas dépasser 40 mg/L pour éviter des effets secondaires.
Partie A : Étude graphique
La courbe donnée ci‑dessous représente la concentration en mg/L du produit actif dans le sang du malade en fonction du temps écoulé depuis l'injection du médicament.
À l'aide de cette courbe, répondre, avec la précision qu permet le graphique, aux questions suivantes.
1.
Déterminer la concentration du produit actif pour t = 5 \text{ h}.
2.
Le médecin a‑t‑il respecté la dose à ne pas dépasser ? Expliquer.
3.
Déterminer les temps, en heure et en minute, auxquels la concentration du produit actif est de 15 mg/L.
4.
Quelle est la durée pendant laquelle le médicament est resté efficace ?
5.
Au bout de quelle durée le médicament est‑il complètement éliminé ?
Partie B : Étude numérique
On admet que la concentration, exprimée en mg/L, du produit actif dans le sang du malade est donnée en fonction du temps
t, exprimé en heure, par la fonction
f définie sur l'intervalle
[0~; 6] par :
f(t)=t^{3}-12 t^{2}+36 t.
6.
Montrer que, pour tout t dans [0~; 6], f(t)=t(t-6)^{2}.
7.
En déduire les solutions de l'équation f(t) = 0 et interpréter ces solutions dans le cadre de l'exercice.