Chapitre 2
Entraînement 2
Fonctions polynômes de degré 2
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Exercice 60[Représenter.]
Associer à chaque fonction sa courbe représentative.
1. f_{1}: x \mapsto x^{2}+1
2. f_{2}: x \mapsto \frac{x^{2}}{9}
3. f_{3}: x \mapsto-\frac{x^{2}}{5}-2
4. f_{4}: x \mapsto \frac{x^{2}}{3}
1. f_{1}: x \mapsto x^{2}+1
2. f_{2}: x \mapsto \frac{x^{2}}{9}
3. f_{3}: x \mapsto-\frac{x^{2}}{5}-2
4. f_{4}: x \mapsto \frac{x^{2}}{3}
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Exercice 61[Chercher.]
Pour a et c deux réels fixés, on a représenté la courbe représentative de la fonction f: x \rightarrow a x^{2}+c.
1. Déterminer graphiquement les valeurs de f(0) et f(1).
2. Retrouver les valeurs de a et de c à l'aide de la question précédente.
1. Déterminer graphiquement les valeurs de f(0) et f(1).
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Exercice 62 [Représenter.]
Pour tout réel x, on pose f(x)=-4 x^{2}+36.
La courbe représentative de f est donnée ci‑dessous dans un repère orthogonal.
1. Résoudre graphiquement, puis par le calcul, l'équation f(x) = 0.
2. Résoudre graphiquement, puis par le calcul, l'équation f(x) = 20.
La courbe représentative de f est donnée ci‑dessous dans un repère orthogonal.
1. Résoudre graphiquement, puis par le calcul, l'équation f(x) = 0.
2. Résoudre graphiquement, puis par le calcul, l'équation f(x) = 20.
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Exercice 63 [Chercher.]
On fixe trois réels a, x_1 et x_2, avec x_1 \lt x_2.
La fonction f: x \mapsto a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) est représentée ci‑dessous dans un repère orthogonal.
1. Déterminer les valeurs de x_1 et x_2.
2. a. D'après le graphique, que vaut f(1) ?
b. En déduire la valeur de a.
3. La courbe représentative de f possède un axe de symétrie. Lequel ?
La fonction f: x \mapsto a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) est représentée ci‑dessous dans un repère orthogonal.
1. Déterminer les valeurs de x_1 et x_2.
2. a. D'après le graphique, que vaut f(1) ?
b. En déduire la valeur de a.
3. La courbe représentative de f possède un axe de symétrie. Lequel ?
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Exercice 64 [Calculer.]
Pour tout réel x, on pose f(x)=4 x^{2}+8 x-60.
1. Montrer que 3 est racine du polynôme 4 x^{2}+8 x-60.
2. Calculer f(-5).
3. En déduire une forme factorisée de f(x).
4. Construire le tableau de signe de f sur \mathbb{R}.
5. Résoudre l'inéquation f(x) \leqslant 0 sur \mathbb{R}.
1. Montrer que 3 est racine du polynôme 4 x^{2}+8 x-60.
2. Calculer f(-5).
3. En déduire une forme factorisée de f(x).
4. Construire le tableau de signe de f sur \mathbb{R}.
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5. Résoudre l'inéquation f(x) \leqslant 0 sur \mathbb{R}.
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Exercice 65 [Représenter.]
On considère la fonction f: x \mapsto-(x+1)(x-5), définie sur \mathbb{R}.
Tracer l'allure de la courbe représentative de f dans un repère orthogonal.
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Exercice 66 [Chercher.]
On considère la fonction f: x=2(x-4)(x+6), définie sur \mathbb{R}.
1. Déterminer les solutions de l'équation f(x) = 0.
2. Déterminer les coordonnées du sommet de la parabole représentative de f.
S'agit‑il d'un minimum ou d'un maximum ?
3. Construire le tableau de signe de la fonction f.
4. À l'aide des questions précédentes, tracer la courbe représentative de f dans un repère orthogonal.
1. Déterminer les solutions de l'équation f(x) = 0.
2. Déterminer les coordonnées du sommet de la parabole représentative de f.
S'agit‑il d'un minimum ou d'un maximum ?
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4. À l'aide des questions précédentes, tracer la courbe représentative de f dans un repère orthogonal.
GeoGebra
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Exercice 67 [Raisonner.]
Une lampe de poche, d'une intensité lumineuse \text{I}, en candela, est placée à une distance d, en mètre, d'un mur orthogonal à la direction de la lampe. L'éclairement \text{E}, en lux, reçu par le mur vaut alors \mathrm{E}=\frac{\mathrm{I}}{d^{2}}.
1. a. Donner l'éclairement d'une lampe de 72 candelas située à 2 mètres du mur, puis à 6 mètres du mur.
b. Par combien l'éclairement a‑t‑il été divisé ?
2. Par combien l'éclairement sera‑t‑il divisé si on place la lampe quatre fois plus loin qu'au départ ?
Exprimer d en fonction de \mathrm{E} et \mathrm{I}, les grandeurs en jeu étant toutes positives.
1. a. Donner l'éclairement d'une lampe de 72 candelas située à 2 mètres du mur, puis à 6 mètres du mur.
b. Par combien l'éclairement a‑t‑il été divisé ?
2. Par combien l'éclairement sera‑t‑il divisé si on place la lampe quatre fois plus loin qu'au départ ?
Exprimer d en fonction de \mathrm{E} et \mathrm{I}, les grandeurs en jeu étant toutes positives.
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Exercice 68 [Communiquer.]
L'indice de masse corporelle, ou IMC, est une grandeur permettant de déterminer la corpulence d'une personne adulte. Il se calcule à l'aide de la formule suivante : \mathrm{IMC}=\frac{\text {masse}}{\text {taille }^{2}}, où la masse est exprimée en kilogramme et la taille en mètre.
Un IMC de 25 à 30 correspond à une personne en surpoids. Un IMC supérieur à 30 est un indice d'obésité.
1. Calculer l'IMC d'une personne de 65 kilogrammes et mesurant 1,75 m.
2. Une personne mesure 1,80 m. À partir de quelle masse sera‑t‑elle considérée en surpoids ? En situation d'obésité ?
Un IMC de 25 à 30 correspond à une personne en surpoids. Un IMC supérieur à 30 est un indice d'obésité.
1. Calculer l'IMC d'une personne de 65 kilogrammes et mesurant 1,75 m.
2. Une personne mesure 1,80 m. À partir de quelle masse sera‑t‑elle considérée en surpoids ? En situation d'obésité ?
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Exercice 69 [Communiquer.]
L'énergie cinétique d'un corps est l'énergie que possède un corps en mouvement.
Lorsqu'un corps de masse m, exprimée en kilogramme, se déplace à une vitesse v, exprimée en mètre par seconde, il possède une énergie cinétique \mathrm{E}_{c}=\frac{1}{2} m v^{2}.
L'unité de l'énergie cinétique est le joule (J).
1. Une voiture de 1 200 kg se déplace à 90 km/h.
a. Montrer que la vitesse de la voiture est de 25 m/s.
b. En déduire l'énergie cinétique de la voiture.
2. Un camion de 15 tonnes a une énergie cinétique de 750 000 joules. Quelle est la vitesse du camion en mètre par seconde ? En kilomètre par heure ?
3. Parmi les deux allures suivantes, déterminer, en justifiant, laquelle correspond le mieux aux situations suivantes :
Lorsqu'un corps de masse m, exprimée en kilogramme, se déplace à une vitesse v, exprimée en mètre par seconde, il possède une énergie cinétique \mathrm{E}_{c}=\frac{1}{2} m v^{2}.
L'unité de l'énergie cinétique est le joule (J).
1. Une voiture de 1 200 kg se déplace à 90 km/h.
a. Montrer que la vitesse de la voiture est de 25 m/s.
b. En déduire l'énergie cinétique de la voiture.
2. Un camion de 15 tonnes a une énergie cinétique de 750 000 joules. Quelle est la vitesse du camion en mètre par seconde ? En kilomètre par heure ?
3. Parmi les deux allures suivantes, déterminer, en justifiant, laquelle correspond le mieux aux situations suivantes :
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Exercice 70 [Modéliser.]
D'après bac STMG, Métropole, 2014
Un parc d'attractions est ouvert au public de 8 h à 21 h.
On considère la fonction \text{C} définie, pour tout t \in[8~; 21], par \mathrm{C}(t)=-8 t^{2}+232 t-1\:232.
On admet que la fonction \text{C} représente le nombre de visiteurs attendus à l'heure t de la journée.
1. Combien de visiteurs sont attendus à 11 h ?
2. Montrer que pour tout t \in[8~; 21] :
3. En déduire l'heure à laquelle l'affluence sera maximale dans le parc.
4. Quel sera alors le nombre de visiteurs ?
Un parc d'attractions est ouvert au public de 8 h à 21 h.
On considère la fonction \text{C} définie, pour tout t \in[8~; 21], par \mathrm{C}(t)=-8 t^{2}+232 t-1\:232.
On admet que la fonction \text{C} représente le nombre de visiteurs attendus à l'heure t de la journée.
1. Combien de visiteurs sont attendus à 11 h ?
2. Montrer que pour tout t \in[8~; 21] :
-8 t^{2}+232 t-1\:232=-8(t-7)(t-22).
3. En déduire l'heure à laquelle l'affluence sera maximale dans le parc.
4. Quel sera alors le nombre de visiteurs ?
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Exercice 71Exercice inversé
Donner l'expression algébrique d'une fonction polynôme du second degré f telle que les solutions de l'équation f(x) = 4 sont -3 et 3 et vérifiant f(0)=2.
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Exercice 72
Exercice inversé
1.
Donner une expression algébrique d'une fonction polynôme du second degré \text{B} compatible avec le tableau de signe suivant.
2. On suppose de plus que \mathrm{B}(0)=10. Donner une expression algébrique de \text{B}.
2. On suppose de plus que \mathrm{B}(0)=10. Donner une expression algébrique de \text{B}.
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