Mathématiques 1re Techno

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Partie 1 : Analyse
Ch. 1
Suites
Ch. 3
Dérivation
Partie 2 : Statistiques et probabilités
Ch. 4
Fréquences conditionnelles et probabilités conditionnelles
Ch. 5
Variables aléatoires
Automatismes
Partie 3 : Géométrie
Ch. 6
Trigonométrie
Ch. 7
Produit scalaire
Ch. 8
Nombres complexes
Partie 4 : Analyse
Ch. 9
Compléments sur la dérivation
Ch. 10
Primitives
Révisions Genially
Chapitre 2
Entraînement 2

Fonctions polynômes de degré 2

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Différenciation

Parcours 1 : exercices  ;  ;  ;  ; et
Parcours 2 : exercices  ;  ;  et et
Parcours 3 : exercices  ;  ; et
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Exercice 60
[Représenter.]

Associer à chaque fonction sa courbe représentative.

1. f_{1}: x \mapsto x^{2}+1


2. f_{2}: x \mapsto \frac{x^{2}}{9}


3. f_{3}: x \mapsto-\frac{x^{2}}{5}-2


4. f_{4}: x \mapsto \frac{x^{2}}{3}


Maths 1re Techno - Fonctions de la variable réelle - Entraînement - exercice 60
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Exercice 61
[Chercher.]

Pour a et c deux réels fixés, on a représenté la courbe représentative de la fonction f: x \rightarrow a x^{2}+c.

Maths 1re Techno - Fonctions de la variable réelle - Entraînement - exercice 61
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1. Déterminer graphiquement les valeurs de f(0) et f(1).

2. Retrouver les valeurs de a et de c à l'aide de la question précédente.
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Exercice 62
[Représenter.]

Pour tout réel x, on pose f(x)=-4 x^{2}+36.
La courbe représentative de f est donnée ci‑dessous dans un repère orthogonal.

Maths 1re Techno - Fonctions de la variable réelle - Entraînement - exercice 62
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1. Résoudre graphiquement, puis par le calcul, l'équation f(x) = 0.

2. Résoudre graphiquement, puis par le calcul, l'équation f(x) = 20.
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Exercice 63
[Chercher.]

On fixe trois réels a, x_1 et x_2, avec x_1 \lt x_2.
La fonction f: x \mapsto a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) est représentée ci‑dessous dans un repère orthogonal.

Maths 1re Techno - Fonctions de la variable réelle - Entraînement - exercice 63
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1. Déterminer les valeurs de x_1 et x_2.

2. a. D'après le graphique, que vaut f(1) ?

b. En déduire la valeur de a.

3. La courbe représentative de f possède un axe de symétrie. Lequel ?
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Exercice 64
[Calculer.]

Pour tout réel x, on pose f(x)=4 x^{2}+8 x-60.

1. Montrer que 3 est racine du polynôme 4 x^{2}+8 x-60.

2. Calculer f(-5).

3. En déduire une forme factorisée de f(x).

4. Construire le tableau de signe de f sur \mathbb{R}.
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5. Résoudre l'inéquation f(x) \leqslant 0 sur \mathbb{R}.
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Exercice 65
[Représenter.]

On considère la fonction f: x \mapsto-(x+1)(x-5), définie sur \mathbb{R}.
Tracer l'allure de la courbe représentative de f dans un repère orthogonal.
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Exercice 66
[Chercher.]

On considère la fonction f: x=2(x-4)(x+6), définie sur \mathbb{R}.

1. Déterminer les solutions de l'équation f(x) = 0.

2. Déterminer les coordonnées du sommet de la parabole représentative de f.
S'agit‑il d'un minimum ou d'un maximum ?

3. Construire le tableau de signe de la fonction f.

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4. À l'aide des questions précédentes, tracer la courbe représentative de f dans un repère orthogonal.

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Exercice 67
[Raisonner.]

Une lampe de poche, d'une intensité lumineuse \text{I}, en candela, est placée à une distance d, en mètre, d'un mur orthogonal à la direction de la lampe. L'éclairement \text{E}, en lux, reçu par le mur vaut alors \mathrm{E}=\frac{\mathrm{I}}{d^{2}}.

1. a. Donner l'éclairement d'une lampe de 72 candelas située à 2 mètres du mur, puis à 6 mètres du mur.

b. Par combien l'éclairement a‑t‑il été divisé ?

2. Par combien l'éclairement sera‑t‑il divisé si on place la lampe quatre fois plus loin qu'au départ ?
Exprimer d en fonction de \mathrm{E} et \mathrm{I}, les grandeurs en jeu étant toutes positives.

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Exercice 68
[Communiquer.]

L'indice de masse corporelle, ou IMC, est une grandeur permettant de déterminer la corpulence d'une personne adulte. Il se calcule à l'aide de la formule suivante : \mathrm{IMC}=\frac{\text {masse}}{\text {taille }^{2}}, où la masse est exprimée en kilogramme et la taille en mètre.
Un IMC de 25 à 30 correspond à une personne en surpoids. Un IMC supérieur à 30 est un indice d'obésité.

1. Calculer l'IMC d'une personne de 65 kilogrammes et mesurant 1,75 m.

2. Une personne mesure 1,80 m. À partir de quelle masse sera‑t‑elle considérée en surpoids ? En situation d'obésité ?
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Exercice 69
[Communiquer.]

L'énergie cinétique d'un corps est l'énergie que possède un corps en mouvement.
Lorsqu'un corps de masse m, exprimée en kilogramme, se déplace à une vitesse v, exprimée en mètre par seconde, il possède une énergie cinétique \mathrm{E}_{c}=\frac{1}{2} m v^{2}.
L'unité de l'énergie cinétique est le joule (J).

1. Une voiture de 1 200 kg se déplace à 90 km/h.
a. Montrer que la vitesse de la voiture est de 25 m/s.

b. En déduire l'énergie cinétique de la voiture.

2. Un camion de 15 tonnes a une énergie cinétique de 750 000 joules. Quelle est la vitesse du camion en mètre par seconde ? En kilomètre par heure ?

3. Parmi les deux allures suivantes, déterminer, en justifiant, laquelle correspond le mieux aux situations suivantes :

Maths 1re Techno - Fonctions de la variable réelle - Entraînement - exercice 69 - figure 1
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Maths 1re Techno - Fonctions de la variable réelle - Entraînement - exercice 69 - figure 2
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Exercice 70
[Modéliser.]

D'après bac STMG, Métropole, 2014
Un parc d'attractions est ouvert au public de 8 h à 21 h.
On considère la fonction \text{C} définie, pour tout t \in[8~; 21], par \mathrm{C}(t)=-8 t^{2}+232 t-1\:232.
On admet que la fonction \text{C} représente le nombre de visiteurs attendus à l'heure t de la journée.

1. Combien de visiteurs sont attendus à 11 h ?

2. Montrer que pour tout t \in[8~; 21] :
-8 t^{2}+232 t-1\:232=-8(t-7)(t-22).


3. En déduire l'heure à laquelle l'affluence sera maximale dans le parc.

4. Quel sera alors le nombre de visiteurs ?

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Exercice 71
Exercice inversé

Donner l'expression algébrique d'une fonction polynôme du second degré f telle que les solutions de l'équation f(x) = 4 sont -3 et 3 et vérifiant f(0)=2.
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Exercice 72
Exercice inversé

1. Donner une expression algébrique d'une fonction polynôme du second degré \text{B} compatible avec le tableau de signe suivant.
Maths 1re Techno - Fonctions de la variable réelle - Entraînement - exercice 72 - tableau de signe
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2. On suppose de plus que \mathrm{B}(0)=10. Donner une expression algébrique de \text{B}.
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