Fonctions polynômes de degré 3

Décrire le sens de variations des fonctions suivantes, définies sur $\mathbb{R}$.

1. $f:x\mapsto -3x^3$

2. $g:x\mapsto 2x^3-1$

3. $h:x\mapsto 2-4x^3$

Pour tout réel $x$, on pose $f(x)=2x^3+3$.

1. Quelle est l'image de $-1$ par $f$ ?

2. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $f(x)=57$.

On fixe quatre réels $a$, $x_1$, $x_2$ et $x_3$. La courbe ci‑dessous est la représentation graphique de la fonction $f:x\mapsto a\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)\left(x-x_3\right)$, définie sur $\mathbb{R}$.


1. Déterminer graphiquement les valeurs de $x_1$, $x_2$ et $x_3$.

2. Déterminer graphiquement $f(0)$ et en déduire la valeur de $a$.

3. Construire le tableau de signe de la fonction $f$.

Une entreprise fabrique des bouteilles en verre. La production quotidienne, exprimée en tonne, varie entre $0$ et $10$. Pour l'entreprise, le coût correspondant à la fabrication de $x$ tonnes de bouteilles, exprimé en millier d'euros, est modélisé par la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0;10]$ par $f(x)=0,5x^3-3,5x^2+20x+50$.
L'entreprise vend ses bouteilles au prix de 40 milliers d'euros la tonne.

1. On note $\text{B}$ la fonction bénéfice.
Justifier que pour tout $x\in [0;10]:$

$\mathrm{B}(x)=-0,5x^3+3,5x^2+20x-50$.

2. On admet que pour tout réel $x$ : Construire le tableau de signe de $\text{B.}$

3. En déduire pour quelles productions l'entreprise réalise un bénéfice.

Donner une expression algébrique d'une fonction polynôme du troisième degré $f$ telle que l'unique solution de l'équation $f(x)=5$ est $-3$.

Donner une expression développée d'une fonction polynôme de degré 3 admettant pour racines $-2,$ $0$ et $4$.