Mathématiques 1re Techno

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Partie 1 : Analyse
Ch. 1
Suites
Ch. 3
Dérivation
Partie 2 : Statistiques et probabilités
Ch. 4
Fréquences conditionnelles et probabilités conditionnelles
Ch. 5
Variables aléatoires
Automatismes
Partie 3 : Géométrie
Ch. 6
Trigonométrie
Ch. 7
Produit scalaire
Ch. 8
Nombres complexes
Partie 4 : Analyse
Ch. 9
Compléments sur la dérivation
Ch. 10
Primitives
Révisions Genially
Chapitre 2
Entraînement 3

Fonctions polynômes de degré 3

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Différenciation

Parcours 1 : exercices  ;  ;  ;  ; et
Parcours 2 : exercices  ;  ;  ; et
Parcours 3 : exercices  ;  ; et
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Exercice 73
[Raisonner.]

Décrire le sens de variations des fonctions suivantes, définies sur \mathbb{R}.

1. f: x \mapsto-3 x^{3}

2. g: x \mapsto 2 x^{3}-1

3. h: x \mapsto 2-4 x^{3}
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Exercice 74
[Représenter.]

Pour un certain réel a, on donne la courbe représentative de la fonction f: x \mapsto a x^{3} ci‑dessous.

Maths 1re Techno - Fonctions de la variable réelle - Entraînement - exercice 74
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1. Sans calcul, déterminer le signe de a.

2. Par lecture graphique, que vaut f(2) ?

3. En déduire la valeur du réel a.
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Exercice 75
[Calculer.]

Pour tout réel x, on pose f(x)=2 x^{3}+3.

1. Quelle est l'image de -1 par f ?

2. Résoudre dans \mathbb{R} l'équation f(x) = 57.
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Exercice 76
[Chercher.]

On fixe deux réels a et d. La courbe ci‑dessous est une portion de la courbe représentative de la fonction g: x \mapsto a x^{3}+d.
À l'aide de ce graphique, retrouver les valeurs de a et de d.

Maths 1re Techno - Fonctions de la variable réelle - Entraînement - exercice 76
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Exercice 77
[Chercher.]

On fixe quatre réels a, x_1, x_2 et x_3. La courbe ci‑dessous est la représentation graphique de la fonction f: x \mapsto a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)\left(x-x_{3}\right), définie sur \mathbb{R}.

Maths 1re Techno - Fonctions de la variable réelle - Entraînement - exercice 77
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1. Déterminer graphiquement les valeurs de x_1, x_2 et x_3.

2. Déterminer graphiquement f(0) et en déduire la valeur de a.

3. Construire le tableau de signe de la fonction f.
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Exercice 78
[Modéliser.]

Une épidémie a frappé les habitants d'une ville.
Le nombre de personnes malades en fonction du temps t, exprimé en jour, est modélisé par la fonction f définie, pour tout t \in[0~; 30], par f(t)=-t^{3}+30 t^{2}.
La courbe représentative C_f de la fonction f est donnée ci‑dessous dans un repère orthogonal.

Maths 1re Techno - Fonctions de la variable réelle - Entraînement - exercice 78
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1. Déterminer le nombre de malades le 10e jour :
a. par lecture graphique ;

b. par le calcul.

2. Quel jour a eu lieu le pic du nombre de malades lors de cette épidémie ? Combien de malades y a‑t‑il eu ce jour‑là ?

3. a. Factoriser f(t).

b. À partir de combien de jours n'y a‑t‑il plus de malades parmi les habitants de la ville ?

c. Comment retrouver le résultat précédent par lecture graphique ?

4. On admet que pour tout t \in[0~; 30] :
f(t)-2\:000=-(t-10)(t-10-10 \sqrt{3})(t-10+10 \sqrt{3}).

a. Ordonner les nombres suivants : 10, 10 + 10\sqrt3, 10 - 10\sqrt3, 0.

b. En déduire le tableau de signe de f(t)-2\:000 sur [0~; 30].
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c. Durant quelle période la ville compte‑t‑elle plus de 2 000 malades ?
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Exercice 79
[Représenter.]

On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par :
f(x)=5 x^{3}-\frac{41}{3} x^{2}+8 x-\frac{4}{3}.
La courbe représentative de cette fonction est donnée ci‑dessous dans un repère orthogonal.

Maths 1re Techno - Fonctions de la variable réelle - Entraînement - exercice 79
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1. Combien l'équation f(x) = 0 semble‑t‑elle avoir de solutions ?

2. Calculer f\left(\frac{1}{3}\right), f\left(\frac{2}{5}\right) et f(2).

3. On admet que pour tout réel x :
f(x)=5\left(x-\frac{1}{3}\right)\left(x-\frac{2}{5}\right)(x-2).

Construire le tableau de signe de la fonction f.
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Exercice 80
[Modéliser.]

Placeholder pour Maths 1re Techno - Fonctions de la variable réelle - Entraînement - exercice 80 - photographie de bouteilles en verre videsMaths 1re Techno - Fonctions de la variable réelle - Entraînement - exercice 80 - photographie de bouteilles en verre vides
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Une entreprise fabrique des bouteilles en verre. La production quotidienne, exprimée en tonne, varie entre 0 et 10. Pour l'entreprise, le coût correspondant à la fabrication de x tonnes de bouteilles, exprimé en millier d'euros, est modélisé par la fonction f définie sur l'intervalle [0~; 10] par f(x)=0,5 x^{3}-3,5 x^{2}+20 x+50.
L'entreprise vend ses bouteilles au prix de 40 milliers d'euros la tonne.

1. On note \text{B} la fonction bénéfice.
Justifier que pour tout x \in[0~; 10]~:
\mathrm{B}(x)=-0,5 x^{3}+3,5 x^{2}+20 x-50.


2. On admet que pour tout réel x :
\mathrm{B}(x)=-0,5(x+5)(x-10)(x-2).
Construire le tableau de signe de \text{B.}
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3. En déduire pour quelles productions l'entreprise réalise un bénéfice.
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Exercice 81
Exercice inversé
Donner une expression algébrique d'une fonction polynôme du troisième degré f telle que l'unique solution de l'équation f(x) = 5 est -3.
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Exercice 82
Exercice inversé
Donner une expression développée d'une fonction polynôme de degré 3 admettant pour racines -2, 0 et 4.
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