Python

Dans cet exercice, on considère deux réels a et c, avec a non nul, et le polynôme \text{P} défini par \mathrm{P}(x)=a x^{2}+c.
On modélise ce polynôme par une liste contenant les coefficients de \mathrm{P} : \color{purple}\bf{[a,c]}.
On cherche à écrire un programme permettant de déterminer les variations du polynôme \text{P}.

1. Compléter la fonction Python ci‑dessous afin qu'elle réponde au problème posé.

def variations(P):
  a = P[0]
  if ... :
    return "P est décroissante puis croissante"
  else:
    return "P est croissante puis décroissante"

2. Tester le programme pour les listes \color{purple}\bf{[1,3]} et \color{purple}\bf{[-4,1]}.

3. Modifier le programme afin qu'il renvoie la chaîne de caractère « Ce n'est pas un polynôme de degré 2 » lorsque a = 0.

Dans cet exercice, on choisit de modéliser un polynôme \text{P} écrit sous la forme \mathrm{P}(x)=a x^{2}+b x+c, avec a \neq 0, par une liste \color{purple}\bf{[a,b,c]}.

1. Compléter la fonction Python ci‑dessous, qui prend en argument la liste correspondant aux coefficients de \text{P} et une valeur x, afin qu'elle renvoie la valeur de \mathrm{P}(x).

def evaluer(P, x):
  a = P[0]
  b = ...
  c = ...
  return a*x**2 + b*x + c

2. En utilisant la fonction \color{purple}\bf{evaluer} complétée lors de la question 1., compléter la fonction \color{purple}\bf{racine} permettant de déterminer si x est une racine du polynôme \text{P} donné en argument.

def racine(P, x)
  if ...:
    return x, " est une racine de P"
  else :
    return x, " n'est pas une racine de P"

En s'aidant éventuellement de l'exercice précédent, écrire une fonction \color{purple}\bf{testliste} qui prend en argument un polynôme \text{P} modélisé sous la forme de liste et une liste de réels et qui teste, pour chacun des nombres de la liste, s'il est ou non racine du polynôme \text{P}.

On cherche à écrire dans cet exercice un programme permettant de déterminer les coordonnées du sommet de la parabole associée au polynôme \mathrm{P}(x)=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right).

1. Rappeler quelle est l'abscisse du sommet.

2. Comment déterminer l'ordonnée du sommet ?

3. Compléter alors le programme ci‑dessous afin de répondre au problème posé.

def sommet(a, x1, x2):
  abscisse = ...
  ordonnée = ...
  return [abscisse, ordonnée]

Écrire une fonction qui prend en argument un nombre réel c > 0 et qui renvoie la solution approchée de l'équation x^{3}=c à 10^{-3} près.
On pourra s'inspirer de l'exercice précédent.

Joy affirme à Maxime que, pour tout x \in[0 ; 1], x^{2}-x+0,2499>0. Maxime pense que cela est faux mais ne parvient pas à trouver de contre‑exemple. Il décide donc de tester 10 valeurs de l'intervalle [0 ; 1] au hasard à l'aide du programme suivant.

from random import random

for i in range(10):
  a = random()
  if a**2 - a + 0.2499 <= 0:
    print("Valeur négative trouvée pour x =", a)

1. Tester le programme plusieurs fois. Pourquoi l'affichage n'est‑il pas le même ?

2. Si le programme de Maxime n'affiche aucune valeur, cela signifie‑t‑il que Joy a raison ?

3. Modifier le programme de Maxime pour qu'il teste 10 000 valeurs aléatoires au lieu de seulement 10.

4. Cette modification garantit‑elle que le programme permettra de trouver un contre‑exemple ?