Mathématiques 1re Techno

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Partie 1 : Analyse
Ch. 1
Suites
Ch. 3
Dérivation
Partie 2 : Statistiques et probabilités
Ch. 4
Fréquences conditionnelles et probabilités conditionnelles
Ch. 5
Variables aléatoires
Automatismes
Partie 3 : Géométrie
Ch. 6
Trigonométrie
Ch. 7
Produit scalaire
Ch. 8
Nombres complexes
Partie 4 : Analyse
Ch. 9
Compléments sur la dérivation
Ch. 10
Primitives
Révisions Genially
Chapitre 2
Exercices

Python

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Exercice 16
Dans cet exercice, on considère deux réels a et c, avec a non nul, et le polynôme \text{P} défini par \mathrm{P}(x)=a x^{2}+c.
On modélise ce polynôme par une liste contenant les coefficients de \mathrm{P} : \color{purple}\bf{[a,c]}.
On cherche à écrire un programme permettant de déterminer les variations du polynôme \text{P}.

1. Compléter la fonction Python ci‑dessous afin qu'elle réponde au problème posé.

def variations(P):
  a = P[0]
  if ... :
    return "P est décroissante puis croissante"
  else:
    return "P est croissante puis décroissante"

2. Tester le programme pour les listes \color{purple}\bf{[1,3]} et \color{purple}\bf{[-4,1]}.

3. Modifier le programme afin qu'il renvoie la chaîne de caractère « Ce n'est pas un polynôme de degré 2 » lorsque a = 0.



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Exercice 17
Dans cet exercice, on choisit de modéliser un polynôme \text{P} écrit sous la forme \mathrm{P}(x)=a x^{2}+b x+c, avec a \neq 0, par une liste \color{purple}\bf{[a,b,c]}.

1. Compléter la fonction Python ci‑dessous, qui prend en argument la liste correspondant aux coefficients de \text{P} et une valeur x, afin qu'elle renvoie la valeur de \mathrm{P}(x).

def evaluer(P, x):
  a = P[0]
  b = ...
  c = ...
  return a*x**2 + b*x + c

2. En utilisant la fonction \color{purple}\bf{evaluer} complétée lors de la question 1., compléter la fonction \color{purple}\bf{racine} permettant de déterminer si x est une racine du polynôme \text{P} donné en argument.

def racine(P, x)
  if ...:
    return x, " est une racine de P"
  else :
    return x, " n'est pas une racine de P"
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Exercice 18
En s'aidant éventuellement de l'exercice précédent, écrire une fonction \color{purple}\bf{testliste} qui prend en argument un polynôme \text{P} modélisé sous la forme de liste et une liste de réels et qui teste, pour chacun des nombres de la liste, s'il est ou non racine du polynôme \text{P}.


  
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Exercice 19
On cherche à écrire dans cet exercice un programme permettant de déterminer les coordonnées du sommet de la parabole associée au polynôme \mathrm{P}(x)=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right).

1. Rappeler quelle est l'abscisse du sommet.

2. Comment déterminer l'ordonnée du sommet ?

3. Compléter alors le programme ci‑dessous afin de répondre au problème posé.

def sommet(a, x1, x2):
  abscisse = ...
  ordonnée = ...
  return [abscisse, ordonnée]
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Exercice 20
On cherche dans cet exercice à résoudre de manière approchée sur [0,+\infty[ l'équation x^{2}-73=0.
On utilise pour ce faire le programme suivant.

pas = 0.01
a = 0
b = pas
while (a**2-73)*(b**2-73) > 0:
  a = a + pas
  b = b + pas
print("la solution est environ égale à ", a)

1. a. Quel est le plus grand nombre entier positif x_0 tel que x_{0}^{2}-73 \lt 0 ?

b. Quel est le plus petit nombre entier positif x_1 tel que x_{1}^{2}-73 > 0 ?

c. En déduire un encadrement à l'unité de la solution de l'équation.

2. Tester et expliquer le programme.

3. Modifier le programme afin qu'il donne une approximation à 0,0001 près de la solution de l'équation.

4. Modifier le programme pour qu'il donne une approximation de la solution de l'équation x^{2}-7=0 sur [0,+\infty[.
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Exercice 21
Écrire une fonction qui prend en argument un nombre réel c > 0 et qui renvoie la solution approchée de l'équation x^{3}=c à 10^{-3} près.
On pourra s'inspirer de l'exercice précédent.


  
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Exercice 22
Joy affirme à Maxime que, pour tout x \in[0 ; 1], x^{2}-x+0,2499>0. Maxime pense que cela est faux mais ne parvient pas à trouver de contre‑exemple. Il décide donc de tester 10 valeurs de l'intervalle [0 ; 1] au hasard à l'aide du programme suivant.

from random import random

for i in range(10):
  a = random()
  if a**2 - a + 0.2499 <= 0:
    print("Valeur négative trouvée pour x =", a)

1. Tester le programme plusieurs fois. Pourquoi l'affichage n'est‑il pas le même ?

2. Si le programme de Maxime n'affiche aucune valeur, cela signifie‑t‑il que Joy a raison ?

3. Modifier le programme de Maxime pour qu'il teste 10 000 valeurs aléatoires au lieu de seulement 10.

4. Cette modification garantit‑elle que le programme permettra de trouver un contre‑exemple ?
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