Python

Dans cet exercice, on considère deux réels $a$ et $c$, avec $a$ non nul, et le polynôme $\text{P}$ défini par $\mathrm{P}(x)=a{x}^2+c$.
On modélise ce polynôme par une liste contenant les coefficients de $\mathrm{P}:[\mathbf{a},\mathbf{c}]$.
On cherche à écrire un programme permettant de déterminer les variations du polynôme $\text{P}$.

1. Compléter la fonction Python ci‑dessous afin qu'elle réponde au problème posé.

def variations(P):
  a = P[0]
  if ... :
    return "P est décroissante puis croissante"
  else:
    return "P est croissante puis décroissante"

2. Tester le programme pour les listes $[1,3]$ et $[-4,1]$.

3. Modifier le programme afin qu'il renvoie la chaîne de caractère « Ce n'est pas un polynôme de degré 2 » lorsque $a=0$.

Dans cet exercice, on choisit de modéliser un polynôme $\text{P}$ écrit sous la forme $\mathrm{P}(x)=a{x}^2+bx+c$, avec $a\ne 0$, par une liste $[\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}]$.

1. Compléter la fonction Python ci‑dessous, qui prend en argument la liste correspondant aux coefficients de $\text{P}$ et une valeur $x$, afin qu'elle renvoie la valeur de $\mathrm{P}(x)$.

def evaluer(P, x):
  a = P[0]
  b = ...
  c = ...
  return a*x**2 + b*x + c

2. En utilisant la fonction $\mathbf{evaluer}$ complétée lors de la question 1., compléter la fonction $\mathbf{racine}$ permettant de déterminer si $x$ est une racine du polynôme $\text{P}$ donné en argument.

def racine(P, x)
  if ...:
    return x, " est une racine de P"
  else :
    return x, " n'est pas une racine de P"

En s'aidant éventuellement de l'exercice précédent, écrire une fonction $\mathbf{testliste}$ qui prend en argument un polynôme $\text{P}$ modélisé sous la forme de liste et une liste de réels et qui teste, pour chacun des nombres de la liste, s'il est ou non racine du polynôme $\text{P}$.

On cherche à écrire dans cet exercice un programme permettant de déterminer les coordonnées du sommet de la parabole associée au polynôme $\mathrm{P}(x)=a\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)$.

1. Rappeler quelle est l'abscisse du sommet.

2. Comment déterminer l'ordonnée du sommet ?

3. Compléter alors le programme ci‑dessous afin de répondre au problème posé.

def sommet(a, x1, x2):
  abscisse = ...
  ordonnée = ...
  return [abscisse, ordonnée]

Écrire une fonction qui prend en argument un nombre réel $c>0$ et qui renvoie la solution approchée de l'équation $x^3=c$ à $10^{-3}$ près.
On pourra s'inspirer de l'exercice précédent.

Joy affirme à Maxime que, pour tout $x\in [0;1]$, $x^2-x+0,2499>0$. Maxime pense que cela est faux mais ne parvient pas à trouver de contre‑exemple. Il décide donc de tester 10 valeurs de l'intervalle $[0;1]$ au hasard à l'aide du programme suivant.

from random import random

for i in range(10):
  a = random()
  if a**2 - a + 0.2499 <= 0:
    print("Valeur négative trouvée pour x =", a)

1. Tester le programme plusieurs fois. Pourquoi l'affichage n'est‑il pas le même ?

2. Si le programme de Maxime n'affiche aucune valeur, cela signifie‑t‑il que Joy a raison ?

3. Modifier le programme de Maxime pour qu'il teste 10 000 valeurs aléatoires au lieu de seulement 10.

4. Cette modification garantit‑elle que le programme permettra de trouver un contre‑exemple ?