Mathématiques 1re Techno

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Partie 1 : Analyse
Ch. 1
Suites
Ch. 3
Dérivation
Partie 2 : Statistiques et probabilités
Ch. 4
Fréquences conditionnelles et probabilités conditionnelles
Ch. 5
Variables aléatoires
Automatismes
Partie 3 : Géométrie
Ch. 6
Trigonométrie
Ch. 7
Produit scalaire
Ch. 8
Nombres complexes
Partie 4 : Analyse
Ch. 9
Compléments sur la dérivation
Ch. 10
Primitives
Révisions Genially
Chapitre 2
Exercices

Applications directes

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Exploiter les différents modes de représentation d'une fonction

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Exercice 23
On considère une fonction f définie sur [-6~; 7] dont la représentation graphique C_f est donnée ci‑dessous.

Maths 1re Techno - Fonctions de la variable réelle - Applications directes - exercice 23
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1. Déterminer graphiquement f(2).

2. Résoudre graphiquement l'équation f(x) = -1 sur [-6~; 7].

3. Combien de solutions l'équation f(x) = 0 admet‑elle sur l'intervalle [-6~; 7]~?
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Exercice 24
On considère la fonction f: x \mapsto 2 x^{2}+3 x-1 définie sur \mathbb{R}.
Sans utiliser la calculatrice, calculer f(1), f(3) et f(-2).
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Exercice 25
On considère la fonction g: x \mapsto 3 x+2+\frac{1}{x} définie sur \mathbb{R} \backslash\{0\}.
Sans utiliser la calculatrice, calculer g(1), g(2) et g\left(\frac{1}{2}\right).
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Exercice 26
On considère la fonction h définie sur \mathbb{R} par :
h(x)=3(2 x-1)(x-1).

Sans utiliser la calculatrice, calculer h(1), h(4) et h(-2).
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Exercice 27
On considère une fonction f définie sur [-4~; 5] dont la représentation graphique C_f est donnée ci‑dessous.

Maths 1re Techno - Fonctions de la variable réelle - Applications directes - exercice 27
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1. Déterminer f(-2), f(3) et f(5).

2. Combien de solutions l'équation f(x)=-2 admet‑elle sur [-4~; 5]~?

3. Combien y a‑t‑il de solutions à l'équation f(x)=-1 sur [-4~; 5]~?

4. Résoudre graphiquement l'inéquation f(x) > -2 sur [-4~; 5].

5. Donner un nombre réel a admettant un unique antécédent par f.

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Exercice 28
On considère la fonction g dont la représentation graphique C_g est donnée ci‑dessous.

Maths 1re Techno - Fonctions de la variable réelle - Applications directes - exercice 28
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1. Résoudre l'équation g(x) = 1 sur [-4~; 5].

2. Déterminer graphiquement g(5).

3. Résoudre l'inéquation g(x) \lt -2 sur [-4~; 5].

4. Donner un réel qui possède exactement quatre antécédents par la fonction g.
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Connaître les éléments caractéristiques des fonctions polynômes de degré 2

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Exercice 29
Dresser le tableau de variations des fonctions suivantes définies sur \mathbb{R}.

1. f: x \mapsto-2 x^{2}+1
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2. g: x \mapsto 3 x^{2}+2
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3. h: x \mapsto 5-4 x^{2}
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Exercice 30
Dresser le tableau de variations des fonctions suivantes définies sur \mathbb{R}.

1. f: x \mapsto(2 x-1)(2 x+1)
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2. g: x \mapsto-3(x+1)(x-1)
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Exercice 31
On considère la fonction f: x=-\frac{1}{3}(x+4)(x-2) définie sur \mathbb{R}.

1. Résoudre dans \mathbb{R} l'équation f(x) = 0.

2. Justifier que la droite d'équation x = -1 est un axe de symétrie de la courbe représentative de f.

3. Que valent f(0) et f(-1) ?

4. En utilisant les questions précédentes, tracer l'allure de la courbe représentative de f dans un repère orthogonal.

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Exercice 32
La courbe ci‑dessous est la représentation graphique d'une fonction du type x \mapsto a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right).

Maths 1re Techno - Fonctions de la variable réelle - Applications directes - exercice 32
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En utilisant le graphique, déterminer les valeurs de x_1, x_2 et a.
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Exercice 33
Associer à chaque fonction sa courbe représentative.

1.
Maths 1re Techno - Fonctions de la variable réelle - Applications directes - exercice 33 - courbe C1
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2.
Maths 1re Techno - Fonctions de la variable réelle - Applications directes - exercice 33 - courbe C2
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3.
Maths 1re Techno - Fonctions de la variable réelle - Applications directes - exercice 33 - courbe C3
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4.
Maths 1re Techno - Fonctions de la variable réelle - Applications directes - exercice 33 - courbe C4
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Exercice 34
On considère la fonction f: x \mapsto 2(x+1)(x-3) définie sur \mathbb{R}.

1. Déterminer les racines de ce polynôme.

2. Donner l'équation de l'axe de symétrie de la courbe représentative de f.

3. La fonction f admet‑elle un minimum ou un maximum sur \mathbb{R} ? En quelle valeur est‑il atteint ?

4. Que vaut cet extremum ?
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Factoriser une expression du second degré

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Exercice 35
Pour tout réel x, on pose f(x)=2 x^{2}+6 x-20.

1. Calculer f(-5), f(-1), f(1) et f(2).

2. En déduire, pour tout réel x, une factorisation de f(x).
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Exercice 36
Pour tout réel x, on pose f(x)=3 x^{2}-2 x-1.

1. Vérifier que 1 est racine du polynôme 3 x^{2}-2 x-1.

2. Montrer que f\left(-\frac{1}{3}\right)=0.

3. En déduire, pour tout réel x, une factorisation de f(x).
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Exercice 37
Pour tout réel t, on pose f(t)=2 t^{2}-16 t+24.

1. Vérifier que 2 est une racine de ce polynôme.

2. On admet que la droite d'équation t = 4 est l'axe de symétrie de la courbe représentative de f. En déduire la valeur de la deuxième racine du polynôme 2 t^{2}-16 t+24.
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Exercice 38
Montrer que pour tout réel t :
2 t^{2}-4 t-6=2(t+1)(t-3).

Aide
On pourra développer et réduire la seconde expression.
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Exercice 39
Pour tout réel t, on pose f(t)=3 t^{2}-9 t+6.
En calculant f(t) pour des valeurs simples de t, écrire f(t) sous forme factorisée.
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Résoudre des équations et inéquations de degré 2 ou 3

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Exercice 40
Résoudre sur \mathbb{R} les équations suivantes.

1. x^{2}=4

2. x^{3}=64

3. x^{2}=121

4. x^{3}=0{,}001

5. x^{2}=0{,}25

6. x^{2}=-1
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Exercice 41
Résoudre sur \mathbb{R} les équations suivantes.

1. x^{3}-27=0

2. x^{2}-16=0

3. 3 x^{2}-12=0

4. 7 x^{3}+56=0

5. 2 x^{2}+8=53-3 x^{2}
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Exercice 42
Pour tout réel x, on pose f(x)=-3(x-1)(x+2).
Résoudre sur \mathbb{R} l'équation f(x) = 0.
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Exercice 43
Pour tout réel x, on pose g(x)=2(x+1)(x+4).
Construire le tableau de signe de g sur \mathbb{R}.

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Exercice 44
Pour tout réel x, on pose h(x)=-3(x-1)(x-3).
Résoudre sur \mathbb{R} l'inéquation h(x) \lt 0.
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Exercice 45
Pour tout réel x, on pose
f(x)=2(x-1)(x+2)(x-4).

Résoudre sur \mathbb{R} l'équation f(x) = 0.
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Exercice 46
Pour tout réel x, on pose f(x)=-5(x-1)(x+4)^{2}.
Résoudre sur \mathbb{R} l'équation f(x) = 0.
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Exercice 47
Pour tout réel t, on pose
f(t)=-2(t+2)(t-1)(t+4).

Résoudre sur \mathbb{R} l'inéquation f(t) > 0.
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Exercice 48
Pour tout réel x, on pose f(x)=x^{3}+2 x^{2}-5 x-6.

1. Montrer que pour tout réel x :
f(x)=(x+1)(x-2)(x+3).


2. Construire le tableau de signe de la fonction f.

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3. Résoudre l'inéquation f(x) \leqslant 0 sur \mathbb{R}.
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Exercice 49
Pour tout réel x, on pose f(x)=x^{3}-x^{2}-2 x.

1. Montrer que -1 est une racine de f.

2. Calculer f(2).

3. En remarquant un facteur commun dans l'expression algébrique de f(x), donner une écriture factorisée de f(x).

4. En déduire le tableau de signe de f sur \mathbb{R}.

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