Mathématiques 1re Techno

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Partie 1 : Analyse
Ch. 1
Suites
Ch. 3
Dérivation
Partie 2 : Statistiques et probabilités
Ch. 4
Fréquences conditionnelles et probabilités conditionnelles
Ch. 5
Variables aléatoires
Automatismes
Partie 3 : Géométrie
Ch. 6
Trigonométrie
Ch. 7
Produit scalaire
Ch. 8
Nombres complexes
Partie 4 : Analyse
Ch. 9
Compléments sur la dérivation
Ch. 10
Primitives
Révisions Genially
Chapitre 2
TP Info

Recherche d'une solution par balayage

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Énoncé
Une entreprise produit des granulés de bois. Les bénéfices de cette entreprise sont modélisés par la fonction \text{B} définie, pour tout x \in [0~;25], par \mathrm{B}(x)=-x^{3}+20 x^{2}+20 x-450, où x désigne la quantité de granulés vendue, en tonne, et \mathrm{B}(x) les bénéfices correspondants, en euro. L'entreprise souhaite déterminer, à la centaine de kilogrammes près, pour quelles productions elle peut faire des bénéfices.
Pour ce faire, elle souhaite utiliser un algorithme de balayage.
Le principe est le suivant : on évalue les bénéfices pour une certaine valeur de \bm{x}, puis on regarde la valeur des bénéfices à \bm{x+p}, où \bm{p} est un réel fixé que l'on appelle le pas. On continue tant que les bénéfices ne changent pas de signe.

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Questions préliminaires

1. a. Calculer les valeurs de \mathrm{B}(4), \mathrm{B}(5), \mathrm{B}(19) et \mathrm{B}(20).

b. Combien de solutions l'équation \mathrm{B}(x)=0 admet‑elle au minimum ?

2. Convertir 100 kilogrammes en tonne.
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Objectif

Résoudre de manière approchée l'équation \boldsymbol{\mathrm{B}(x) = 0} à l'aide d'un algorithme de balayage à l'aide d'une des deux méthodes.
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Méthode de résolution 1
Python

L'objectif est de compléter le programme ci‑contre, écrit en Python, pour répondre à la question posée.

1. Compléter la ligne 2 du programme à l'aide de l'expression algébrique de la fonction \text{B}.

2. Quel est le signe de \mathrm{B}(4) ? Compléter les lignes 6 et 7 de l'algorithme.

3. Exécuter \color{purple}\bf{balayage(0.1)}, puis interpréter le résultat obtenu dans le contexte de cet exercice.

def B(x):
  return ...
  
def balayage(pas):
  x=4
  while B(x) < ... :
    x = ...
  return (x - pas, x)
  
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Méthode de résolution 2
Tableur

On dresse un tableau de valeurs avec un pas fixé dans la cellule E1.

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1. Quelle formule a été saisie dans la cellule A3, puis étirée vers le bas, pour obtenir les valeurs de la colonne A ?

2. Quelle formule doit‑on saisir dans la cellule B3, puis étirer vers le bas, pour calculer les bénéfices de l'entreprise ?

3. Donner un encadrement d'amplitude 10^{-1} d'une solution de l'équation \mathrm{B}(x) = 0.

4. On souhaite déterminer un encadrement d'amplitude 10^{-2} de cette solution. Modifier la feuille de calcul sur le logiciel de tableur de votre choix pour en tenir compte.
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Pour aller plus loin

1. Les méthodes ci‑dessus permettent de déterminer la première solution de l'équation \mathrm{B}(x) = 0. En s'inspirant de ces deux méthodes, donner une valeur approchée de la deuxième solution de l'équation \mathrm{B}(x) = 0.

2. Plutôt que de chercher les valeurs pour lesquelles l'entreprise réalise des bénéfices, on souhaite chercher la production pour laquelle le bénéfice est maximal. On admet qu'il existe un réel a tel que la fonction \text{B} est croissante sur [10~; a] et décroissante sur [a~; 15]. Déterminer une valeur approchée à 10^{-2} près de a à l'aide d'un algorithme de balayage.

3. Interpréter alors les résultats de ces deux questions dans le contexte de l'exercice.
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