Mathématiques 1re Techno

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Partie 1 : Analyse
Ch. 1
Suites
Ch. 3
Dérivation
Partie 2 : Statistiques et probabilités
Ch. 4
Fréquences conditionnelles et probabilités conditionnelles
Ch. 5
Variables aléatoires
Automatismes
Partie 3 : Géométrie
Ch. 6
Trigonométrie
Ch. 7
Produit scalaire
Ch. 8
Nombres complexes
Partie 4 : Analyse
Ch. 9
Compléments sur la dérivation
Ch. 10
Primitives
Révisions Genially
Chapitre 2
Exercices

Préparer le bac

10 professeurs ont participé à cette page
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Exercice corrigé
[D'après EC sujet T1CMATH03543.]

Une entreprise fabrique et vend des composants électroniques pour smartphones. On note x le nombre de dizaines de composants fabriqués par jour. Le coût de production, en dizaine d'euros, peut être représenté par la courbe ci‑dessous..

Maths 1re Techno - Fonctions de la variable réelle - Préparer l'épreuve commune - exercice corrigé
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1. À l'aide du graphique ci‑dessus, déterminer le coût de production de 80 composants.

2. La recette de l'entreprise lorsqu'elle produit et vend x dizaines de composants est modélisée par la fonction \mathrm{R} définie par \mathrm{R}(x)=15 x, toujours exprimée en dizaine d'euros.
Tracer la représentation graphique de la fonction \text{R} dans un repère orthogonal. On prendra 1 cm pour une dizaine de composants en abscisses et 50 € en ordonnées.

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3. Le résultat net de l'entreprise lorsqu'elle produit et vend x dizaines de composants est modélisée par la fonction \text{B} définie par \mathrm{B}(x)=15 x-x^{2}-36.
Vérifier que, pour tout x appartenant à l'intervalle [0~; 15], \mathrm{B}(x)=(3-x)(x-12).

Remarque
Pour rappel, le résultat net est la différence entre la recette et le coût de production.

4. Dresser le tableau de signe de la fonction \text{B} sur l'intervalle [0~; 15].
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5. On rappelle que l'entreprise réalise un bénéfice lorsque le résultat net est positif.
Déterminer combien de composants cette entreprise doit produire et vendre pour réaliser un bénéfice.
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Solution rédigée

1. L'axe des abscisses est gradué en dizaines de composants, on demande donc le coût pour 8 dizaines de composants. Il faut alors regarder l'image de 8 sur le graphique. On lit que \mathrm{C}(8)=100. Le coût de fabrication est donc de 100 dizaines d'euros, soit 1 000 €.

2. La droite passe par l'origine du repère. Sa pente vaut 15, elle passe donc également par le point de coordonnées (1~; 15).
On obtient donc la droite C_{\mathrm{R}} dans le repère ci‑dessous.

Maths 1re Techno - Fonctions de la variable réelle - Préparer l'épreuve commune - exercice corrigé
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3. Plusieurs méthodes sont possibles :

MÉTHODE 1
Pour tout réel x :
(3-x)(x-12)=3 x-12 \times 3-x \times x+12 x=15 x-x^{2}-36.

MÉTHODE 2
On vérifie que \mathrm{B}(3)=0 et \mathrm{B}(12)=0. Ainsi, pour tout réel x, \mathrm{B}(x)=-(x-3)(x-12)=(3-x)(x-12).

4.
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5. \mathrm{B}(x) \geqslant 0 lorsque x \in[3~; 12]. L'entreprise doit donc produire et vendre entre 30 et 120 composants pour réaliser un bénéfice.
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Exercice 92
[D'après EC sujet T1CMATH03532.]

Placeholder pour Maths 1re Techno - Fonctions de la variable réelle - Préparer l'épreuve commune - exercice 92 - Photographie d'un montage d'une trotinnette électriqueMaths 1re Techno - Fonctions de la variable réelle - Préparer l'épreuve commune - exercice 92 - Photographie d'un montage d'une trotinnette électrique
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Une entreprise fabrique et commercialise des trottinettes. La capacité maximale de production de l'entreprise est de 21 trottinettes. Le coût total de fabrication, en euro, de x trottinettes est modélisé par la fonction \text{C} définie par \mathrm{C}(x)=2 x^{3}-50 x^{2}+452 x.
Le prix de vente est de 200 € par trottinette.

1. Calculer, pour 12 objets fabriqués et vendus, le coût de fabrication, la recette et le bénéfice.

2. On note \mathrm{R}(x) et \mathrm{B}(x) la recette et le bénéfice pour x trottinettes vendues.
a. Exprimer \mathrm{R}(x)

b. Montrer que le bénéfice réalisé pour x trottinettes vendues est \mathrm{B}(x)=-2 x^{3}+50 x^{2}-252 x.

3. a. Montrer que \mathrm{B}(x)=-2 x(x-7)(x-18).

b. Étudier le signe de \mathrm{B}(x) sur l'intervalle [0~; 21] et interpréter le signe de \mathrm{B}(x) dans le contexte de l'exercice.
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Exercice 93
[D'après EC sujet T1CMATH03607.]

On considère la fonction f définie, pour tout réel x, par f(x)=x^{2}+2 x-3.

1. Parmi les nombres a, b et c suivants, lesquels sont des racines de f~?
a. a = 1.

b. b = 2.

c. c = -3.

2. Montrer que la forme factorisée de la fonction f est f(x)=(x-1)(x+3).

3. Étudier le signe de la fonction f.
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4. Parmi les trois courbes \text{A}, \text{B} et \text{C} suivantes, déterminer celle représentant la fonction f.

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5. Dresser le tableau de variations de la fonction f.
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Exercice 94
[D'après EC sujet T1CMATH03542.]

Soit r la fonction définie sur [0~; 110] par :
r(x)=-0,5 x^{2}+55 x.

On donne un tableau de valeurs de r.
\boldsymbol{x}020507090110
\boldsymbol{r(x)}09001 5001 4009000


1. a. Quelles sont les racines de r ?

b. En déduire la forme factorisée de r(x).

2. a. Donner l'allure de la portion de parabole qui représente la fonction r. Justifier.

b. Déterminer les coordonnées du sommet de la portion de parabole.

3. En déduire le tableau de variations de r.
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Exercice 95
[D'après EC sujet T1CMATH03535]

Soit f la fonction polynôme du second degré, définie sur \mathbb{R} et représentée par la parabole ci‑dessous.

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1. Par lecture graphique :
a. donner l'image de 0 par f ;

b. déterminer les racines de f ;

c. donner le nombre de solutions de l'équation f(x) = 1.

2. Expliquer pourquoi f(x) peut s'écrire sous la forme f(x)=2(x+1)(x-2).

3. Pour trouver un encadrement de la solution de l'équation f(x) = 1 dans l'intervalle [2~; 3], on a écrit les fonctions Python ci‑dessous.


L'instruction \color{purple}\bf{balayage(0.0001)} renvoie le résultat \color{purple}\bf{(2.1583, 2.1584)}. Que signifie ce résultat ?
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