Mathématiques 1re Techno

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Partie 1 : Analyse
Ch. 1
Suites
Ch. 3
Dérivation
Partie 2 : Statistiques et probabilités
Ch. 4
Fréquences conditionnelles et probabilités conditionnelles
Ch. 5
Variables aléatoires
Automatismes
Partie 3 : Géométrie
Ch. 6
Trigonométrie
Ch. 7
Produit scalaire
Ch. 8
Nombres complexes
Partie 4 : Analyse
Ch. 9
Compléments sur la dérivation
Ch. 10
Primitives
Révisions Genially
Chapitre 2
Avant de commencer

Fonctions de la variable réelle

17 professeurs ont participé à cette page
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Capacités attendues

1. Modéliser la dépendance entre deux grandeurs à l'aide d'une fonction.
2. Résoudre graphiquement une équation du type f(x) = k ou une inéquation du type f(x)>k, où k est un réel.
3. Déterminer les éléments caractéristiques de certaines fonctions polynômes du second degré.
4. Factoriser une expression du second degré dans des cas simples.
5. Résoudre des équations de la forme x^2 = c ou x^3 = c, où c est un réel positif.
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Placeholder pour Maths 1re Techno - Fonctions de la variable réelle - Photographie de l'œuvre de l'artiste français Vincent Ganivet représentant une chaîne de containersMaths 1re Techno - Fonctions de la variable réelle - Photographie de l'œuvre de l'artiste français Vincent Ganivet représentant une chaîne de containers
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Les applications des fonctions mathématiques sont multiples. Elles permettent de modéliser des phénomènes naturels (étude des marées, des astres, etc.), des phénomènes aléatoires (notion de variables aléatoires en probabilités, voir chapitre 5) ou encore d'assurer la stabilité de monuments ou d'œuvres d'art. Ci‑contre apparaît la catène de containers de l'artiste français Vincent Ganivet, construite en 2017 pour fêter les 500 ans de la ville du Havre. Les arches de cette œuvre prennent la forme de chaînettes renversées (voir anecdote).
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Rappels théoriques

Supplément numérique

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Manipuler les expressions algébriques

Développer une expression : transformer un produit en somme

Soient k, a, b, c et d des nombres quelconques. On a les propriétés suivantes :
1. Distributivité simple : k(a+b) = ka+kb
2. Double distributivité : (a+b)(c+d) = ac+ad+bc+bd
3. Identité remarquable : (a+b)(a-b) = a^2-b^2

Factoriser une expression : transformer une somme en produit

  • Distributivité avec un facteur commun :
    ka + kb = k(a+b) ou ka - kb = k(a-b).
  • Identités remarquables :
    \begin{aligned} a^2 -b^2 &= (a+b)(a-b) \\ a^2 + 2ab + b^2 &= (a+b)^2 \\ a^2 - 2ab +b^2 &= (a-b)^2 \end{aligned}
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Construire et exploiter le tableau de signe d'un produit de facteurs du premier degré

Méthode :

Pour étudier le signe d'un produit de facteurs, on étudie le signe de chacun des facteurs en résolvant des inéquations, et on regroupe les résultats dans un tableau de signes.

Exemple :

On veut étudier le signe de (x+1)(2x +6) pour x un nombre réel.
On résout les inéquations
x+ 1 \leqslant 0 \Leftrightarrow x \leqslant -1 et 2x + 6 \leqslant 0 \Leftrightarrow 2x \leqslant -6 \Leftrightarrow x \leqslant \dfrac{-6}{2} = -3.
Enfin, on dresse le tableau de signe donnant le signe de chacun des facteurs en fonction de la valeur de x, et on déduit le signe du produit en utilisant la règle des signes :

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Résoudre une équation ou une inéquation du premier degré

Définition :

a, b, c et d désignent quatre nombres connus et x désigne l'inconnue.
1. Une équation du premier degré à une inconnue est une égalité pouvant s'écrire sous la forme ax + b = cx + d.
Résoudre une équation c'est trouver, si elles existent, toutes les valeurs de l'inconnue pour lesquelles l'égalité est vérifiée.
2. Une inéquation du premier degré à une inconnue est une inégalité du type ax + b \leqslant cx+d ou ax+b \geqslant cx+d.
Résoudre une inéquation, c'est trouver toutes les valeurs de l'inconnue pour lesquelles l'inégalité est vérifiée.

Propriétés :

1. Une égalité reste vraie lorsqu'on ajoute (ou soustrait) un même nombre à ses deux membres.
2. Une égalité reste vraie lorsqu'on multiplie (ou divise) ses deux membres par un même nombre.

Méthode :

Pour résoudre une équation de la forme ax + b = cx+d, on cherche à isoler x : on retire b des deux côtés, puis on retire cx, et on divise par le coefficient restant devant x.

Exemple :

\begin{aligned} 3x+2 = 6x+1 &\Leftrightarrow 3x = 6x + 1 - 2 = 6x-1 \\ &\Leftrightarrow 3x - 6x = 6x-1-6x \\ &\Leftrightarrow -3x = -1 \\ &\Leftrightarrow x = \dfrac{1}{3} \end{aligned}

Propriétés :

1. Une inégalité reste vraie lorsqu'on ajoute (ou soustrait) un même nombre à ses deux membres.
2. Une inégalité reste vraie lorsqu'on multiplie (ou divise) ses deux membres par un même nombre strictement positif.
3. Une inégalité change de sens lorsqu'on multiplie (ou divise) ses deux membres par un même nombre strictement négatif.
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Utiliser les différents modes de représentation d'une fonction

Définition :

Il y a 3 principaux modes de définition d'une fonction f permettant d'associer à un réel x de l'ensemble de définition \text{D}, son image y :
1. Avec une relation algébrique : on connaît directement l'expression de f\left(x\right) en fonction de x. Par exemple, la fonction f définie sur \mathbb{R} par : f\left(x\right)= x^{2} + x + 1. Cela permet le calcul exact de l'image y de toute valeur de x de l'ensemble de définition. Il suffit de remplacer x par le nombre souhaité dans l'expression.

2. Avec un tableau de valeurs : on donne explicitement les images associées à différentes valeurs de x. Par exemple, ici, g\left(-1\right) = 0 et 2 admet pour antécédents 0 et 10.

\boldsymbol{x} -10510
\boldsymbol{g\left(x\right)}0232

Ce mode de définition ne permet de connaître qu'un nombre fini d'images.

3. Avec une courbe : la courbe représentative d'une fonction h est l'ensemble des points \mathrm{A}\left( x~; y \right) tels que y = h\left(x\right).
Elle donne les valeurs de la fonction sur tout l'ensemble de définition, mais la précision est limitée par la lecture graphique.

Maths 1re Techno - Fonctions de la variable réelle - Rappels théoriques - Représentation d'une fonction avec une courbe
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Connaître les fonctions de référence, notamment les fonctions carré et cube
Fonction carré

Définition :

La fonction carré est la fonction qui, à tout réel x, associe le réel x^2.
Sa courbe représentative est une parabole.

Propriétés :

1. Pour tout réel x, x^2\geqslant 0.
2. La fonction carré est paire.
3. La fonction carré est strictement décroissante sur \left]-\infty~;0\right] et strictement croissante sur \left[0~;+\infty\right[.
4. Une équation du type x^2 = a possède deux solutions \sqrt a et -\sqrt a si a > 0, une seule solution 0 si a=0, et aucune solution si a \lt 0.

Maths 1re Techno - Fonctions de la variable réelle - Rappels théoriques - Représentation graphique de la fonction carré
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Fonction cube

Définition :

La fonction cube est la fonction qui, à tout réel x, associe le réel x^3.

Propriétés :

La fonction cube :
1. est impaire ;
2. est strictement croissante sur \mathbb{R}.

Maths 1re Techno - Fonctions de la variable réelle - Rappels théoriques - Représentation graphique de la fonction cube
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Exercices

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Prérequis

1. Manipuler les expressions algébriques.
2. Résoudre une équation ou une inéquation du premier degré.
3. Construire et exploiter le tableau de signe d'un produit de facteurs du premier degré.
4. Utiliser les différents modes de représentation d'une fonction.
5. Connaître les fonctions de référence, notamment les fonctions carré et cube.
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Exercice 1
Développement d'expressions algébriques

Soient x, y, t et a quatre nombres réels.
Développer et réduire chacune des expressions algébriques suivantes.

1. 2x(3x - 7)

2. (3 y-2)(3 y+2)

3. (5 t+1)(2-3 t)

4. -2(a+3)(2a-4)
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Exercice 2
Résoudre une équation du premier degré

Résoudre dans \mathbb{R} les équations suivantes.

1. 5 x+10=0

2. 2 t+3=4 t+9

3. 2-4 u=7 u+15

4. 2(3+2 x)=5(4-8 x)
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Exercice 3
Construire un tableau de signe

Construire sur \mathbb{R} le tableau de signe des expressions suivantes.

1. (x-4)(x-7)

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2. (2 x+6)(3 x-9)

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3. (2 x-4)(4 x-12)(x+5)

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Exercice 4
Connaître le vocabulaire sur les fonctions

On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par :
f(x) = 2x + 5.
Parmi les affirmations suivantes, déterminer celles qui sont vraies.
On justifiera la réponse.

1. L'image de 1 par f est 7.


2. Le réel 11 est un antécédent de 3 par f.


3. f(-2) = 1


4. 8 est solution de l'équation f(x) = 21.

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Exercice 5
Exploiter une représentation graphique

On considère une fonction f définie sur [-4~; 1] dont la représentation graphique C_f est donnée ci‑dessous.

Maths 1re Techno - Fonctions de la variable réelle - Avant de commencer - Représentation graphique de la fontion Cf
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1. Déterminer graphiquement f(-2), f(0) et f(-4).

2. Déterminer graphiquement le (ou les) antécédent(s) de 1 par f.

3. Déterminer graphiquement l'image de 1 par f.
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Exercice 6
Problème

On considère une fonction g dont la représentation graphique C_g est donnée ci‑dessous.

Maths 1re Techno - Fonctions de la variable réelle - Avant de commencer - Représentation graphique de la fontion Cg
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1. Déterminer graphiquement les images de -1, 0 et 3 par cette fonction g.

2. On considère la fonction f : x \mapsto 2(x + 1) (x - 3).
a. Résoudre l'équation f(x) = 0.

b. Calculer f(0). La courbe ci‑dessus peut‑elle être la courbe représentative de f ? Pourquoi ?
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Anecdote

En 1638, le savant italien Galilée étudie la forme prise par une corde posée sur deux clous plantés à même hauteur sur un mur. Il affirme, à tort, que la forme prise par la corde est une parabole, courbe représentative d'une fonction polynôme du second degré.
Ce n'est finalement qu'en 1691 que Leibniz démontre que la courbe ainsi obtenue correspond à une chaînette, qui est la courbe représentative d'une fonction de type cosinus hyperbolique.
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