Fonctions

Exploiter la représentation graphique d'une fonction.

On a mesuré la température dans une ville tout au long de la journée. Le graphique ci‑contre représente cette température, exprimée en °C, en fonction de l'heure de la journée.


1. Quelle température faisait‑il à midi ?

2. À quelle heure de la journée la température est‑elle passée au‑dessus de 6 °C ? Pendant combien de temps ?

Pour une heure t dans l'intervalle [0~; 24], on note \mathrm{T}(t) la température, en °C, à cette heure de la journée.
On définit ainsi une fonction \text{T} sur l'intervalle [0~; 24].

3. Décrire les variations de la fonction \text{T} sur l'intervalle [0~; 24].

4. Interpréter l'égalité \mathrm{T}(6)=3 dans le contexte de l'exercice.

5. Déterminer graphiquement \mathrm{T}(14).

6. On souhaite résoudre graphiquement l'inéquation \mathrm{T}(t) \geqslant 6 sur [0~; 24].
a. Traduire cette inéquation par une phrase dans le contexte de l'activité.

b. Résoudre graphiquement cette inéquation.

Soit \boldsymbol{k} un réel. Comment résoudre graphiquement une équation du type \boldsymbol{f (x) = k} ou une inéquation du type \boldsymbol{f(x) \geqslant k} ?

Identifier les caractéristiques des fonctions du type x \mapsto ax^2+c.

Pour tout réel a, on note C_a la courbe représentative de la fonction x \mapsto ax^2+1 définie sur \mathbb{R}. Certaines de ces courbes sont représentées ci‑contre dans un repère orthonormé.


1. Toutes les courbes semblent passer par un même point. Lequel ? Comment le justifier ?

2. Quel est l'axe de symétrie commun à chacune de ces courbes ?

3. Décrire les variations de la fonction x \mapsto ax^2+1 selon les valeurs de a.
La valeur de c a‑t‑elle un impact sur les variations de la fonction x \mapsto ax^2+c ?

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Quels sont les éléments caractéristiques de la représentation graphique des fonctions du type \boldsymbol{x \mapsto ax^2+c} ?

Résoudre des équations et des inéquations à l'aide de la forme factorisée d'une fonction polynôme du second degré.

1. a. Développer et réduire l'expression 2(x-10)^{2}.

b. En déduire une autre expression de \mathrm{C}(x).

c. En déduire le signe du coût de production. Comment interpréter cela dans le contexte de l'exercice ?

2. Pour x centaines de panneaux produits et vendus, le bénéfice mensuel \mathrm{B}(x) de l'entreprise, en centaine d'euros, est défini, pour tout x \in[0~; 50], par \mathrm{B}(x)=-2 x^{2}+90 x-400.
a. Justifier que, pour tout x \in[0~; 50], \mathrm{B}(x)=-2(x-5)(x-40).
Cette écriture est appelée forme factorisée de \mathrm{B}(x).

b. Que vaut le bénéfice pour 5 centaines de panneaux fabriqués ? Pour 40 centaines d'objets fabriqués ?

c. Compléter le tableau de signe ci‑dessous en cliquant dessus et en utilisant l'outil « Dessin ».


d. À l'aide de ce tableau de signe, résoudre l'inéquation \mathrm{B}(x) \geqslant 0 sur [0~; 50].

e. Pour quelles productions l'entreprise réalise‑t‑elle un bénéfice ?

3. On donne ci‑dessous la représentation graphique C_{\mathrm{B}} de la fonction \mathrm{B}.

Les résultats obtenus à la question 2 sont‑ils conformes à cette représentation graphique ?

Comment peut‑on résoudre une équation ou une inéquation faisant intervenir des fonctions polynômes du second degré ?