Fonctions

Exploiter la représentation graphique d'une fonction.

On a mesuré la température dans une ville tout au long de la journée. Le graphique ci‑contre représente cette température, exprimée en °C, en fonction de l'heure de la journée.


1. Quelle température faisait‑il à midi ?

2. À quelle heure de la journée la température est‑elle passée au‑dessus de 6 °C ? Pendant combien de temps ?

Pour une heure $t$ dans l'intervalle $[0;24]$, on note $\mathrm{T}(t)$ la température, en °C, à cette heure de la journée.
On définit ainsi une fonction $\text{T}$ sur l'intervalle $[0;24]$.

3. Décrire les variations de la fonction $\text{T}$ sur l'intervalle $[0;24]$.

4. Interpréter l'égalité $\mathrm{T}(6)=3$ dans le contexte de l'exercice.

5. Déterminer graphiquement $\mathrm{T}(14)$.

6. On souhaite résoudre graphiquement l'inéquation $\mathrm{T}(t)⩾6$ sur $[0;24]$.
a. Traduire cette inéquation par une phrase dans le contexte de l'activité.

b. Résoudre graphiquement cette inéquation.

Soit $\mathbf{k}$ un réel. Comment résoudre graphiquement une équation du type $\mathbf{f}(\mathbf{x})=\mathbf{k}$ ou une inéquation du type $\mathbf{f}(\mathbf{x})⩾\mathbf{k}$ ?

Identifier les caractéristiques des fonctions du type $x\mapsto a{x}^2+c$.

Pour tout réel $a$, on note $C_a$ la courbe représentative de la fonction $x\mapsto a{x}^2+1$ définie sur $\mathbb{R}$. Certaines de ces courbes sont représentées ci‑contre dans un repère orthonormé.


1. Toutes les courbes semblent passer par un même point. Lequel ? Comment le justifier ?

2. Quel est l'axe de symétrie commun à chacune de ces courbes ?

3. Décrire les variations de la fonction $x\mapsto a{x}^2+1$ selon les valeurs de $a$.
La valeur de $c$ a‑t‑elle un impact sur les variations de la fonction $x\mapsto a{x}^2+c$ ?

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Quels sont les éléments caractéristiques de la représentation graphique des fonctions du type $\mathbf{x}\mapsto \mathbf{a}{\mathbf{x}}^2+\mathbf{c}$ ?

Résoudre des équations et des inéquations à l'aide de la forme factorisée d'une fonction polynôme du second degré.

1. a. Développer et réduire l'expression $2(x-10{)}^2.$

b. En déduire une autre expression de $\mathrm{C}(x)$.

c. En déduire le signe du coût de production. Comment interpréter cela dans le contexte de l'exercice ?

2. Pour $x$ centaines de panneaux produits et vendus, le bénéfice mensuel $\mathrm{B}(x)$ de l'entreprise, en centaine d'euros, est défini, pour tout $x\in [0;50]$, par $\mathrm{B}(x)=-2x^2+90x-400$.
a. Justifier que, pour tout $x\in [0;50]$, $\mathrm{B}(x)=-2(x-5)(x-40)$.
Cette écriture est appelée forme factorisée de $\mathrm{B}(x)$.

b. Que vaut le bénéfice pour 5 centaines de panneaux fabriqués ? Pour 40 centaines d'objets fabriqués ?

c. Compléter le tableau de signe ci‑dessous en cliquant dessus et en utilisant l'outil « Dessin ».


d. À l'aide de ce tableau de signe, résoudre l'inéquation $\mathrm{B}(x)⩾0$ sur $[0;50]$.

e. Pour quelles productions l'entreprise réalise‑t‑elle un bénéfice ?

3. On donne ci‑dessous la représentation graphique $C_{\mathrm{B}}$ de la fonction $\mathrm{B}$.

Les résultats obtenus à la question 2 sont‑ils conformes à cette représentation graphique ?

Comment peut‑on résoudre une équation ou une inéquation faisant intervenir des fonctions polynômes du second degré ?