Mathématiques 1re Techno

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Partie 1 : Analyse
Ch. 1
Suites
Ch. 3
Dérivation
Partie 2 : Statistiques et probabilités
Ch. 4
Fréquences conditionnelles et probabilités conditionnelles
Ch. 5
Variables aléatoires
Automatismes
Partie 3 : Géométrie
Ch. 6
Trigonométrie
Ch. 7
Produit scalaire
Ch. 8
Nombres complexes
Partie 4 : Analyse
Ch. 9
Compléments sur la dérivation
Ch. 10
Primitives
Révisions Genially
Chapitre 2
Activité

Fonctions

16 professeurs ont participé à cette page
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A
Fonctions et représentations graphiques

p. 40.

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Objectif

Exploiter la représentation graphique d'une fonction.
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On a mesuré la température dans une ville tout au long de la journée. Le graphique ci‑contre représente cette température, exprimée en °C, en fonction de l'heure de la journée.

Maths 1re Techno - Fonctions de la variable réelle - Activité A - graphique de la température, exprimée en °C, en fonction de l'heure de la journée
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1. Quelle température faisait‑il à midi ?


2. À quelle heure de la journée la température est‑elle passée au‑dessus de 6 °C ? Pendant combien de temps ?

Pour une heure t dans l'intervalle [0~; 24], on note \mathrm{T}(t) la température, en °C, à cette heure de la journée.
On définit ainsi une fonction \text{T} sur l'intervalle [0~; 24].

3. Décrire les variations de la fonction \text{T} sur l'intervalle [0~; 24].


4. Interpréter l'égalité \mathrm{T}(6)=3 dans le contexte de l'exercice.


5. Déterminer graphiquement \mathrm{T}(14).


6. On souhaite résoudre graphiquement l'inéquation \mathrm{T}(t) \geqslant 6 sur [0~; 24].
a. Traduire cette inéquation par une phrase dans le contexte de l'activité.

b. Résoudre graphiquement cette inéquation.
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Bilan

Soit \boldsymbol{k} un réel. Comment résoudre graphiquement une équation du type \boldsymbol{f (x) = k} ou une inéquation du type \boldsymbol{f(x) \geqslant k} ?
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B
Fonctions du type x ↦ ax2 + c

p. 42.

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Objectif


Identifier les caractéristiques des fonctions du type x \mapsto ax^2+c.
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Pour tout réel a, on note C_a la courbe représentative de la fonction x \mapsto ax^2+1 définie sur \mathbb{R}. Certaines de ces courbes sont représentées ci‑contre dans un repère orthonormé.

Maths 1re Techno - Fonctions de la variable réelle - Activité B - courbe représentative de la fonction Ca.
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1. Toutes les courbes semblent passer par un même point. Lequel ? Comment le justifier ?


2. Quel est l'axe de symétrie commun à chacune de ces courbes ?


3. Décrire les variations de la fonction x \mapsto ax^2+1 selon les valeurs de a.
La valeur de c a‑t‑elle un impact sur les variations de la fonction x \mapsto ax^2+c ?

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Bilan

Quels sont les éléments caractéristiques de la représentation graphique des fonctions du type \boldsymbol{x \mapsto ax^2+c} ?
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C
Utiliser une forme factorisée

p. 43.

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Objectif


Résoudre des équations et des inéquations à l'aide de la forme factorisée d'une fonction polynôme du second degré.
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Une entreprise produit des panneaux solaires.
Pour x centaines de panneaux fabriqués, le coût de production mensuel est modélisé par une fonction \text{C} définie sur [0~; 50] par \mathrm{C}(x)=2 x^{2}-40 x+400, où \mathrm{C}(x) est exprimé en centaine d'euros.
Pour des problèmes liés au stockage, l'entreprise ne peut pas fabriquer plus de 5 000 panneaux par mois.

Placeholder pour Maths 1re Techno - Fonctions de la variable réelle - Activité C - photographie d'un panneau solaire pendant sa fabricationMaths 1re Techno - Fonctions de la variable réelle - Activité C - photographie d'un panneau solaire pendant sa fabrication
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1. a. Développer et réduire l'expression 2(x-10)^{2}.

b. En déduire une autre expression de \mathrm{C}(x).

c. En déduire le signe du coût de production. Comment interpréter cela dans le contexte de l'exercice ?


2. Pour x centaines de panneaux produits et vendus, le bénéfice mensuel \mathrm{B}(x) de l'entreprise, en centaine d'euros, est défini, pour tout x \in[0~; 50], par \mathrm{B}(x)=-2 x^{2}+90 x-400.
a. Justifier que, pour tout x \in[0~; 50], \mathrm{B}(x)=-2(x-5)(x-40).
Cette écriture est appelée forme factorisée de \mathrm{B}(x).

b. Que vaut le bénéfice pour 5 centaines de panneaux fabriqués ? Pour 40 centaines d'objets fabriqués ?

c. Compléter le tableau de signe ci‑dessous en cliquant dessus et en utilisant l'outil « Dessin ».

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d. À l'aide de ce tableau de signe, résoudre l'inéquation \mathrm{B}(x) \geqslant 0 sur [0~; 50].

e. Pour quelles productions l'entreprise réalise‑t‑elle un bénéfice ?


3. On donne ci‑dessous la représentation graphique C_{\mathrm{B}} de la fonction \mathrm{B}.

Maths 1re Techno - Fonctions de la variable réelle - Activité C - représentation graphique Cb de la fonction B.
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Les résultats obtenus à la question 2 sont‑ils conformes à cette représentation graphique ?
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Bilan

Comment peut‑on résoudre une équation ou une inéquation faisant intervenir des fonctions polynômes du second degré ?
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