Primitive d'une fonction sur un intervalle

L'affirmation suivante est‑elle vraie ou fausse ? Justifier.

« La fonction $\text{F}$ définie sur $\mathbb{R}$ par $\text{F}(x)=x^2+5x$ est une primitive de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x+5.$ »

a. Vrai.

b. Faux.

L'affirmation suivante est‑elle vraie ou fausse ? Justifier.

« Si $\text{I}$ et $\text{J}$ sont deux primitives d'une même fonction $i$ sur un intervalle, alors il existe un réel $k$ tel que $\text{I}-\text{J}=k.$ »

a. Vrai.

b. Faux.

Dans chaque cas, déterminer si la fonction $\text{F}$ est une primitive de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}.$

1. $f(x)=23$ et $\mathrm{F}(x)=23x.$

2. $f(x)=12$ et $\mathrm{F}(x)=12x-189.$

3. $f(x)=24x$ et $\mathrm{F}(x)=24x^2-18.$

4. $f(x)=-8x$ et $\mathrm{F}(x)=-4x^2+2x.$

5. $f(x)=\frac{3}{5}x$ et $\mathrm{F}(x)=\frac{3}{10}{x}^2-28.$

6. $f(x)=-\frac{1}{2}x+2$ et $\mathrm{F}(x)=-x^2+2x.$

Dans chaque cas, déterminer si la fonction $\text{F}$ est une primitive de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}.$

1. $f(x)=15x+2$ et $\mathrm{F}(x)=15x^2+2x+1.$

Insérer une formule mathématique

2. $f(x)=x^2+3x-7$ et $\mathrm{F}(x)=\frac{x^3}{3}+\frac{3x^2}{2}-7x+2.$

Insérer une formule mathématique

3. $f(x)=3x+\cos (4x+5)$ et $\mathrm{F}(x)=\frac{3x^2}{2}+\sin (4x+5).$

Insérer une formule mathématique

4. $f(x)={\cos }^2(x)-{\sin }^2(x)$ et $\mathrm{F}(x)=\cos (x)\sin (x).$

Insérer une formule mathématique

Soient $f$ et $\text{F}$ deux fonctions définies sur un intervalle $\text{I}$ de $\mathbb{R}$ et $k$ un réel.
Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant.

1. Si ${\mathrm{F}}^{\prime }=f$ sur $\text{I,}$ alors $f$ est une primitive de $\text{F}$ sur $\text{I.}$

a. Vrai.

b. Faux.

2. Si ${\mathrm{F}}^{\prime }=f$ sur $\text{I,}$ alors $\text{F}$ est une primitive de $f$ sur $\text{I.}$

a. Vrai.

b. Faux.

3. Si $\text{F}$ est une primitive de $f$ sur $\text{I,}$ alors $\text{F}+k$ est une primitive de $f$ sur $\text{I.}$

a. Vrai.

b. Faux.

4. Si $\text{F}$ est une primitive de $f$ sur $\text{I,}$ alors $\text{F}$ est croissante sur $\text{I}$ si, et seulement si, $f$ est positive sur $\text{I.}$

a. Vrai.

b. Faux.

5. Si $\text{F}$ est une primitive de $f$ sur $\text{I,}$ alors $\text{F}$ est négative sur $\text{I}$ si, et seulement si, $f$ est décroissante sur $\text{I.}$

a. Vrai.

b. Faux.

Dans chaque cas, déterminer si la fonction $\text{F}$ est une primitive de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}.$

1. $f(x)=x^4+8x^3+\sin (3x+2)$ et $\mathrm{F}(x)=\frac{x^5}{5}+2x^4-\frac{1}{3}\cos (3x+2)-4.$

2. $f(x)=18\sin (3x+\pi )+5\cos \left(6x+\frac{\pi }{2}\right)$ et $\mathrm{F}(x)=-6\cos (3x+\pi )+\frac{5}{6}\sin \left(6x+\frac{\pi }{2}\right)+25.$

3. $f(x)=4\sin (9x+\pi )+8x^6+9x-6\cos (5x-\pi )$ et $\mathrm{F}(x)=\frac{-4}{9}\cos (9x+\pi )+\frac{8x^7}{7}+\frac{9x^2}{2}-\frac{6}{5}\sin (5x-\pi )-12.$

4. $f(x)=x\left(2\cos (x)-x^2\sin (x)\right)$ et $\mathrm{F}(x)=x^2\cos (x).$

Dans chaque cas, montrer que la fonction $\text{F}$ est une primitive de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}.$
Déterminer ensuite l'ensemble des primitives de $f$ sur $\mathbb{R}.$

1. $f(x)=10$ et $\mathrm{F}(x)=10x-3.$

2. $f(x)=-\frac{8}{11}$ et $\mathrm{F}(x)=-\frac{8x}{11}-7.$

3. $f(x)=2x-2$ et $\mathrm{F}(x)=x^2-2x+9.$

Dans chaque cas, montrer que la fonction $\text{F}$ est une primitive de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}.$
Déterminer ensuite l'ensemble des primitives de $f$ sur $\mathbb{R}.$

1. $f(x)=\frac{1}{5}{x}^2+9x-2$ et $\text{F}(x)=\frac{1}{15}{x}^3+\frac{9x^2}{2}-2x+11.$

2. $f(x)=\frac{3x^3}{7}-10x^2-\frac{4}{13}$ et $\text{F}(x)=\frac{3x^4}{28}-\frac{10x^3}{3}-\frac{4x}{13}+7.$

3. $f(x)=2\sin (5x+4)$ et $\text{F}(x)=\frac{-2}{5}\cos (5x+4).$

Dans chaque cas, montrer que la fonction $\text{F}$ est une primitive de $f$ définie sur $\mathbb{R}.$
Déterminer l'ensemble des primitives de $f$ sur $\mathbb{R}.$

1. $f(x)=2x+1$ et $\mathrm{F}(x)=(x+3)(x-2).$

2. $f(x)=\cos (4x+9)-5\sin \left(6x+\frac{\pi }{2}\right)$ et $\mathrm{F}(x)=\frac{1}{4}\sin (4x+9)+\frac{5}{6}\cos \left(6x+\frac{\pi }{2}\right)-15.$

3. $f(x)=\frac{x^6}{2}-\frac{6x^3}{7}-\frac{8x}{11}-4\cos (3x-8)$ et $\mathrm{F}(x)=\frac{x^7}{14}-\frac{6x^4}{28}-\frac{4x^2}{11}-\frac{4}{3}\sin (3x-8)+82.$

Dans chaque cas, vérifier que $\text{F}$ est une primitive de la fonction $f$ définie sur $\text{I,}$ puis déterminer la primitive ${\text{F}}_1$ de $f$ qui s'annule en $x_0.$

1. $f(x)=5$ et $\mathrm{F}(x)=5x+1$ sur $\mathrm{I}=\mathbb{R}$ avec $x_0=1.$

2. $f(x)=-12$ et $\mathrm{F}(x)=-12x-2$ sur $\mathrm{I}=\mathbb{R}$ avec $x_0=-1.$

3. $f(x)=2x$ et $\mathrm{F}(x)=x^2+1$ sur $\mathrm{I}=\mathbb{R}$ avec $x_0=1.$

Dans chaque cas, vérifier que $\text{F}$ est une primitive de la fonction $f$ définie sur $\text{I,}$ puis déterminer la primitive ${\text{F}}_1$ de $f$ qui s'annule en $x_0.$

1. $f(x)=x+6$ et $\mathrm{F}(x)=\frac{x^2}{2}+6x-2$ sur $\mathrm{I}=\mathbb{R}$ avec $x_0=1.$

Insérer une formule mathématique

2. $f(x)=3x-7$ et $\mathrm{F}(x)=\frac{3x^2}{2}-7x+3$ sur $\mathrm{I}=\mathbb{R}$ avec $x_0=-1.$

Insérer une formule mathématique

3. $f(x)=3x^2-7$ et $\mathrm{F}(x)=x^3-7x+5$ sur $\mathrm{I}=\mathbb{R}$ avec $x_0=1.$

Insérer une formule mathématique

Dans chaque cas, vérifier que $\text{F}$ est une primitive de la fonction $f$ définie sur $\text{I,}$ puis déterminer la primitive ${\text{F}}_1$ de $f$ qui s'annule en $x_0.$

1. $f(x)=4\sin (x+\pi )$ et $\mathrm{F}(x)=-4\cos (x+\pi )-5$ sur $\mathrm{I}=\mathbb{R}$ avec $x_0=\pi .$

2. $f(x)=\cos \left(2x+\frac{\pi }{2}\right)-\sin (4x+\pi )$ et $\mathrm{F}(x)=\frac{1}{2}\sin \left(2x+\frac{\pi }{2}\right)+\frac{1}{4}\cos (4x+\pi )-1$ sur $\mathrm{I}=\mathbb{R}$ avec $x_0=0.$

3. $f(x)=7\cos (5x+\pi )+\frac{5x^4}{6}-9x$ et $\mathrm{F}(x)=\frac{7}{5}\sin (5x+\pi )+\frac{x^5}{6}-\frac{9x^2}{2}$ sur $\mathrm{I}=\mathbb{R}$ avec $x_0=0.$

4. $f(x)=\frac{10}{(x+2{)}^2}$ et $\mathrm{F}(x)=\frac{3x-4}{x+2}$ sur $\mathrm{I}=[0;+\infty [$ avec $x_0=0.$

Parmi les fonctions $g$ et $h$ représentées ci‑dessous, quelle est celle qui correspond à une primitive de la fonction $f$ ?

Soit $f$ une fonction définie sur $\mathbb{R}$ dont on donne ci-dessous la représentation graphique ${\mathcal{C}}_f.$



À l'aide du graphique, déterminer les variations des primitives de $f$ sur $\mathbb{R}.$

On a représenté deux fonctions $f$ et $g$ définies sur $\mathbb{R}$ dans un repère du plan. Déterminer laquelle des deux est une primitive de l'autre.

On donne la représentation graphique ${\mathcal{C}}_f$ d'une fonction $f$ définie sur l'intervalle $\text{I}=[-3;2]$ dans un repère du plan. Déterminer, en justifiant, les variations d'une primitive $\text{F}$ de $f$ sur $\text{I.}$

Lorsqu'on lui demande de déterminer une primitive de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\frac{3x^4}{2}+3x+7,$ un logiciel de calcul formel donne le résultat suivant.


1. Vérifier le résultat obtenu.

2. En déduire la primitive ${\text{F}}_1$ de $f$ vérifiant ${\text{F}}_1(1)=1.$

Soient $\text{F}$ une primitive d'une fonction $f$ définie sur un intervalle $\text{I}$ et $\text{G}$ la fonction définie sur $\text{I}$ par $\text{G}(x)=\text{F}(x)+k,$ où $k$ désigne un réel.

1. Montrer que $\text{G}$ est aussi une primitive de $f$ sur $\text{I.}$

2. Soit $\text{H}$ une autre primitive de $f$ sur $\text{I.}$ Que vaut $(\mathrm{F}-\mathrm{H}{)}^{\prime }$ ? En déduire que $\mathrm{F}-\mathrm{H}$ est une fonction constante, puis conclure.

Un TGV part de la gare à l'instant $t=0$ s avec une accélération constante $a=0,15$ m/s² et sans vitesse initiale.

1. Montrer que, pour tout $t\in [0;2500],$ la vitesse $v(t),$ en m/s, est égale à $v(t)=0,15t.$

2. Déterminer l'expression, en fonction de $t,$ de la distance $x(t),$ en mètre, parcourue par le TGV à l'instant $t.$ On supposera que $x(0)=0.$

3. Lors de son accélération, combien de temps le TGV aura‑t‑il mis pour parcourir les douze premiers kilomètres ?

Un solide (S) est accroché à un ressort (R) sur un axe horizontal. Il effectue des oscillations si on l'écarte de sa position d'équilibre.


À l'instant $t,$ mesuré en seconde dans $[0;300],$ la position du solide dans le repère $(\mathrm{O};\overrightarrow{i}),$ en mètre, est donnée par : $x(t)=\frac{\sqrt{3}}{2}\cos \left(4t-\frac{\pi }{2}\right).$

Sa vitesse à l'instant t est donnée par : $v(t)=-2\sqrt{3}\sin \left(4t-\frac{\pi }{2}\right).$

Vérifier sur cet exemple, que $x$ est bien la primitive de $v$ vérifiant $x(0)=0.$

En réponse à un exercice, on écrit : « Donc les fonctions $\text{F}$ et $\text{G}$ sont des primitives de $f$ sur $\mathbb{R}.$ » Rédiger un énoncé possible de cet exercice.