Primitive d'une fonction sur un intervalle

L'affirmation suivante est‑elle vraie ou fausse ? Justifier.

« La fonction \text{F} définie sur \R par \text{F}(x) = x^2 + 5x est une primitive de la fonction f définie sur \R par f(x) = x + 5. »

a. Vrai.

b. Faux.

L'affirmation suivante est‑elle vraie ou fausse ? Justifier.

« Si \text{I} et \text{J} sont deux primitives d'une même fonction i sur un intervalle, alors il existe un réel k tel que \text{I} - \text{J} = k. »

a. Vrai.

b. Faux.

Dans chaque cas, déterminer si la fonction \text{F} est une primitive de la fonction f sur \R.

1. f(x)=23 et \mathrm{F}(x)=23 x.

2. f(x)=12 et \mathrm{F}(x)=12 x-189.

3. f(x)=24 x et \mathrm{F}(x)=24 x^{2}-18.

4. f(x)=-8 x et \mathrm{F}(x)=-4 x^{2}+2 x.

5. f(x)=\frac{3}{5} x et \mathrm{F}(x)=\frac{3}{10} x^{2}-28.

6. f(x)=-\frac{1}{2} x+2 et \mathrm{F}(x)=-x^{2}+2 x.

Dans chaque cas, déterminer si la fonction \text{F} est une primitive de la fonction f sur \R.

1. f(x)=15 x+2 et \mathrm{F}(x)=15 x^{2}+2 x+1.

2. f(x)=x^{2}+3 x-7 et \mathrm{F}(x)=\frac{x^{3}}{3}+\frac{3 x^{2}}{2}-7 x+2.

3. f(x)=3 x+\cos (4 x+5) et \mathrm{F}(x)=\frac{3 x^{2}}{2}+\sin (4 x+5).

4. f(x)=\cos ^{2}(x)-\sin ^{2}(x) et \mathrm{F}(x)=\cos (x) \sin (x).

Soient f et \text{F} deux fonctions définies sur un intervalle \text{I} de \R et k un réel.
Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant.

1. Si \mathrm{F}^{\prime}=f sur \text{I,} alors f est une primitive de \text{F} sur \text{I.}

a. Vrai.

b. Faux.

2. Si \mathrm{F}^{\prime}=f sur \text{I,} alors \text{F} est une primitive de f sur \text{I.}

a. Vrai.

b. Faux.

3. Si \text{F} est une primitive de f sur \text{I,} alors \text{F} + k est une primitive de f sur \text{I.}

a. Vrai.

b. Faux.

4. Si \text{F} est une primitive de f sur \text{I,} alors \text{F} est croissante sur \text{I} si, et seulement si, f est positive sur \text{I.}

a. Vrai.

b. Faux.

5. Si \text{F} est une primitive de f sur \text{I,} alors \text{F} est négative sur \text{I} si, et seulement si, f est décroissante sur \text{I.}

a. Vrai.

b. Faux.

Dans chaque cas, déterminer si la fonction \text{F} est une primitive de la fonction f sur \R.

1. f(x)=x^{4}+8 x^{3}+\sin (3 x+2) et \mathrm{F}(x)=\frac{x^{5}}{5}+2 x^{4}-\frac{1}{3} \cos (3 x+2)-4.

2. f(x)=18 \sin (3 x+\pi)+5 \cos \left(6 x+\frac{\pi}{2}\right) et \mathrm{F}(x)=-6 \cos (3 x+\pi)+\frac{5}{6} \sin \left(6 x+\frac{\pi}{2}\right)+25 .

3. f(x)=4 \sin (9 x+\pi)+8 x^{6}+9 x-6 \cos (5 x-\pi) et \mathrm{F}(x)=\frac{-4}{9} \cos (9 x+\pi)+\frac{8 x^{7}}{7}+\frac{9 x^{2}}{2}-\frac{6}{5} \sin (5 x-\pi)-12.

4. f(x)=x\left(2 \cos (x)-x^{2} \sin (x)\right) et \mathrm{F}(x)=x^{2} \cos (x).

Dans chaque cas, montrer que la fonction \text{F} est une primitive de la fonction f définie sur \R.
Déterminer ensuite l'ensemble des primitives de f sur \R.

1. f(x)=10 et \mathrm{F}(x)=10 x-3.

2. f(x)=-\frac{8}{11} et \mathrm{F}(x)=-\frac{8 x}{11}-7.

3. f(x)=2 x-2 et \mathrm{F}(x)=x^{2}-2 x+9.

Dans chaque cas, montrer que la fonction \text{F} est une primitive de la fonction f définie sur \R.
Déterminer ensuite l'ensemble des primitives de f sur \R.

1. f(x)=\frac{1}{5} x^{2}+9 x-2 et \text{F}(x)=\frac{1}{15} x^{3}+\frac{9 x^{2}}{2}-2 x+11.

2. f(x)=\frac{3 x^{3}}{7}-10 x^{2}-\frac{4}{13} et \text{F}(x)=\frac{3 x^{4}}{28}-\frac{10 x^{3}}{3}-\frac{4 x}{13}+7.

3. f(x)=2 \sin (5 x+4) et \text{F}(x)=\frac{-2}{5} \cos (5 x+4).

Dans chaque cas, montrer que la fonction \text{F} est une primitive de f définie sur \R.
Déterminer l'ensemble des primitives de f sur \R.

1. f(x)=2 x+1 et \mathrm{F}(x)=(x+3)(x-2).

2. f(x)=\cos (4 x+9)-5 \sin \left(6 x+\frac{\pi}{2}\right) et \mathrm{F}(x)=\frac{1}{4} \sin (4 x+9)+\frac{5}{6} \cos \left(6 x+\frac{\pi}{2}\right)-15.

3. f(x)=\frac{x^{6}}{2}-\frac{6 x^{3}}{7}-\frac{8 x}{11}-4 \cos (3 x-8) et \mathrm{F}(x)=\frac{x^{7}}{14}-\frac{6 x^{4}}{28}-\frac{4 x^{2}}{11}-\frac{4}{3} \sin (3 x-8)+82.

Dans chaque cas, vérifier que \text{F} est une primitive de la fonction f définie sur \text{I,} puis déterminer la primitive \text{F}_1 de f qui s'annule en x_0.

1. f(x)=5 et \mathrm{F}(x)=5 x+1 sur \mathrm{I}=\mathbb{R} avec x_{0}=1.

2. f(x)=-12 et \mathrm{F}(x)=-12 x-2 sur \mathrm{I}=\mathbb{R} avec x_{0}=-1.

3. f(x)=2 x et \mathrm{F}(x)=x^{2}+1 sur \mathrm{I}=\mathbb{R} avec x_{0}=1.

Dans chaque cas, vérifier que \text{F} est une primitive de la fonction f définie sur \text{I,} puis déterminer la primitive \text{F}_1 de f qui s'annule en x_0.

1. f(x)=x+6 et \mathrm{F}(x)=\frac{x^{2}}{2}+6 x-2 sur \mathrm{I}=\mathbb{R} avec x_{0}=1.

2. f(x)=3 x-7 et \mathrm{F}(x)=\frac{3 x^{2}}{2}-7 x+3 sur \mathrm{I}=\mathbb{R} avec x_{0}=-1.

3. f(x)=3 x^{2}-7 et \mathrm{F}(x)=x^{3}-7 x+5 sur \mathrm{I}=\mathbb{R} avec x_{0}=1.

Dans chaque cas, vérifier que \text{F} est une primitive de la fonction f définie sur \text{I,} puis déterminer la primitive \text{F}_1 de f qui s'annule en x_0.

1. f(x)=4 \sin (x+\pi) et \mathrm{F}(x)=-4 \cos (x+\pi)-5 sur \mathrm{I}=\mathbb{R} avec x_{0}=\pi.

2. f(x)=\cos \left(2 x+\frac{\pi}{2}\right)-\sin (4 x+\pi) et \mathrm{F}(x)=\frac{1}{2} \sin \left(2 x+\frac{\pi}{2}\right)+\frac{1}{4} \cos (4 x+\pi)-1 sur \mathrm{I}=\mathbb{R} avec x_{0}=0.

3. f(x)=7 \cos (5 x+\pi)+\frac{5 x^{4}}{6}-9 x et \mathrm{F}(x)=\frac{7}{5} \sin (5 x+\pi)+\frac{x^{5}}{6}-\frac{9 x^{2}}{2} sur \mathrm{I}=\mathbb{R} avec x_{0}=0.

4. f(x)=\frac{10}{(x+2)^{2}} et \mathrm{F}(x)=\frac{3 x-4}{x+2} sur \mathrm{I}=[0 \:;+\infty[ avec x_{0}=0.

Parmi les fonctions g et h représentées ci‑dessous, quelle est celle qui correspond à une primitive de la fonction f ?

Soit f une fonction définie sur \R dont on donne ci-dessous la représentation graphique \mathcal{C}_f.



À l'aide du graphique, déterminer les variations des primitives de f sur \R.

On a représenté deux fonctions f et g définies sur \R dans un repère du plan. Déterminer laquelle des deux est une primitive de l'autre.

On donne la représentation graphique \mathcal{C}_f d'une fonction f définie sur l'intervalle \text{I} = [-3 \:; 2] dans un repère du plan. Déterminer, en justifiant, les variations d'une primitive \text{F} de f sur \text{I.}

Lorsqu'on lui demande de déterminer une primitive de la fonction f définie sur \mathbb{R} par f(x)=\frac{3 x^{4}}{2}+3 x+7, un logiciel de calcul formel donne le résultat suivant.


1. Vérifier le résultat obtenu.

2. En déduire la primitive \text{F}_1 de f vérifiant \text{F}_1(1) = 1.

Soient \text{F} une primitive d'une fonction f définie sur un intervalle \text{I} et \text{G} la fonction définie sur \text{I} par \text{G}(x) = \text{F}(x) + k, où k désigne un réel.

1. Montrer que \text{G} est aussi une primitive de f sur \text{I.}

2. Soit \text{H} une autre primitive de f sur \text{I.} Que vaut (\mathrm{F}-\mathrm{H})^{\prime} ? En déduire que \mathrm{F}-\mathrm{H} est une fonction constante, puis conclure.

Un TGV part de la gare à l'instant t = 0 s avec une accélération constante a = 0{,}15 m/s² et sans vitesse initiale.

1. Montrer que, pour tout t \in [0 \:; 2\:500], la vitesse v(t), en m/s, est égale à v(t) = 0{,}15t.

2. Déterminer l'expression, en fonction de t, de la distance x(t), en mètre, parcourue par le TGV à l'instant t. On supposera que x(0) = 0.

3. Lors de son accélération, combien de temps le TGV aura‑t‑il mis pour parcourir les douze premiers kilomètres ?

Un solide (S) est accroché à un ressort (R) sur un axe horizontal. Il effectue des oscillations si on l'écarte de sa position d'équilibre.


À l'instant t, mesuré en seconde dans [0 \:; 300], la position du solide dans le repère (\mathrm{O} \:; \vec{i}), en mètre, est donnée par : x(t)=\frac{\sqrt{3}}{2} \cos \left(4 t-\frac{\pi}{2}\right).

Sa vitesse à l'instant t est donnée par : v(t)=-2 \sqrt{3} \sin \left(4 t-\frac{\pi}{2}\right).

Vérifier sur cet exemple, que x est bien la primitive de v vérifiant x(0) = 0.

En réponse à un exercice, on écrit : « Donc les fonctions \text{F} et \text{G} sont des primitives de f sur \R. » Rédiger un énoncé possible de cet exercice.