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Partie 1 : Analyse
Ch. 1
Suites
Ch. 2
Fonctions
Ch. 3
Dérivation
Partie 2 : Statistiques et probabilités
Ch. 4
Fréquences conditionnelles et probabilités conditionnelles
Ch. 5
Variables aléatoires
Automatismes
Partie 3 : Géométrie
Ch. 6
Trigonométrie
Ch. 7
Produit scalaire
Ch. 8
Nombres complexes
Partie 4 : Analyse
Ch. 9
Compléments sur la dérivation
Révisions Genially
Chapitre 11
Entraînement 2

Calcul de primitives

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Différenciation

Parcours 1 :
exercices  ;  ;  ;  ;  ;  ; et

Parcours 2 :
exercices  ;  ;  ;  ;  ;  ; et

Parcours 3 : exercices  ;  ;  ;  ;  ;  ; et

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Exercice 74
[Calculer.]

Dans chaque cas, déterminer une primitive de la fonction donnée sur \R.

1. f: x \mapsto 44 \sin (x)

2. g: x \mapsto x-6

3. h: x \mapsto 3 x+56

4. k: x \mapsto x^{2}+1
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Exercice 75
[Calculer.]

Dans chaque cas, déterminer toutes les primitives de la fonction donnée sur \R.

1. f: x \mapsto 2021

2. g: x \mapsto x+1

3. h: x \mapsto x^2-1

4. k: x \mapsto x^{3}-2 x^{2}+4 x
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Exercice 76
[Calculer.]

Dans chaque cas, déterminer toutes les primitives de la fonction donnée sur \R.

1. f: x \mapsto x^{4}-3 x^{3}+5 x^{2}+5 x

2. g: x \mapsto \frac{3 x^{3}}{2}+\frac{x^{2}}{4}+9 x

3. h: x \mapsto \frac{3 x^{4}}{2}+\frac{5 x^{2}}{6}+10

4. k: x \mapsto \frac{4 x^{5}}{3}+\frac{-2 x}{3}-10
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Exercice 77
[Calculer.]

Dans chaque cas, déterminer toutes les primitives de la fonction donnée sur \R.

1. f: x \mapsto \cos (6 x+9)

2. g: x \mapsto \sin (6 x-7)

3. h: x \mapsto \frac{3 x^{3}}{2}+\frac{x}{2}

4. k: x \mapsto \frac{3 x^{4}}{2}+\frac{x^{3}}{5}-7 x
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Exercice 78
[Calculer.]

Dans chaque cas, déterminer toutes les primitives de la fonction donnée sur \R.

1. f: x \mapsto \frac{-5 x^{4}}{2}+\frac{x^{2}}{7}-8 x

2. g: x \mapsto \cos (4 x+3)

3. h: x \mapsto \sin (x+9)

4. k: x \mapsto-\sin (6 x+7)
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Exercice 79
[Calculer.]

Dans chaque cas, déterminer toutes les primitives de la fonction donnée sur l'intervalle \text{I.}

1. f: x \mapsto-\sin (8 x-4)+x^{3}-\frac{9 x}{2} sur \mathrm{I}=\mathbb{R}.

2. g: x \mapsto 2 \cos (5 x-3)+x^{3}+\frac{7 x}{4} sur \mathrm{I}=\mathbb{R}.
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Exercice 80
[Calculer.]

Dans chaque cas, déterminer toutes les primitives de la fonction donnée sur l'intervalle \text{I} considéré.

1. f: x \mapsto 3 \cos (7 x)+\sin (5 x-3) sur \mathrm{I}=\mathbb{R}.

2. g: x \mapsto-4 \sin (8 x-9)-2 \cos \left(\frac{5 x}{4}-2\right) sur \mathrm{I}=\mathbb{R}.
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Exercice 81
[Calculer.]

Dans chaque cas, déterminer toutes les primitives de la fonction donnée sur l'intervalle \text{I} considéré.

1. f: x \mapsto \cos (6 x+\pi) sur \mathrm{I}=\mathbb{R}.

2. g: x \mapsto 2 \sin \left(2 x+\frac{\pi}{4}\right) sur \mathrm{I}=\mathbb{R}.
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Exercice 82
[Calculer.]

Déterminer la primitive \text{F} de la fonction f sur \R définie par f(x) = 6x + 2 et vérifiant \text{F}(1) = 2.
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Exercice 83
[Calculer.]

Déterminer la primitive \text{F} de f sur \R définie par f(x)=\frac{5 x^{2}}{8}-3 x+2 et vérifiant \text{F}(-1) = 2.
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Exercice 84
[Calculer.]

Déterminer la primitive \text{G} de g sur \R définie par g(x)=\frac{2 x^{3}+3 x^{2}+9}{5} et vérifiant \mathrm{G}(1)=1.
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Exercice 85
[Calculer.]

Dans chaque cas, déterminer la primitive \text{F} de f sur \R qui s'annule en x = -1.

1. f(x)=9 x^{2}-\frac{3 x}{5}

2. f(x)=8 x^{3}-10 x^{2}-7 x

3. f(x)=\frac{3 x^{4}}{2}-10 x+1
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Exercice 86
[Calculer.]

Déterminer la primitive \text{F} de f sur \R définie par f(x) = 4\sin(2x) - 3\sin(5x) et vérifiant \text{F}(\pi) = 0.
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Exercice 87
[Communiquer.]

Un logiciel de calcul formel donne le résultat suivant lorsqu'on lui demande de déterminer une primitive de x \mapsto \frac{5 x^{4}}{3}+2 x^{2}.
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Vérifier la réponse obtenue.
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Exercice 88
[Chercher.]

Déterminer les primitives de la fonction f définie pour tout réel x par f(x) = (4x + 7)(-2x + 3).
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Exercice 89
[Chercher.]

Déterminer les primitives sur l'intervalle \text{I} indiqué des fonctions suivantes.

1. f(x)=\left(2 x^{2}-3 x+2\right)(-2 x+1) sur \mathrm{I}=\mathbb{R}.

2. g(x)=\frac{x^{3}-3 x^{2}+2 x}{x} sur \mathrm{I}=[1 \:; 10]

3. h(x)=5\left(3 x^{2}+2 x+3\right) sur \mathrm{I}=\mathbb{R}.
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Exercice 90
[Raisonner.]

Déterminer une expression possible d'une primitive \text{F} d'une fonction f polynôme de degré 2 dont le tableau de variations correspond à celui ci‑dessous.

Chapitre 10 - Primitives
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Exercice 91
[Communiquer.]

Dans un exercice, on cherche à déterminer les primitives de la fonction f définie sur \R par :
f(x)=\left(3 x^{2}-2 x+1\right)(2 x+3).

Voici la production d'un élève.
On intègre terme à terme.
Les primitives \text{F} de f sont définies sur \mathbb{R} par \text{F}(x)=\left(x^{3}-x^{2}+x+k\right)\left(x^{2}+3 x+k\right)k \in \mathbb{R}.


Cette production comporte plusieurs erreurs. Les retrouver, puis répondre au problème initial.
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Exercice 92
[Représenter.]

Dans chaque cas, représenter, dans un repère orthogonal, la primitive \text{F} de la fonction f définie sur \R par :

1. f(x)=9 x^{2}-7 x+5 et vérifiant \mathrm{F}(1)=0.

2. f(x)=5 x^{3}+6 x-10 et vérifiant \mathrm{F}(0)=0.
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Exercice 93
[Raisonner.]

Une particule se déplace sans frottement et sans vitesse initiale le long d'un axe horizontal de repère (\mathrm{O} \:; \vec{i}) à partir du point \text{O.} Son accélération instantanée, en m/s2, est donnée à l'instant t, en seconde, pour t \in[0 \:; 180], par a(t)=\cos \left(3 t+\frac{\pi}{2}\right).

1. Déterminer, pour tout t \in[0 \:; 180], la vitesse instantanée v(t), en m/s, de la particule.

2. Exprimer, pour tout t \in[0 \:; 180], l'abscisse x(t), en mètre, de la particule à l'instant t.
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Exercice 94
[Raisonner.]

Placeholder pour Chapitre 10 - Primitives - course moto Chapitre 10 - Primitives - course moto
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Un champion de moto démarre sa course sans vitesse initiale et avec une accélération, en m/s2, donnée pendant 1{,}5 secondes par a(t) = 10t^2 + 3t,t désigne le temps écoulé en seconde depuis le début de sa course, avec t \in [0 \: ; 1{,}5].

1. Déterminer, en fonction de t, l'expression de la fonction v, représentant la vitesse instantanée de cette moto, en m/s, et primitive de a sur [0 \: ; 1{,}5].

2. Exprimer, pour tout t \in [0 \: ; 1{,}5], la distance x(t) parcourue par le champion de moto, en mètre, en choisissant x(0) = 0.

3. Quelle distance aura parcouru le champion de moto pendant la première seconde et demie de sa course ?

Dans la vie professionnelle
Les bacheliers technologiques peuvent accéder à de multiples formations du supérieur leur permettant notamment d'intégrer des écoles d'ingénieurs. Parmi ces écoles, certaines forment aux métiers de la mécanique (secteur automobile, aéronautique, cabinets d'étude). Les tâches sont nombreuses : conception de prototypes, tests et propositions d'améliorations font partie des responsabilités possibles.
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Exercice 95
[Raisonner.]

La réaction d'oxydation des ions iodures par l'eau oxygénée est donnée par l'équation chimique :
2 \mathrm{I}^{-}+\mathrm{H}_{2} \mathrm{O}_{2}+2 \mathrm{H}^{+} \rightarrow \mathrm{I}_{2}+2 \mathrm{H}_{2} \mathrm{O}.
La vitesse volumique de formation du diiode \text{I}_2, à l'instant t, est égale à v(t)=\frac{x^{\prime}(t)}{\mathrm{V}},\text{V} désigne le volume du mélange réactionnel et x(t) l'avancement molaire du diiode, en mol, à l'instant t \in[0 \:; 400], en seconde.
Avec un volume \text{V} = 0{,}1 L, la vitesse volumique de formation du diiode \text{I}_2 à l'instant t est donnée par :
v(t)=0{,}0006 t^{2}+0{,}75 t+0{,}44.

Déterminer l'expression de x(t) à l'instant t. On choisira x(0) = 0.
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Exercice 96
[Raisonner.]

Pour s'entraîner pour sa prochaine compétition, Hakim s'entraîne au plongeon. On note y(t) la position d'Hakim à l'instant t \in [0\: ; 5], en seconde, sur un axe dirigé vers le bas. Avant son plongeon, Hakim est situé à 10 m (origine de l'axe vertical) de la surface de l'eau. Il saute du plongeoir sans vitesse initiale, il subit une accélération constante g = 9{,}81 m/s2.

1. Déterminer sa vitesse v(t), puis la position y(t) de Hakim à l'instant t.

2. À quel instant t Hakim se trouvera‑t‑il à 2 m de la surface de l'eau ? Quelle sera alors sa vitesse en m/s ? En km/h ?

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Exercice 97
[Raisonner.]

Assis dans son jardin, Isaac observe la chute d'une pomme de son pommier. Soucieux de comprendre cette trajectoire, il utilise les lois de Newton.
Il admet que seule la force du poids s'applique sur la pomme. Il obtient que l'accélération instantanée a(t) de la pomme à l'instant t est constante et vaut a(t) = -9{,}8 m/s2.
On admet que la pomme tombe d'une hauteur de 2{,}5 m et sans vitesse initiale à l'instant t = 0 et on choisit 0 la hauteur du sol.

1. Calculer, pour tout t, la position x(t) de la pomme.

2. Calculer au bout de combien de temps la pomme atteint le sol. On arrondira le résultat à 0{,}1 s.
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Exercice 98
Exercice inversé

En réponse à un exercice, on écrit : « \text{F}(x) = 4x^3 + 6x - 2 ».
Rédiger un énoncé possible de cet exercice.
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Exercice 99
Exercice inversé

En réponse à un exercice, on écrit : « Pour une durée de vol t \in[0 \:; 15], la distance, en km, parcourue par l'avion s'exprime, en fonction de t, en heure, par x(t)=-0{,}5 t^{3}+25 t^{2}+210 t ».
Rédiger un énoncé possible de cet exercice.
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