La méthode d'Euler

Différenciation

Parcours 1 : exercices

54

 ;

58

 ;

61

 ;

65

 ;

74

 ;

75

 ;

82

et

100

Parcours 2 : exercices

55

 ;

59

 ;

62

 ;

66

 ;

76

 ;

77

 ;

83

et

102

Parcours 3 : exercices

57

 ;

60

 ;

63

 ;

78

 ;

79

 ;

86

 ;

88

et

101

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathrm{I}=[0;0,5]$ par : $f(x)=\frac{1}{1-x^2}.$
À l'aide de la méthode d'Euler, on veut déterminer de manière approchée la primitive $\mathrm{F}$ de $f$ sur $[0;0,5]$ vérifiant $\mathrm{F}(0)=1.$ On choisit un pas $h=0,05.$

1. En choisissant un pas de $0,05,$ avec combien de points allons‑nous approcher la courbe représentative de la primitive cherchée ?

2. a. Quelle formule doit‑on entrer en C2 afin de calculer les images de $x_n$ ?

b. En utilisant l'approximation affine $\mathrm{F}(a+h)\approx \mathrm{F}(a)+h\times f(a),$ donner la formule à entrer en D3 pour compléter par copie la colonne D de la feuille de calcul.

3. Afficher le nuage de points approchant la courbe représentative de la fonction $\text{F.}$

4. En complément du nuage de points, utiliser le tableur pour faire apparaître la courbe représentative de la fonction $g$ définie par $g(x)=\mathrm{argth}(x)+1.$

Aide

Sur tableur, la fonction $x\mapsto \mathrm{argth}(x)$ s'utilise avec la commande $\text{ATANH}$.

Quelle conjecture peut‑on émettre ?

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathrm{I}=[0;10]$ par : $f(x)=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}.$
On souhaite déterminer, par la méthode d'Euler, une approximation de la courbe représentative de la primitive $\mathrm{F}$ de $f$ vérifiant $\mathrm{F}(0)=0.$ On choisira dans cet exercice un pas $h=0,5.$

1. En utilisant l'approximation affine $\mathrm{F}(a+h)\approx \mathrm{F}(a)+h\times f(a),$ compléter le tableau ci‑dessous.

2. Construire le nuage de points approchant la courbe représentative de la fonction $\text{F.}$

3. Tracer, à l'aide du logiciel utilisé, la courbe représentative de la fonction $\mathrm{argsh}(x).$ Que peut-on constater ?