Primitives

Déterminer la dérivée de chacune des fonctions suivantes sur leur ensemble de définition $\text{I.}$

1. $f(x)=-9x+5;$ $\mathrm{I}=\mathbb{R}$

2. $g(x)=x^2;$ $\mathrm{I}=\mathbb{R}$

3. $h(x)=\frac{1}{x};$ $\mathrm{I}={\mathbb{R}}^{\ast }$

4. $k(x)=\cos (x);$ $\mathrm{I}=\mathbb{R}$

5. $\ell (x)=\sin (x);$ $\mathrm{I}=\mathbb{R}$

Soit $f$ la fonction définie pour tout réel $x$ par : $f(x)=4x^2-3x+2.$
Déterminer la fonction dérivée de $f.$

Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=x^2\sin (x).$
Déterminer la fonction dérivée de $g.$

Soient $k$ et $\ell$ les fonctions définies respectivement sur ${\mathbb{R}}^{\ast }$ et sur $\mathbb{R}\setminus \left\{-\frac{1}{3}\right\}$ par : $k(x)=\frac{1}{x^2}$ et $\ell (x)=\frac{-2x+1}{6x+2}.$

Déterminer les fonctions dérivées de $k$ et de $\ell .$

Soient $\ell$ et $m$ les fonctions définies respectivement sur $\mathbb{R}$ par :

$\ell (x)=4\cos (3x-5)$ et $m(x)=\sin \left(\frac{\pi }{2}x+\frac{\pi }{4}\right).$

Déterminer les fonctions dérivées de $\ell$ et de $m.$

On considère dans le repère ci‑dessous la courbe représentative d'une fonction.


1. Dans cette question, la courbe représente une fonction $f$ définie et dérivable sur $\mathbb{R}.$ Déterminer le signe de la fonction $f^{\prime }$ sur $\mathbb{R}.$

2. Dans cette question, la courbe représente la dérivée $f^{\prime }$ d'une fonction $f$ définie et dérivable sur $\mathbb{R}.$ Déterminer les variations de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}.$

À l'instant $t=0,$ Lucie lâche verticalement et sans vitesse initiale une bille d'une hauteur $h.$ On note $t_0$ l'instant auquel la bille touche le sol.
L'altitude $y(t),$ en mètre, de la bille pendant sa chute en fonction du temps $t\in \left[0;t_0\right],$ en seconde, est donnée par l'équation horaire : $y(t)=h-\frac{1}{2}g{t}^2,$ où $g$ désigne l'accélération de la pesanteur. On prendra $g=9,81$ m/s².

1. Déterminer, en fonction de $h$ et de $g,$ l'instant $t_0$ auquel la bille touche le sol.

2. Exprimer, pour tout $t\in \left[0;t_0\right],$ la vitesse $v(t)$ de la bille pendant sa chute.

3. Calculer la vitesse en m/s de la bille au moment de l'impact au sol. On choisira $h=2$ m.

4. Exprimer, pour tout $t\in \left[0;t_0\right],$ l'accélération $a(t)$ de la bille pendant sa chute.