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Partie 1 : Analyse
Ch. 1
Suites
Ch. 2
Fonctions
Ch. 3
Dérivation
Partie 2 : Statistiques et probabilités
Ch. 4
Fréquences conditionnelles et probabilités conditionnelles
Ch. 5
Variables aléatoires
Automatismes
Partie 3 : Géométrie
Ch. 6
Trigonométrie
Ch. 7
Produit scalaire
Ch. 8
Nombres complexes
Partie 4 : Analyse
Ch. 9
Compléments sur la dérivation
Révisions Genially
Chapitre 10
Avant de commencer
Spécialités STI2D - STL

Primitives

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Capacités attendues

1. Calculer des primitives.
2. Construire, point par point, par la méthode d'Euler, une approximation de la courbe représentative de la solution d'un problème de Cauchy du type y^{\prime}=f(t) et y\left(t_{0}\right)=y_{0}.
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Les primitives sont des notions incontournables de par leurs nombreuses applications en physique, comme pour l'étude du mouvement d'une personne ou d'un objet, et en biologie.
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Rappels théoriques

Supplément numérique

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Connaître les dérivées de fonctions de référence :
Fonctions Ensemble de définitionFonctions dérivéesEnsemble de dérivabilité
x^n avec n entier non nul\Rnx^{n-1}\R
\frac{1}{x}\mathrm{R} \backslash\{0\}-\frac{1}{x^2}\mathrm{R} \backslash\{0\}
\cos(x)\R-\sin(x)\R
\sin(x)\R\cos(x)\R
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Connaître la dérivée d'une somme, d'un produit, d'un quotient de fonction et d'une fonction de la forme \boldsymbol{x \mapsto f(ax+b)} :

Propriété :

Soient k un nombre réel et u, v deux fonctions définies et dérivables sur un intervalle \text{I}.
  • Les fonctions ku, u+v, u \times v sont dérivables sur \text{I} ;
  • Si la fonction v ne s'annule pas sur \text{I}, les fonctions \dfrac{1}{v} et \dfrac{u}{v} sont dérivables sur \text{I} ;
  • Leurs dérivées sont données dans le tableau ci‑dessous.

Fonctions Fonctions dérivées
k \times u, k \in \mathbb{R}k \times u^{\prime}
u+vu^{\prime}+v^{\prime}
u \times vu^{\prime} \times v+u \times v^{\prime}
\frac{1}{v} avec v(x) \neq 0 sur \mathrm{I}-\frac{v^{\prime}}{v^{2}}
\frac{u}{v} avec v(x) \neq 0 sur \mathrm{I}\frac{u^{\prime} \times v-u \times v^{\prime}}{v^{2}}

Propriété :

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle \text{I} et a, b des nombres réels quelconques. Soit g une fonction définie sur un intervalle \text{J} tel que pour tout x dans \text{I}, ax+b est dans \text{J,} par g(x) = f(ax + b).
Alors :
  • g est dérivable sur \text{J} ;
  • la fonction dérivée de g est g^\prime(x) = af^\prime(ax+b).
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Exercices

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Prérequis

1. Connaître les dérivées de fonctions de référence.
2. Connaître la dérivée d'une somme, d'un produit, d'un quotient de fonction et d'une fonction de la forme x \mapsto f(a x+b).
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Exercice 1
Dérivée des fonctions de référence

Déterminer la dérivée de chacune des fonctions suivantes sur leur ensemble de définition \text{I.}

1. f(x)=-9 x+5 \:; \mathrm{I}=\mathbb{R}

2. g(x)=x^{2} \:; \mathrm{I}=\mathbb{R}

3. h(x)=\frac{1}{x} \:; \mathrm{I}=\mathbb{R}^{*}

4. k(x)=\cos (x)\: ; \mathrm{I}=\mathbb{R}

5. \ell(x)=\sin (x) \:; \mathrm{I}=\mathbb{R}
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Exercice 2
Dérivée d'une somme

Soit f la fonction définie pour tout réel x par : f(x) = 4x^2 - 3x + 2.
Déterminer la fonction dérivée de f.
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Exercice 3
Dérivée d'un produit

Soit g la fonction définie sur \R par g(x) = x^2 \sin(x).
Déterminer la fonction dérivée de g.
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Exercice 4
Dérivée d'un quotient

Soient k et \ell les fonctions définies respectivement sur \mathbb{R}^{*} et sur \mathbb{R} \setminus \left\{-\frac{1}{3}\right\} par : k(x)=\frac{1}{x^{2}} et \ell(x)=\frac{-2 x+1}{6 x+2} .

Déterminer les fonctions dérivées de k et de \ell.
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Exercice 5
Dérivée d'une fonction de la forme \boldsymbol{x} \mapsto \boldsymbol{f}(\boldsymbol{a x}+\boldsymbol{b})

Soient \ell et m les fonctions définies respectivement sur \R par :
\ell(x)=4 \cos (3 x-5) et m(x)=\sin \left(\frac{\pi}{2} x+\frac{\pi}{4}\right).
Déterminer les fonctions dérivées de \ell et de m.
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Exercice 6
Signe et variations

On considère dans le repère ci‑dessous la courbe représentative d'une fonction.

Chapitre 10 - Primitives
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1. Dans cette question, la courbe représente une fonction f définie et dérivable sur \R. Déterminer le signe de la fonction f^{\prime} sur \R.

2. Dans cette question, la courbe représente la dérivée f^{\prime} d'une fonction f définie et dérivable sur \R. Déterminer les variations de la fonction f sur \R.
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Anecdote

John Glenn a été le premier Américain à effectuer un vol en orbite autour de la Terre grâce à la méthode d'Euler mise au point par Leonhard Euler en 1768.
Placeholder pour Portrait John Glenn - AnecdotePortrait John Glenn - Anecdote
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Exercice 7
Problème

Placeholder pour Billes - Chapitre 10 - PrimitivesBilles - Chapitre 10 - Primitives
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À l'instant t = 0, Lucie lâche verticalement et sans vitesse initiale une bille d'une hauteur h. On note t_0 l'instant auquel la bille touche le sol.
L'altitude y(t), en mètre, de la bille pendant sa chute en fonction du temps t \in\left[0 \:; t_{0}\right], en seconde, est donnée par l'équation horaire : y(t)=h-\frac{1}{2} g t^{2},g désigne l'accélération de la pesanteur. On prendra g = 9{,}81 m/s2.

1. Déterminer, en fonction de h et de g, l'instant t_0 auquel la bille touche le sol.

2. Exprimer, pour tout t \in\left[0 \:; t_{0}\right], la vitesse v(t) de la bille pendant sa chute.

Aide
La vitesse est la dérivée de la position.
3. Calculer la vitesse en m/s de la bille au moment de l'impact au sol. On choisira h = 2 m.

4. Exprimer, pour tout t \in\left[0 \:; t_{0}\right], l'accélération a(t) de la bille pendant sa chute.

Aide
L'accélération est la dérivée de la vitesse.
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Testez vos connaissances sur ce quiz

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Retrouvez un à réaliser en classe pour vérifier les prérequis de ce chapitre

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