Primitives

Introduire la primitive d'une fonction.

Le métro de la ligne $3$ part de la gare Saint-Lazare de Paris en direction de la station Europe. Peu après son départ, sa vitesse passe de $0$ km/h, à l'instant $t=0$ seconde, à $18,9$ km/h en $60$ secondes avec une accélération constante égale à $0,0875$ m/s².

b. Calculer $v_1(60).$ Le résultat est‑il cohérent avec les informations de l'énoncé ?

2. En utilisant le fait que ${x_1}^{\prime }(t)=v_1(t)$ et $x_1(0)=0,$ exprimer la distance $x_1(t),$ en métre, parcourue par le métro en fonction de $t.$

3. Quelle distance, en mètre, ce métro a‑t‑il parcouru pendant les $60$ secondes ?

Devant la rame de métro étudiée en partie A s'en trouve une autre qui, elle, doit freiner à l'approche de la station Europe.
On suppose que la phase de freinage débute également à l'instant $t=0,$ c'est‑à‑dire au moment où le métro de la partie A quitte la station.

On admet que :

• lors du début du freinage, le métro se trouve en position $x_2(0)=395$ ;
• la vitesse du métro à l'instant $t=0$ est de $26,1$ km/h, soit $7,25$ m/s ;
• la décélération est constante tant que le train n'est pas arrêté : elle sera modélisée par la fonction $a_2$ définie par $a_2(t)=-0,12$ m/s² sur un intervalle qui sera précisé dans la suite.

1. a. Justifier que la vitesse $v_2(t)$ du métro durant cette phase, en mètre par seconde, est définie en fonction du temps $t,$ en seconde, par $v_2(t)=-0,12t+7,25.$

b. En déduire la durée au bout de laquelle le train sera à l'arrêt.

2. Exprimer, pour cette rame de métro, $x_2(t)$ en fonction de $t.$

3. Déterminer sur quelle distance, en mètre, le métro a freiné avant son arrêt complet.

La démarche utilisée dans cette activité permet de retrouver une fonction dont on connaît l'expression de la dérivée. C'est ce qu'on appelle une recherche de primitives.

1. Donner une primitive sur $\mathbb{R}$ d'une fonction constante $\mathbf{t}\mapsto \mathbf{a},$ où $\mathbf{a}$ est un réel.

2. Donner une primitive sur $\mathbb{R}$ de la fonction $\mathbf{t}\mapsto \mathbf{t}.$

3. Déduire des deux questions précédentes une primitive sur $\mathbb{R}$ d'une fonction affine $\mathbf{t}\mapsto \mathbf{mt}+\mathbf{p},$ où $\mathbf{m}$ et $\mathbf{p}$ sont des réels.

Découvrir le lien entre deux primitives d'une même fonction sur un intervalle.

Soient $\text{G}$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $\text{G}(x)=-4x^2+6x-8$ et $\text{H}$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $\text{H}(x)=-4x^2+6x+12.$


2. Calculer, pour tout $x\in \mathbb{R},$ $\text{G}(x)-\mathrm{H}(x).$ Que peut‑on dire de cette différence ?

3. Déterminer d'autres primitives de la fonction $g$ sur $\mathbb{R}$ et calculer leurs différences.

Si ${\mathbf{F}}_1$ et ${\mathbf{F}}_2$ sont deux primitives d'une même fonction $\mathbf{f}$ sur un intervalle $\mathbf{I},$ que peut‑on dire de la différence ${\mathbf{F}}_1-{\mathbf{F}}_2$ ?

Découvrir comment calculer une primitive.

1. Compléter le tableau des primitives des fonctions de référence ci‑dessous.

2. Dans un devoir maison en binôme, Léa et Léo doivent déterminer les primitives des fonctions $f,$ $g,$ $h$ et $\ell$ définies sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=7x^2-5x+2,$ $g(x)=7x^5-3x^4-\frac{3}{7}x-8,$ $h(x)=6\cos \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$ et $\ell (x)=7\sin \left(2x+\frac{\pi }{8}\right).$

Léo a déjà déterminé toutes les primitives :

• $\text{F},$ primitive de la fonction $f,$ vérifiant, pour tout réel $x,$ $\mathrm{F}(x)=\frac{7x^3}{3}-\frac{5x^2}{2}+2x+k,$ avec $k\in \mathbb{R}$ ;


• $\text{G},$ primitive de la fonction $g,$ vérifiant, pour tout réel $x,$ $\text{G}(x)=\frac{7x^6}{6}-\frac{3x^5}{5}-\frac{3x^2}{14}-8x+k,$ avec $k\in \mathbb{R}$ ;


• $\text{H},$ primitive de la fonction $h,$ vérifiant, pour tout réel $x,$ $\mathrm{H}(x)=6\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)+k,$ avec $k\in \mathbb{R}$ ;


• $\text{L},$ primitive de la fonction $\ell ,$ vérifiant, pour tout réel $x,$ $\mathrm{L}(x)=\frac{-7}{2}\cos \left(2x+\frac{\pi }{8}\right)+k,$ avec $k\in \mathbb{R}$ ;

Il lui reste à expliquer à Léa comment il a déterminé chacune de ces primitives. Rédiger les explications de Léo.

Comment calculer les primitives d'une somme de fonctions de référence ?
Déterminer une primitive de la fonction \boldsymbol{x} \mapsto \boldsymbol{a}_\boldsymbol{3} \boldsymbol{x}^\boldsymbol{3}+\boldsymbol{a}_\boldsymbol{2} \boldsymbol{x}^\boldsymbol{2}+\boldsymbol{a}_\boldsymbol{1} \boldsymbol{x}+\boldsymbol{a}_\boldsymbol{0}, où \boldsymbol{a}_\boldsymbol{0}, \boldsymbol{a}_\boldsymbol{1}, \boldsymbol{a}_\boldsymbol{2} et \boldsymbol{a}_\boldsymbol{3} sont des réels.