Primitive d'une fonction sur un intervalle

Soit $\text{F}$ une fonction définie sur un intervalle $\text{I.}$ On dit que $\text{F}$ est une primitive de $\mathbf{f}$ sur $\mathbf{I}$ lorsque $\text{F}$ est dérivable sur $\text{I}$ et ${\text{F}}^{\prime }=f$ sur $\text{I.}$
Dans le sens de la dérivation, on a donc $\mathrm{F}\stackrel{\text{ se deˊrive en }}{⟶}f\stackrel{\text{ se deˊrive en }}{⟶}{f}^{\prime }.$

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $\text{I}$ admettant une primitive $\text{F}$ sur cet intervalle.
Alors le signe de $f$ donne les variations de $\text{F.}$

Soient $f$ et $\text{F}$ les fonctions définies sur $\mathbb{R}$ par $\mathrm{F}(x)=\left(-x^2+2x+7\right)(3x-4)$ et $f(x)=-9x^2+20x+13.$ Montrer que $\text{F}$ est une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}.$

• On calcule la dérivée ${\text{F}}^{\prime }$ de $\text{F.}$
• On vérifie qu'on a bien ${\text{F}}^{\prime }=f.$
• D'après la définition, cela signifie que$\text{ F}$ est bien une primitive de $f$ sur l'intervalle étudié.

Voir

exercie 69 p. 273

.

Les primitives de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(t)=2t+5$ sont les fonctions $\text{F}$ définies sur $\mathbb{R}$ par $\mathrm{F}(t)=t^2+5t+k,$ où $k$ est une constante réelle.

Soit $f$ une fonction admettant des primitives sur un intervalle $\text{I.}$ Soient $x_0$ un réel appartenant à $\text{I}$ et $y_0$ un réel quelconque. Il existe une unique primitive $\text{F}$ de la fonction $f$ sur $\text{I}$ telle que $\text{F}(x_0)=y_0.$

La fonction $\text{F}$ définie sur $\mathbb{R}$ par $\text{F}(x)=x^2+5x+1$ est l'unique primitive de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=2x+5$ vérifiant $\text{F}(0)=1.$

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=3x^2-8x-3.$

1. Montrer que la fonction $f_1$ définie, pour tout réel $x,$ par $f_1(x)=x^3-4x^2-3x$ est une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}.$
2. Déterminer l'ensemble des primitives de $f$ sur $\mathbb{R}.$
3. Déterminer la primitive ${\text{F}}_1$ de $f$ telle que ${\text{F}}_1(0)=1.$

1.  On utilise la méthode présentée dans l'application de la page précédente.

2. Les primitives d'une même fonction diffèrent d'une constante.

3. On détermine $\text{F}(x_0)$ de deux manières : d'une part l'énoncé donne $\text{F}(x_0)=y_0,$ d'autre part le calcul donne une autre expression de $\text{F}(x_0).$
Les deux quantités étant égales, on obtient la valeur de $k$ en résolvant l'équation.

1.  On calcule la dérivée de $f_1.$ On a ${f_1}^{\prime }(x)=3x^2-8x-3.$
Ainsi, pour tout $x\in \mathbb{R},$ on a ${f_1}^{\prime }(x)=f(x)$ donc $f_1$ est bien une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}.$

2. L'ensemble des primitives de $f$ sur $\mathbb{R}$ sont les fonctions $\text{F}$ définies par $\text{F}(x)=x^3-4x^2-3x+k,$ avec $x\in \mathbb{R}.$

3. ${\text{F}}_1$ est une primitive $f$ sur $\mathbb{R}$ donc il existe $k\in \mathbb{R}$ tel que, pour tout réel $x,$ ${\text{F}}_1(x)=x^3-4x^2-3x+k.$
D'après l'énoncé, on sait que ${\mathrm{F}}_1(0)=1.$
De plus, le calcul donne ${\mathrm{F}}_1(0)=0^3-4\times 0^2-3\times 0+k=k.$
Puisque ${\mathrm{F}}_1(0)={\mathrm{F}}_1(0),$ on obtient $k=1.$
Ainsi, pour tout $x\in \mathbb{R},$ ${\mathrm{F}}_1(x)=x^3-4x^2-3x+1.$

Pour s'entraîner : exercices

41

et

43 p. 271