Soit \text{F} une fonction définie sur un intervalle \text{I.} On dit que \text{F} est une primitive de \boldsymbol{f} sur \mathbf{I} lorsque \text{F} est dérivable sur \text{I} et \text{F}^{\prime} = f sur \text{I.}
Dans le sens de la dérivation, on a donc \mathrm{F} \stackrel{\text { se dérive en }}{\longrightarrow} f \stackrel{\text { se dérive en }}{\longrightarrow} f^{\prime}.

Soit f une fonction définie sur un intervalle \text{I} admettant une primitive \text{F} sur cet intervalle.
Alors le signe de f donne les variations de \text{F.}

Soient f et \text{F} les fonctions définies sur \R par \mathrm{F}(x)=\left(-x^{2}+2 x+7\right)(3 x-4) et f(x)=-9 x^{2}+20 x+13. Montrer que \text{F} est une primitive de f sur \R.

• On calcule la dérivée \text{F}^{\prime} de \text{F.}
• On vérifie qu'on a bien \text{F}^{\prime} = f.
• D'après la définition, cela signifie que\text{ F} est bien une primitive de f sur l'intervalle étudié.

Voir

exercie 69 p. 273

.

Les primitives de la fonction f définie sur \R par f(t) = 2t + 5 sont les fonctions \text{F} définies sur \R par \mathrm{F}(t)=t^{2}+5 t+k, où k est une constante réelle.

Soit f une fonction admettant des primitives sur un intervalle \text{I.} Soient x_0 un réel appartenant à \text{I} et y_0 un réel quelconque. Il existe une unique primitive \text{F} de la fonction f sur \text{I} telle que \text{F}(x_0) = y_0.

La fonction \text{F} définie sur \R par \text{F}(x) = x^2 + 5x + 1 est l'unique primitive de la fonction f définie sur \R par f(x) = 2x + 5 vérifiant \text{F}(0) = 1.

Soit f la fonction définie sur \R par f(x) = 3x^2 - 8x - 3.

1. Montrer que la fonction f_1 définie, pour tout réel x, par f_1(x) = x^3 - 4x^2 - 3x est une primitive de f sur \R.
2. Déterminer l'ensemble des primitives de f sur \R.
3. Déterminer la primitive \text{F}_1 de f telle que \text{F}_1(0) = 1.

1.  On utilise la méthode présentée dans l'application de la page précédente.

2. Les primitives d'une même fonction diffèrent d'une constante.

3. On détermine \text{F}(x_0) de deux manières : d'une part l'énoncé donne \text{F}(x_0) = y_0, d'autre part le calcul donne une autre expression de \text{F}(x_0).
Les deux quantités étant égales, on obtient la valeur de k en résolvant l'équation.

1.  On calcule la dérivée de f_1. On a {f_{1}}^{\prime}(x)=3 x^{2}-8 x-3.
Ainsi, pour tout x \in \R, on a {f_{1}}^{\prime}(x) = f(x) donc f_1 est bien une primitive de f sur \R.

2. L'ensemble des primitives de f sur \R sont les fonctions \text{F} définies par \text{F}(x) = x^3 - 4x^2 - 3x + k, avec x \in \R.

3. \text{F}_1 est une primitive f sur \R donc il existe k \in \R tel que, pour tout réel x, \text{F}_1(x) = x^3 - 4x^2 - 3x + k.
D'après l'énoncé, on sait que {\color{red}\mathrm{F}_{1}(0)} = 1.
De plus, le calcul donne {\color{green}\mathrm{F}_{1}(0)} = 0^{3}-4 \times 0^{2}-3 \times 0+k=k.
Puisque {\color{red}\mathrm{F}_{1}(0)}={\color{green}\mathrm{F}_{1}(0)}, on obtient k = 1.
Ainsi, pour tout x \in \R, \mathrm{F}_{1}(x)=x^{3}-4 x^{2}-3 x+1.

Pour s'entraîner : exercices

41

et

43 p. 271