Méthode d'Euler

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\frac{1}{1+x^2}.$
On souhaite approcher par la méthode d'Euler la primitive $\text{F}$ de $f$ vérifiant $\text{F}(0)=0.$
On choisit de représenter $\text{F}$ sur $\text{I}=[0;2].$
On commence par choisir un pas $h>0.$ On pose $x_0=0$ et, pour tout entier naturel $n,$ $x_{n+1}=x_n+h,$ puis on définit les points $\text{M}(x_n;y_n)$ proches de la courbe représentative de $\text{F.}$


1. Exprimer $x_1$ en fonction de $h.$

2. Justifier que $y_0=0.$

3. En utilisant l'approximation $\mathrm{F}(a+h)\approx \mathrm{F}(a)+h\times f(a)$ avec $h$ proche de $0$ et $a$ appartenant à $\text{I,}$ exprimer $y_1$ en fonction de $h.$

Construire sur $[0;2],$ point par point avec la méthode d'Euler, une approximation de la courbe représentative de la solution d'un problème du type ${\mathbf{y}}^{\prime }(\mathbf{x})=\mathbf{f}(\mathbf{x})$ et \boldsymbol{y}\left(\boldsymbol{x}_\boldsymbol{0}\right)=\boldsymbol{y}_\boldsymbol{0}, en utilisant une des deux méthodes.

Dans une feuille de calcul, on construit un tableau donnant les valeurs de $x_n$ et $y_n,$ où $n$ est un entier naturel de $0$ à $20.$
On entre la valeur $0$ dans la cellule B2, la valeur $0$ dans la cellule C2 et on choisit pour pas $h=0,1.$
On obtient alors la feuille de calcul suivante.


1. Quelles formules doit-on saisir dans les cellules B3 et C3, puis étirer vers le bas, pour obtenir les valeurs sucessives de $x_n$ et de $y_n$ ?

2. Représenter le nuage de points $\text{M}(x_n;y_n).$

On donne ci‑après un programme en langage Python qui permet d'afficher une approximation de la courbe représentative de $\text{F}$ sur l'intervalle $\text{I}=[0;2].$

1. Que représente $y_0$ ?

2. Compléter la ligne 4 du programme.

3. Que représentent les variables $\mathbf{h}$ et $\mathbf{n}$ ?

4. Compléter le programme dans la boucle $\mathbf{for}$ pour afficher une approximation de la courbe représentative de $\text{F}$ sur l'intervalle $\text{I}=[0;2].$

5. Afficher cette approximation de la courbe représentative de $\text{F}$ sur l'intervalle $\text{I}=[0;2]$ pour $n=1000.$

from matplotlib.pyplot import *

def f(x):
  return ...

def Euler(fonctionf, x0, y0, xf, n):
  x = x0
  y = y0
  X = [x]
  Y = [y]
  h = (xf-x0)/n
  for i in range(n):
    x = x + h
    y = ...
    X.append(x)
    Y.append(y)
  plot(X, Y, 'ro')
  grid()
  show()

En complément du nuage de points représenté, faire apparaître la courbe représentative de la fonction arctangente définie sur $\mathbb{R}$ par $x\mapsto \arctan (x)$ (fonction ATAN sur Excel ou arctan de la bibliothèque Python numpy).

Quelle conjecture peut‑on émettre ?