Synthèse

Afin de rentabiliser au mieux son service de location, un plagiste décide d'étudier le bénéfice réalisé en fonction du prix du forfait de location qu'il propose. Il souhaite par ailleurs conserver le prix de son forfait entre $5$ et $25$ €.
Il s'aperçoit que plus le prix du forfait est élevé, moins les clients sont nombreux. Il a donc modélisé le nombre de clients par semaine par une fonction $\text{N}$ définie en fonction du prix du forfait $x,$ par $\mathrm{N}(x)=610-22x,$ $x\in [5;25].$


1. Déterminer le nombre de clients et le chiffre d'affaires si le prix du forfait est $17$ €.

2. Justifier que le chiffre d'affaires hebdomadaire, noté $c(x),$ pour un prix du forfait s'élevant à $x$ €, est donné par $c(x)=610x-22x^2.$

3. Le coût de revient hebdomadaire $r(x)$ associé à $\mathrm{N}(x)$ clients pour un forfait à $x$ € est donné $\mathrm{par}r(x)=5x^2+5x.$ On note $b(x)$ le bénéfice hebdomadaire en euro.

a. Exprimer, pour tout $x\in [5;25],$ $b(x)$ en fonction de $x.$

b. Pour quelle valeur de $x$ le bénéfice est‑il maximal ? Interpréter le résultat.

c. On appelle bénéfice moyen de $b$ sur $[5;25]$ la quantité $\frac{\mathrm{B}(25)-\mathrm{B}(5)}{25-5},$ où $\text{B}$ désigne une primitive de $b$ sur $[5;25].$ Calculer le bénéfice moyen en euro.

Afin de s'arrêter pour pêcher, le bateau Ancre Noire doit ralentir avec une décélération égale à $-0,20$ m/s² après avoir atteint une vitesse maximale égale à $54$ km/h.
On note $t=0$ l'instant auquel débute la décélération.
On prendra $t\in [0;75],$ exprimé en seconde.

1. Déterminer $v(t),$ vitesse de ralentissement à l'instant $t.$

2. Déterminer $x(t),$ la distance parcourue à l'instant $t$ par le bateau. On choisira $x(0)=0.$

3. Déterminer sur quelle distance, en mètre, le bateau a freiné avant son arrêt complet.

Au démarrage de sa course en Jet‑ski, Tom passe de $0$ à $125$ km/h en $3,2$ secondes avec une accélération constante.

1. Vérifier que l'accélération moyenne pour passer de $0$ à $125$ km/h en $3,2$ secondes vaut environ $10,85$ m/s².

2. Déterminer la vitesse de Tom à l'instant $t\in [0;3,2]$ en seconde, notée $v(t),$ exprimée en m/s. Vérifier que $v(3,2)\approx 34,72.$

3. Déterminer l'expression de la distance parcourue par Tom à l'instant $t,$ notée $x(t),$ exprimée en mètre.

Soient $f$ et $h$ les fonctions définies sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)=(\cos (x)+\sin (x){)}^2$ et $h(x)={\sin }^2(x).$

1. Développer $(\cos (x)+\sin (x){)}^2.$

2. Déterminer, pour tout $x\in \mathbb{R},$ $h^{\prime }(x).$

3. En déduire la primitive $\text{F}$ de $f$ telle que $\text{F}(0)=0.$

Soit $f$ la fonction définie, pour tout réel $x,$ par : $f(x)=-\sin (x)\cos (x).$

1. Déterminer la dérivée de $\text{G}$ définie, pour tout réel $x,$ par $\text{G}(x)={\cos }^2(x).$

2. En déduire la primitive $\text{F}$ de $f$ telle que $\text{F}(0)=0.$

Dans le jeu pile ou face, on lance une pièce de monnaie vers le haut avec une vitesse $v_0=5$ m/s à partir d'une d'une table. On aimerait savoir à quel instant la pièce retombe sur la table.
L'accélération en fonction du temps $t$ de la pièce est constante. Elle est égale à $-9,8$ m/s².

1. Déterminer la vitesse $v(t)$ de la pièce à l'instant $t.$

2. Déterminer la hauteur de la pièce $x(t)$ à l'instant $t$ vérifiant $x(0)=0,$ la hauteur de la table.

3. En déduire à quel instant la pièce retombe sur la table.

Juliette se rend au lycée en trottinette. Sa vitesse en m/s à l'instant $t$ est notée $v(t),$ avec $t\in [0;340],$ en seconde, et est représentée dans le graphique ci‑dessous.


1. Déterminer, sur $[0;80],$ la primitive $\text{V}$ de $v$ telle que $\mathrm{V}(0)=0.$ En déduire la distance parcourue par Juliette au bout de $80$ secondes.

2. Déterminer la distance parcourue par Juliette au bout de $5$ minutes.

3. Montrer que sur $[300;340],$ on a $v(t)=-0,08t+27,2.$

4. Déterminer sur $[300;340]$ la primitive $\mathrm{V}$ de $v$ en utilisant $\mathrm{V}(300).$ En déduire la distance parcourue par Juliette pour aller au lycée.

Le graphique ci‑dessus représente la puissance à l'instant $t,$ en seconde, d'une perceuse d'une puissance $\text{P}=900$ W pendant une utilisation de deux minutes.

1. Déterminer pour $t\in [0;30],$ la puissance $\mathrm{P}(t)$ à l'instant $t.$

2. Pour tout $t\in [0;120],$ on note $\mathrm{E}(t)$ l'énergie consommée par la perceuse à l'instant $t.$ On admet que, pour tout $t\in [0;120],$ $\mathrm{P}(t)={\mathrm{E}}^{\prime }(t).$ Déterminer $\mathrm{E}(t)$ pour $t\in [0;30].$

3. De même, déterminer $\mathrm{E}(t)$ pour $t\in [30;90].$

4. Montrer que, pour $t\in [90;120],$ $\mathrm{P}(t)=3600-30t.$ En déduire $\mathrm{E}(t),$ connaissant $\mathrm{E}(90).$

Un palet glisse sans frottement et avec une vitesse initiale nulle le long d'un axe horizontal muni d'un repère $(\mathrm{O};\overrightarrow{i}).$ Le palet a une accélération à l'instant $t$ égale à $a(t)=\cos \left(2t+\frac{\pi }{2}\right)$ avec $t\in [0;180],$ en seconde.

1. Déterminer $v(t),$ la vitesse du palet à l'instant $t.$

2. Déterminer $x(t),$ la distance parcourue par le palet à l'instant $t,$ en utilisant le fait que $x(0)=0.$

Quel est ce nombre ?

• Son chiffre des centaines est égal au quart de l'image de $0$ par $\mathrm{F},$ où $\mathrm{F}$ désigne la primitive de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=4x^3-2x$ et vérifiant $\mathrm{F}(1)=4.$


• Son chiffre des dizaines est égal à l'image de $\frac{\pi }{2}$ par $\text{G,}$ où $\text{G}$ désigne la primitive de la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=3\cos \left(3x+\frac{\pi }{2}\right)$ et vérifiant $\text{G}(\pi )=0.$


• Son chiffre des unités est égal à l'image de $\frac{\pi }{2}$ par $\mathrm{H},$ où $\text{H}$ désigne la primitive de la fonction $h$ définie sur $\mathbb{R}$ par $h(x)=\sin (x+\pi )$ et vérifiant $\mathrm{H}(\pi )=8.$

Soient $f$ et $g$ deux fonctions affines définies, pour tout $x\in \mathbb{R},$ par $f(x)=mx+p$ et $g(x)=rx+s$ avec $m,$ $p,$ $r$ et $s$ des nombres réels.

Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur les nombres $r,$ $s,$ $m$ et $p$ pour que, pour tout $x\in \mathbb{R},$ la primitive $\mathrm{F}$ de $f$ telle que $\mathrm{F}(0)=0$ puisse s'exprimer sous la forme $\mathrm{F}(x)=x\times g(x).$