Applications directes

Dans chaque cas, montrer que la fonction $\text{F}$ est une primitive de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}.$

1. $\mathrm{F}:x\mapsto 6x-3$ et $f:x\mapsto 6.$

2. $\mathrm{F}:x\mapsto 5x^2+3x$ et $f:x\mapsto 10x+3.$

3. $\mathrm{F}:x\mapsto \frac{2x^3}{3}+5x$ et $f:x\mapsto 2x^2+5.$

4. $\mathrm{F}:x\mapsto \frac{1}{3}\sin (3x+2)+9x-5$ et $f:x\mapsto \cos (3x+2)+9.$

5. $\mathrm{F}:x\mapsto -\cos (2x+2)+6x-\sqrt{3}$ et $f:x\mapsto 2\sin (2x+2)+6.$

Dans chacun des cas suivants, déterminer les valeurs possibles de $a,$ $b,$ $c$ et $d$ pour lesquelles $\text{F}$ est une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}.$

1. $f(x)=-5x+9$ et $\mathrm{F}(x)=a{x}^2+bx+c.$

2. $f(x)=x^2-6x+4$ et $\mathrm{F}(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d.$

3. $f(x)=-4x^2+8x-3$ et $\mathrm{F}(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d.$

Dans chaque cas, montrer que les fonctions $\text{F}$ correspondent aux primitives de la fonction $f$ sur l'intervalle $\text{I}$ considéré.

1. $\mathrm{F}:x\mapsto x^2\sin (x)+k,$ avec $k\in \mathbb{R}$ et $f:x\mapsto x(x\cos (x)+2\sin (x))$ sur $\mathrm{I}=\mathbb{R}.$

2. $\mathrm{F}:x\mapsto (5x+3)(2x-2)+k,$ avec $k\in \mathbb{R}$ et $f:x\mapsto 20x-4$ sur $\mathrm{I}=\mathbb{R}.$

3. $\mathrm{F}:x\mapsto \frac{2x+3}{x+5}+k,$ avec $k\in \mathbb{R}$ et $f:x\mapsto \frac{7}{(x+5{)}^2}$ sur $\mathrm{I}=[0;+\infty [.$

4. $\mathrm{F}:x\mapsto \frac{4}{9}{x}^3+\frac{1}{3}\cos (3x+4)+k,$ avec $k\in \mathbb{R},$ et $f:x\mapsto \frac{4}{3}{x}^2-\sin (3x+4)$ sur $\mathrm{I}=\mathbb{R}.$

Les fonctions $f:x\mapsto 5x+2$ et $g:x\mapsto 5x$ sont-elles des primitives sur $\mathbb{R}$ d'une même fonction ? Justifier.

Insérer une formule mathématique

Les fonctions $f:x\mapsto 7x-18$ et $g:x\mapsto 7x+100$ sont‑elles des primitives sur $\mathbb{R}$ d'une même fonction ? Justifier.

La fonction $\mathrm{F}:x\mapsto x^2+6x$ est‑elle une primitive de la fonction $f:x\mapsto x+6$ définie sur $\mathbb{R}$ ? Justifier.

Soient $\text{F}$ et $f$ les fonctions définies respectivement sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=18x^2-10x+8$ et $\text{F}(x)=(3x+5)\left(2x^2-5x+7\right)+12x-3.$
Montrer que $\text{F}$ est une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}.$

Justifier que la fonction $\text{G}$ définie, pour tout réel $x,$ par $\text{G}(x)=\frac{3x+2}{x^2+3}$ est une primitive sur $\mathbb{R}$ de la fonction $g$ définie par $g(x)=\frac{-3x^2-4x+9}{{\left(x^2+3\right)}^2}.$

Sans se préoccuper de l'ensemble de définition, associer à chacune des fonctions $f,$ $g,$ $h$ et $k$ une de ses primitives $\ell ,$ $m,$ $n$ et $p.$

Soit $f$ une fonction dont on donne la représentation graphique ci‑dessous sur l'intervalle $[0;2].$


Parmi les trois courbes ci‑dessous, une seule correspond à la représentation graphique de la primitive $\text{F}$ de $f$ sur $[0;2]$ vérifiant $\text{F}(0)=0.$ Déterminer laquelle.

La fonction $f$ est représentée ci‑dessous sur l'intervalle $[-1;1].$


Parmi les trois courbes ci‑dessous, une seule correspond à la représentation graphique d'une primitive $\text{F}$ de $f$ sur $[-1;1].$ Déterminer laquelle.

Dans chaque cas, déterminer une primitive sur $\mathbb{R}$ de la fonction donnée.

1. $x\mapsto -2$

2. $x\mapsto 3x-9$

3. $x\mapsto \frac{-x^2}{3}+x$

4. $x\mapsto 5x^2+\frac{8x}{5}-2$

5. $x\mapsto 7x^3+\frac{4}{5}{x}^2$

6. $x\mapsto 5x^4+\frac{6}{9}$

1. Déterminer sur $\mathbb{R}$ une primitive de la fonction $x\mapsto 6x^2.$

Insérer une formule mathématique

2. Déterminer une primitive de la fonction $x\mapsto -9x^3.$

Insérer une formule mathématique

Dans chaque cas, déterminer une primitive sur $\mathbb{R}$ de la fonction donnée.

1. $x\mapsto \cos (5x+4)$

2. $x\mapsto \sin (x+1)-\cos (x)$

3. $x\mapsto \sin (x-2)+\sin (3x)$

4. $x\mapsto \cos (2x+1)+2x-6$

Dans chaque cas, déterminer l'ensemble des primitives sur $\mathbb{R}$ de la fonction donnée.

1. $x\mapsto x+8$

2. $x\mapsto -16x+3$

3. $x\mapsto 2\sin (x+1)$

4. $x\mapsto 3\cos (2x+1)$

5. $x\mapsto -5\cos (4x-2)$

6. $x\mapsto 2\sin (3x-9)+x^2-1$

1. Déterminer sur $\mathbb{R}$ l'ensemble des primitives de la fonction $f:x\mapsto 5x.$

2. Déterminer sur $\mathbb{R}$ l'ensemble des primitives de la fonction $g:x\mapsto -2x.$

1. Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)=(x+1{)}^2.$
Déterminer une primitive $\text{F}$ de $f$ sur $\mathbb{R}.$

2. Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $g(x)=\left(3x-2+x^2\right)(2x-3).$
Déterminer une primitive $\text{G}$ de $g$ sur $\mathbb{R}.$

1. Justifier que la fonction $\text{F}$ définie sur $\mathbb{R}$ par $\text{F}(x)=x^2+4x$ est une primitive de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=2x+4.$

2. Déterminer la primitive ${\text{F}}_2$ de $f$ vérifiant ${\text{F}}_2(2)=12.$

1. Justifier que la fonction $\text{F}$ définie sur $\mathbb{R}$ par $\mathrm{F}(x)=-x^3+\frac{3}{2}{x}^2$ est une primitive de la fonction $f$ définie par $f(x)=-3x^2+3x$ sur $\mathbb{R}.$

Insérer une formule mathématique

2. Déterminer la primitive ${\text{F}}_{-1}$ de $f$ vérifiant ${\text{F}}_{-1}(-1)=\frac{5}{2}.$

Insérer une formule mathématique

1. Justifier que la fonction $\text{F}$ définie sur $\mathbb{R}$ par $\mathrm{F}(x)=\sin (x)+1$ est une primitive de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\cos (x).$

2. Déterminer la primitive ${\text{F}}_{\pi }$ de $f$ vérifiant ${\text{F}}_{\pi }(\pi )=1.$

1. Justifier que la fonction $\text{F}$ définie par $\text{F}(x)=x^4-2x$ est une primitive de la fonction $f$ définie par $f(x)=4x^3-2$ sur $\mathbb{R}.$

2. Déterminer la primitive ${\text{F}}_2$ de $f$ vérifiant ${\text{F}}_2(2)=12.$

Déterminer sur $\mathbb{R}$ la primitive $\text{F}$ de la fonction $f$ définie par $f(x)=3x^2+2$ et vérifiant $\text{F}(0)=0.$

Déterminer sur $\mathbb{R}$ la primitive $\text{F}$ de la fonction $f$ définie par $f(x)=5x^2+6x-4$ et vérifiant $\text{F}(1)=2.$

Déterminer sur $\mathbb{R}$ la primitive $\text{F}$ de la fonction $f$ définie par $f(x)=2\sin (x)$ et vérifiant $\mathrm{F}(\pi )=0.$

Déterminer sur $\mathbb{R}$ la primitive $\text{F}$ de la fonction $f$ définie par $f(x)=\cos (4x)$ et vérifiant $\mathrm{F}\left(\frac{\pi }{2}\right)=1.$

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=6.$
Déterminer la primitive $\text{F}$ de $f$ vérifiant $\text{F}(1)=6.$

1. Déterminer sur $\mathbb{R}$ la primitive $\text{F}$ de la fonction $f$ définie par $f(x)=3\sin (x)$ vérifiant $\text{F}(0)=0.$

Insérer une formule mathématique

2. Déterminer sur $\mathbb{R}$ la primitive $\text{F}$ de la fonction $f$ définie par $f(x)=-5\cos (x)$ vérifiant $\mathrm{F}\left(\frac{\pi }{2}\right)=5.$

Insérer une formule mathématique

1. Déterminer sur $\mathbb{R}$ la primitive $\text{F}$ de la fonction $f$ définie par $f(x)=-x$ et vérifiant $\text{F}(0)=0.$

2. Déterminer sur $\mathbb{R}$ la primitive $\text{F}$ de la fonction $f$ définie par $f(x)=2x$ et vérifiant $\text{F}(-1)=0.$